数学知识点苏教版选修12高中数学12《回归分析》word学案总结Word格式.docx
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例1 某校高三
(1)班的学生每周用于数学学习的时间x(单位:
h)与数学平均成绩y(单位:
分)之间有表格所示的数据.
x
24
15
23
19
16
11
20
17
13
y
92
79
97
89
64
47
83
68
71
59
(1)画出散点图;
(2)作相关性检验;
(3)若某同学每周用于数学学习的时间为18h,试预测其数学成绩.
解
(1)根据表中的数据,画散点图,如图.
从散点图看,数学成绩与学习时间线性相关.
(2)由已知数据求得=17.4,=74.9,=3182,
=58375,iyi=13578,
所以相关系数r=
≈0.920.
而n=10时,r0.05=0.632,
所以|r|>r0.05,所以有95%的把握认为数学成绩与学习时间之间具有线性相关关系.
(3)用科学计算器计算,可得线性回归方程为=3.53x+13.44.
当x=18时,=3.53×
18+13.44≈77,故预计该同学数学成绩可得77分左右.
规律方法 判断变量的相关性通常有两种方式:
一是散点图;
二是相关系数r.前者只能粗略的说明变量间具有相关性,而后者从定量的角度分析变量相关性的强弱.
跟踪演练1 暑期社会实践中,小闲所在的小组调查了某地家庭人口数x与每天对生活必需品的消费y的情况,得到的数据如下表:
x/人
2
4
5
6
8
y/元
30
50
70
(1)利用相关系数r判断y与x是否线性相关;
(2)根据上表提供的数据,求出y关于x的线性回归方程.
解
(1)由表中数据,利用科学计算器计算得:
r=≈0.975.
因为r>r0.05=0.878,所以y与x之间具有线性相关关系.
(2)根据以上数据可得,==8.5,
∴=-=44-8.5×
5=1.5,
∴所求的线性回归方程为=1.5+8.5x.
要点二 求线性回归方程
例2 某班5名学生的数学和物理成绩如下表:
学生编号
1
3
学科编号
A
B
C
D
E
数学成绩(x)
88
76
73
66
63
物理成绩(y)
78
65
61
(2)求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程;
(3)一名学生的数学成绩是96,试预测他的物理成绩.
解
(1)散点图如图.
(2)=×
(88+76+73+66+63)=73.2,
=×
(78+65+71+64+61)=67.8.
iyi=88×
78+76×
65+73×
71+66×
64+63×
=25054.
=882+762+732+662+632=27174.
所以==≈0.625.
=-≈67.8-0.625×
73.2=22.05.
所以y对x的线性回归方程是=0.625x+22.05.
(3)x=96,则=0.625×
96+22.05≈82,即可以预测他的物理成绩是82.
规律方法
(1)散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的,对于性质不明确的两组数据,可先作散点图,在图上看它们有无关系,关系的密切程度,然后再进行相关回归分析.
(2)求线性回归方程,首先应注意到,只有在散点图大致呈线性时,求出的线性回归方程才有实际意义,否则,求出的线性回归方程毫无意义.
跟踪演练2 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析,得下表数据:
10
12
①请画出上表数据的散点图(要求:
点要描粗);
②请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+;
③试根据求出的线性回归方程,预测记忆力为9的同学的判断力.
解 ①如图:
②xiyi=6×
2+8×
3+10×
5+12×
6=158,
==9,
==4,
x=62+82+102+122=344,
===0.7,
=-=4-0.7×
9=-2.3,
故线性回归方程为=0.7x-2.3.
③由②中线性回归方程当x=9时,=0.7×
9-2.3=4,故预测记忆力为9的同学的判断力为4.
要点三 非线性回归分析
例3 某种书每册的成本费y(元)与印刷册数x(千册)有关,经统计得到数据如下:
10.15
5.52
4.08
2.85
2.11
100
200
1.62
1.41
1.30
1.21
1.15
检验每册书的成本费y与印刷册数的倒数之间是否具有线性相关关系;
如有,求出y对x的回归方程.
