学年湖南省长沙一中高一上学期第二次阶段性检测数学试题解析版.docx
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学年湖南省长沙一中高一上学期第二次阶段性检测数学试题解析版
2017-2018学年湖南省长沙一中
高一上学期第二次阶段性检测数学试题
数学
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:
每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:
用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题
1.已知集合,且集合满足,则符合条件的集合共有
A.4个B.8个C.9个D.16个
2.函数的零点所在的区间是
A.B.C.D.
3.将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥,得到如图2所示的几何体,则该几何体的左视图是
A.B.C.D.
4.设,,,则的大小关系是
A.B.C.D.
5.半径为的半圆卷成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的体积为
A.B.C.D.
6.一个几何体的三视图如图所示,已知这个几何体放入体积为,则为
A.B.C.D.
7.若长方体中,,分别与底面所成的角45°,60°,则长方体的外接球的体积为
A.B.C.D.
8.定义在上的奇函数满足:
,且在区间上单调递减,则不等式的解集是
A.B.
C.D.
9.已知表示两条不同的直线,表示一个平面,给出下列四个命题:
①;②;
③;④.
其中正确命题的序号是
A.①②B.②③C.②④D.①④
10.衣柜里的樟脑丸,随着时间会挥发而体积缩小,刚放进的新丸体积为,经过天后体积与天数的的关系式为:
,已知新丸经过50天后,体积变为;若一个新丸体积变为,则需经过的天数为
A.75天B.100天C.125天D.150天
11.已知函数是定义在上的奇函数,且偶函数的定义域为,且当时,.若存在实数,使得成立,则实数的取值范围是
A.B.C.D.
二、填空题
12.已知幂函数在区间是减函数,则实数的值是__________.
13.轴截面为正方形的圆柱的侧面积为,则此圆柱的体积为__________.
14.如图,在三棱锥中,与是边长为2的正三角形,,为的中点,则二面角的大小为__________.
15.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,是球的直径,若平面平面,,,三棱锥的体积为,则球的表面积为__________.
三、解答题
16.已知集合,.
(1)求集合,.
(2)若集合且,求的取值范围.
17.如图,已知四棱锥中,底面是边长为1的正方形,侧棱底面,且,是侧棱上的动点.
(1)求四棱锥的表面积;
(2)是否在棱上存在一点,使得平面;若存在,指出点的位置,并证明;若不存在,请说明理由.
18.如图,是直径,所在的平面,是圆周上不同于的动点.
(1)证明:
平面平面;
(2)若,且当二面角的正切值为时,求直线与平面所成的角的正弦值.
19.在如图所示的几何体中,平面平面,四边形为平行四边形,,,,.
(1)求证:
平面;
(2)求到平面的距离;
(3)求三棱锥的体积.
20.已知函数是偶函数.
(1)求的值;
(2)若函数没有零点,求得取值范围;
(3)若函数,的最小值为0,求实数的值.
21.已知函数,.
(1)若函数在上是减函数,求实数的取值范围;
(2)是否存在整数,使得的解集恰好是,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
2017-2018学年湖南省长沙一中
高一上学期第二次阶段性检测数学试题
数学答案
参考答案
1.B
【解析】,∴的子集个数为个;
,即,
∴符合条件的集合共有8个.
故选:
B
2.B
【解析】由函数可知函数在R上单调递增,又,,∴,可知:
函数的零点所在的区间是,故选B.
3.B
【解析】试题分析:
由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段,上面的射影也是线段,后面与底面的射影都是线段,轮廓是正方形,在右侧的射影是正方形的对角线,在右侧的射影也是对角线是虚线.如图B.
故选B.
考点:
简单空间图形的三视图.
4.D
【解析】∵为上的单调增函数,
又
∴
∵在上单调递减,又
∴
∴
故选:
D
点睛:
利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小,一方面要比较两个实数或式子形式的异同,底数相同,考虑指数函数增减性,指数相同考虑幂函数的增减性,当都不相同时,考虑分析数或式子的大致范围,来进行比较大小,另一方面注意特殊值的应用,有时候要借助其“桥梁”作用,来比较大小.
5.A
【解析】,选A.
6.B
【解析】试题分析:
由三视图可知,该几何体是四棱锥,底面积,体积,解得,故答案为B.
考点:
由三视图求几何体的体积.
7.A
【解析】试题分析:
依题意可求得,则长方体的体对角线长为.易知长方体的体对角线长即为外接球的直径,所以,所以长方体的外接球的体积为.选A.
考点:
多面体与其外接球的关系.
