专题349 磁场中的极值问题基础篇解析版Word文档格式.docx
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【名师解析】根据洛伦兹力提供向心力qvB=m,可得r=,代入数据解得r=2cm,故A错误;
粒子运动轨迹如图所示,可知四边形AONP为菱形,又因为∠AON=120º
,根据几何知识可得圆心P一定在圆周上,故B正确;
从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射,轨迹如图所示,易知四边形SCON为菱形,根据几何知识可知粒子一定N点射出,故C正确;
当带电粒子从A点入射,从N点出射,以AN为直径的圆的磁场,此时有最小面积即S=π(AN)2=π(Rcos30°
)2=3π×
10-4m2,故D正确。
2.(2018·
广东省深圳市第一次调研)如图所示,直线MN左下侧空间存在范围足够大、方向垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,在磁场中P点有一个粒子源,可在纸面内向各个方向射出质量为m、电荷量为q的带正电粒子(重力不计),已知∠POM=60°
,PO间距为L,粒子速率均为v=,则粒子在磁场中运动的最短时间为( )
A.B.
C.D.
【参考答案】 B
【名师解析】 粒子在磁场中做圆周运动,洛伦兹力提供向心力,则有:
Bvq=,解得:
R==·
=L;
粒子做圆周运动的周期为:
T===;
因为粒子做圆周运动的半径、周期都不变,那么,粒子转过的圆心角越小,则其弦长越小,运动时间越短;
所以,过P点作MN的垂线,可知,粒子运动轨迹的弦长最小为:
Lsin60°
=L=R,故最短弦长对应的圆心角为60°
,所以,粒子在磁场中运动的最短时间为:
tmin=T=,故A、C、D错误,B正确.
二.计算题
1.(2020年5月重庆调研测试)如图所示,xOy直角坐标平面内,在第二象限有沿y轴负方向的匀强电场,一个带正电的粒子从坐标为(2√31,3/)的P点沿x轴正方向开始运动,恰好从坐标原点O进入第四象限,在x>
0的区域存在一个矩形匀强磁场区域(图中未画出),磁场方向垂直xOy平面(纸面),粒子经过匀强磁场区域后恰能沿x轴负方向再次通过坐标原点o,已知粒子在匀强电场和匀强磁场中运动的加速度大小均为a,不计粒子重力。
求:
(1)粒子第一次通过坐标原点O时的速度;
(2)粒子两次通过坐标原点O的时间间隔;
(3)矩形磁场区域的最小面积。
【名师解析】:
(1)设粒子第一次通过坐标原点O时速度大小为v,方向与x轴正向夹角为,粒子从P到O时间为t0
由类平抛运动得:
(2分)(2分)
联立解得:
(1分)(1分)
(2)设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为r
由,解得:
(2分)
设O点到磁场边界的距离为d,由几何关系得:
粒子做匀速直线运动时间(2分)
粒子在匀强磁场中运动时间(2分)
粒子两次通过坐标原点O的时间间隔
解得:
(3)由几何关系得,矩形磁场区域的最小面积:
2.(20分)(2020高考模拟示范卷3)如图所示,在xOy平面坐标系中,x轴上方存在电场强度E=100V/m、方向沿y轴负方向的匀强电场;
虚线PQ与x轴平行,在x轴与PQ之间存在着磁感应强度为B=20T、方向垂直纸面向里的匀强磁场,磁场宽度为d。
一个质量为m=2×
10-5kg、电荷量为q=+1.0×
10-5C的粒子从y轴上(0,1)的位置以v0=10m/s的初速度沿x轴正方向射入匀强电场,不计粒子的重力。
求:
(1)粒子第一次进入磁场时速度的大小和方向;
(2)若磁场宽度足够大,粒子第一次射出磁场时的位置;
(3)若粒子可以以不同大小的初速度水平射入电场,要使所有粒子都能经磁场返回,磁场的最小宽度是多少。
【参考答案】
(1),与x轴成45°
角斜向下
(2)(4,0)(3)1m
(1)粒子进入电场后做类平抛运动,在竖直方向上有:
由
,与x轴成角斜向下
(2)根据洛伦磁力提供向心力可得:
由几何关系得弦长:
在类平抛运动过程中,竖直方向上粒子做初速度为零的匀加速直线运动
所以竖直方向上的平均速度为:
所以,类平抛过程的水平位移应为竖直位移的2倍,即:
粒子第一次射出磁场时的横坐标为:
所以,粒子第一次射出磁场时的位置为(4,0)
(3)设粒子进入磁场时与水平方向的夹角为
有几何关系可得:
整理得:
因为为定值,所以当时,有最大值为:
所以磁场的最小宽度为1m
3.(20分)如图所示为xOy平面直角坐标系,在x=a处有一平行于y轴的直线MN,在x=4a处放置一平行于y轴的荧光屏,荧光屏与x轴交点为Q,在第一象限内直线MN与荧光屏之间存在沿y轴负方向的匀强电场.原点O处放置一带电粒子发射装置,它可以连续不断地发射同种初速度大小为v0的带正电粒子,调节坐标原点处的带电粒子发射装置,使其在xOy平面内沿不同方向将带电粒子射入第一象限(速度与x轴正方向间的夹角为0≤θ≤).若在第一象限内直线MN的左侧加一垂直xOy平面向外的匀强磁场,这些带电粒子穿过该磁场后都能垂直进入电场.已知匀强磁场的磁感应强度大小为B,带电粒子的比荷=,电场强度大小E=Bv0,不计带电粒子重力,求:
(1)粒子从发射到到达荧光屏的最长时间.