解 令u=,原题中所给数据变成如下表示的数据:
u
0.5
0.33
0.2
0.1
0.05
0.03
0.02
0.01
0.005
=0.2245,=3.14,-10()2=0.9088,
iyi-10=8.15525,-10()2=73.207,
∴r=≈0.9998,
查表得r0.05=0.632,因为r>r0.05,从而认为u与y之间具有线性相关关系.
回归系数=≈8.974,
=3.14-8.974×
0.2245≈1.125,
所以=8.974u+1.125,
所以y对x的回归方程为=+1.125.
规律方法 对非线性回归问题,若给出经验公式,采用变量代换把问题转化为线性回归问题.若没有经验公式,需结合散点图挑选拟合得最好的函数.
跟踪演练3 在试验中得到变量y与x的数据如下表:
试求y与x之间的回归方程,并预测x=40时,y的值.
27
31
35
109
325
解 作散点图如图所示,
从散点图可以看出,两个变量x,y不呈线性相关关系,根据学过的函数知识,样本点分布的曲线符合指数型函数y=c1ec2x,通过对数变化把指数关系变为线性关系,令z=lny,则z=bx+a(a=lnc1,b=c2).
列表:
z
1.386
2.398
3.178
4.691
5.784
作散点图如图所示,
从散点图可以看出,两个变量x,z呈很强的线性相关关系.由表中的数据得到线性回归方程为=0.277x-3.998.
所以y关于x的指数回归方程为:
=e0.277x-3.998.
所以,当x=40时,y=e0.277×
40-3.998≈1190.347.
1.在下列各量之间,存在相关关系的是________.
①正方体的体积与棱长之间的关系;
②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系;
③人的身高与年龄之间的关系;
④家庭的支出与收入之间的关系;
⑤某户家庭用电量与电价之间的关系.
答案 ②③④
2.如图是x和y的一组样本数据的散点图,去掉一组数据________后,剩下的4组数据的相关指数最大.
答案 D(3,10)
解析 经计算,去掉D(3,10)这一组数据后,其他4组数据对应的点都集中在某一条直线附近,即两变量的线性相关性最强,此时相关指数最大.
3.对具有线性相关关系的变量x和y,由测得的一组数据已求得回归直线的斜率为6.5,且恒过(2,3)点,则这条回归直线的方程为________.
答案 =-10+6.5x
解析 由题意知=2,=3,=6.5,所以=-=3-6.5×
2=-10,即回归直线的方程为=-10+6.5x.
4.某电脑公司有6名产品推销员,其工作年限与年推销金额数据如下表:
推销员编号
工作年限x/年
7
9
推销金额y/万元
(1)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程;
(2)若第6名推销员的工作年限为11年,试估计他的年推销金额.
解
(1)设所求的线性回归方程为=x+,
则===0.5,=-=0.4.
所以年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为
=0.5x+0.4.
(2)当x=11时,=0.5x+0.4=0.5×
11+0.4=5.9(万元).
所以可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元.
1.相关系数r
r的大小与两个变量之间线性相关程度的强弱关系:
(1)当r>0时,表明两个变量正相关;
当r<0时,表明两个变量负相关.当r=1时,两个变量完全正相关;
当r=-1时,两个变量完全负相关.
(2)|r|≤1,并且|r|越接近1,表明两个变量的线性相关程度越强,它们的散点图越接近于一条直线,这时用线性回归模型拟合这组数据的效果就越好;
|r|越接近0,表明两个变量的线性相关程度越弱,通常当|r|>r0.05时,认为两个变量有很强的线性相关程度.此时建立的回归模型是有意义的.
2.回归分析
用回归分析可以预测具有相关关系的两个随机变量的取值.但要注意:
①回归方程只适用于我们所研究的样本的总体.
②我们建立的回归方程一般都有时间性.
③样本取值的范围影响了回归方程的适用范围.
④回归方程得到预报值不是变量的精确值,是变量可能取值的平均值.
一、基础达标
1.已知方程=0.85x-82.71是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程,其中x的单位是cm,的单位是kg,那么针对某个体(160,53)的随机误差是________.
答案 -0.29
2.对于相关系数r,以下4个叙述错误的是________.
①|r|∈(
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