8.B
【解析】∵定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f
(1)=0,
∴函数f(x)在(﹣∞,0)上单调递减,且f(﹣1)=0,
∴不等式等价于或
∴0 ∴不等式xf(x)>0的解集为. 故选: B 9.D 【解析】①⇒m∥n,根据线面垂直的性质定理: 垂直于同一平面的两直线平行,故①正确. ②⇒n∥α,由m⊥α,m⊥n得n∥α或n⊂α,故②不正确. ③⇒m∥n,由m∥α,n∥α,则m,n可能平行、可能相交、可能异面.故③不正确. ④,则m,n可能相交、可能异面,根据异面直线所成的角,可知m⊥n.故④正确. 故选D. 10.A 【解析】试题分析: 由题意,得,解得;令,即, 即需经过的天数为75天. 考点: 指数的运算. 11.D 【解析】∵, ∴当0≤x≤1时,2x﹣1∈[0,1], 当x≥1时,∈(0,1], 即x≥0时,f(x)的值域为[0,1], ∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴x≤0时f(x)的值域为[﹣1,0], ∴在R上的函数f(x)的值域为[﹣1,1]. ∵定义在{x|x≠0}上的偶函数g(x),x>0的g(x)=log2x, ∴g(x)=log2|x|(x≠0) ∵存在实数a,使得f(a)=g(b)成立, ∴令﹣1≤g(b)≤1. 即﹣1≤log2|b|≤1. 即有≤|b|≤2, ∴≤b≤2或﹣2≤b≤﹣. 故选: D. 点睛: 存在实数,使得成立等价于,同时本题考查了分段函数的应用及奇偶性的应用. 12.3 【解析】∵幂函数在区间是减函数 ∴,解得: 故答案为: 3 13. 【解析】 14.60° 【解析】因为,取BC中点M,则,所以二面角的平面角为,因为 所以,即二面角的大小为 15. 【解析】 点睛: (1)求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题求解,注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. (2)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解. 16. (1),; (2). 【解析】试题分析: (1)化简集合A、B,根据交集与并集和补集的定义计算即可; (2)根据题意(∁RA)∩C=C知C⊆∁RA,讨论C=∅和C≠∅时,分别求出m的取值范围. 试题解析: (1)或, ∴,, ∴,. (2)∵,∴,. ①当时,,即时满足,∴; ②当时,要使, 则 综上所述,. 点睛: (1)认清元素的属性,解决集合问题时,认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件. (2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关A∩B=∅,A⊆B等集合问题时,往往忽略空集的情况,一定先考虑∅是否成立,以防漏解. 17. (1); (2)当时的中点时,平面. 【解析】试题分析: (1)先根据条件确定四棱锥各侧面形状,再根据直角三角形面积公式以及正方形面积公式求表面积 (2)连接交于点,当是的中点时,由三角形中位线性质得,再根据线面平行判定定理证结论 试题解析: (1)四棱锥的底面是边长为1的正方形,侧棱底面,且, ∴. ∵,, ∴平面,∴, ∴.同理,. ∴. (2)当是的中点时,平面. 证明: 连接交于点,连接,则在三角形中,、分别为、的中点, ∴, 又∵平面,平面, ∴平面. 18. (1)详见解析; (2). 【解析】试题分析: (1)先根据圆的性质得,再根据线面垂直得,根据线面垂直判定定理得平面,最后根据面面垂直判定定理得结论 (2)先根据二面角定义得二面角的平面角为,再过过作于,易得为直线与平面所成的角.最后通过解三角形可得结论 试题解析: (1)证明: ∵在圆上,为圆的直径, ∴, 又∵所在的平面,∴, 而,∴平面, 由于平面,∴平面平面. (2)解: 如图,过作于,连接, ∵平面,∴, ∴平面,则即为所求的角, ∵平面, ∴为二面角的平面角. 又,,∴, 在中,, 在中,, 即直线与平面所成的角的正弦值为. 19. (1)详见解析; (2);(3). 【解析】试题分析: (1)先根据面面垂直性质定理得平面,即得,再利用勾股定理得,最后根据线面垂直判定定理得结论 (2)先根据平行转化到平面的距离为点到平面的距离,再作,由面面垂直性质定理得平面,最后计算即得结果(3)由于已知到平面的距离,所以利用等体积法先转化为,再根据锥体体积公式求体积 试题解析: (1)∵平面平面,且平面平面, 又平面,, ∴平面, 而平面,∴, ∵,,∴,∴, 又,∴平面. (2)设的中点为,连接, ∵,∴. ∵平面平面,且平面平面, ∴平面, ∵,平面, 所以点到平面的距离就等于点到平面的距离, 即点到平面的距离为. (3)∴, ∵, ∴,即三棱锥的体积为. 点睛: 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直. 20. (1); (2);(3). 【解析】试题分析: (1)若函数是偶函数,则f(﹣x)=f(x),可得k的值; (2)函数没有零点,即方程无实数根,令,则函数的图象与直线无交点,则a不属于函数g(x)值域; (3)函数,,令t=2x∈[1,3],则y=t2+mt,t∈[1,3],结合二次函数的图象和性质,分类讨论,可得m的值. 试题解析: (1)∵是偶函数,∴, 即对任意恒成立. ∴, ∴. (2)函数没有零点,即方程无实数根. 令,则函数的图象与直线无交点, ∵ , 又,∴, ∴的取值范围是. (3)由题意,, 令,,, ①当,即时, ,; ②当,即时, ,(舍去); ③当,即时, ,(舍去). 综上可知,实数. 21. (1); (2)符合要求的整数是或. 【解析】试题分析: (1)求出函数的对称轴,由于y=|f(x)|在[﹣1,0]上是减函数,则讨论区间在对称轴的右边,且f(0)不小于0,区间在对称轴的左边,且f(0)不大于0.解出它们即可; (2)假设存在整数a,b,使得a≤f(x)≤b的解集恰好是
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