(2)符合条件的磁场区域的最小面积.
(3)粒子打到荧光屏上距Q点的最远距离.
【名师解析】:
(1)由题意知,粒子在磁场中做匀速圆周运动,速度沿y轴正方向的粒子在磁场中运动的时间最长,
t1==(2分)
粒子进入电场到到达荧光屏,在x轴方向做匀速直线运动,运动时间t2==(1分)
故粒子从发射到到达荧光屏的最长时间
t=t1+t2=.(1分)
(2)带电粒子在磁场内做匀速圆周运动,
有qv0B=m(2分)
解得R=a(1分)
由于带电粒子的入射方向不同,若磁场充满纸面,它们所对应的运动轨迹如图所示.为使这些带电粒子经磁场偏转后都能垂直直线MN进入电场,由图可知,它们必须从经O点做圆周运动的各圆的最高点飞离磁场.设磁场边界上P点的坐标为(x,y),则应满足方程
x=Rsinθ,y=R(1-cosθ),(2分)
所以磁场边界的方程为x2+(y-R)2=R2(1分)
以θ=的角度射入磁场区域的粒子的运动轨迹(x-R)2+y2=R2即为所求磁场另一侧的边界,因此,符合题目要求的最小磁场的范围应是圆x2+(y-R)2=R2与圆(x-R)2+y2=R2的交集部分(图中阴影部分),(1分)
由几何关系,可以求得符合条件的磁场的最小面积为
Smin=(-1)a2.(2分)
(3)带电粒子在电场中做类平抛运动,分析可知所有粒子在荧光屏左侧穿出电场,设粒子在电场中的运动时间为t,竖直方向的位移为y,水平方向的位移为l,
则l=v0t(1分)
y=×
t2(1分)
又E=Bv0
联立解得l=(1分)
设粒子最终打在荧光屏的最远点距Q点为h,粒子射出电场时的夹角为α,有tanα===(1分)
h=(4a-a-l)tanα=(3a-)=(3a-)(1分)
则当3a-=时,
即y=a时,h有最大值hmax=a.(2分)
答案:
(1)
(2)(-1)a2 (3)a
4.(12分)如图所示,有一平行板电容器左边缘在y轴上,下极板与x轴重合,两极板间匀强电场的场强为E。
一电荷量为q,质量为m的带电粒子,从O点与x轴成θ角斜向上射入极板间,粒子经过K板边缘a点平行于x轴飞出电容器,立即进入一磁感应强度为B的圆形磁场的一部分(磁场分布在电容器的右侧且未画出),随后从c点垂直穿过x轴离开磁场。
已知粒子在O点的初速度大小为v=,∠acO=45°
,cosθ=,磁场方向垂直于坐标平面向外,磁场与电容器不重合,带电粒子重力不计,试求:
(1)K极板所带电荷的电性;
(2)粒子经过c点时的速度大小;
(3)圆形磁场区域的最小面积。
【名师解析】
(1)粒子由a到c,向下偏转,根据左手定则判断,可知粒子带正电。
粒子在电场中做类斜抛运动,根据粒子做曲线运动的条件可知电场力垂直于两极板向下,正电荷受到的电场力与电场方向相同,故电场方向垂直于两极板向下,K板带正电,L板带负电。
(2)粒子由O到a做类斜抛运动,水平方向分运动为匀速直线运动,竖直方向为匀减速运动,到达a点平行于x轴飞出电容器,即竖直方向分速度减为零,a点速度为初速度的水平分量,出电场后粒子在磁场外做匀速直线运动,在磁场中做匀速圆周运动,速度大小始终不变,故粒子经过c点时的速度与a点速度大小相等。
由上可知粒子经过c点时的速度大小vc=va=vcosθ==。
(3)粒子在磁场中做圆周运动,轨迹如图所示,a、c为两个切点。
洛伦兹力提供向心力,根据牛顿第二定律可知:
qvcB=m
可得轨迹半径R==
粒子飞出电容器立即进入圆形磁场且磁场与电容器不重合,圆形磁场必与电容器右边界ab切于a点,还需保证c点也在磁场中,当圆形磁场与bc切于c点时磁场面积最小,此时磁场半径与轨迹半径相等。
磁场最小面积S=πR2=。
5.如图所示,平行金属板PQ、MN水平地固定在地面上方的空间,金属板长l=20cm,两板间距d=10cm,两板间的电压UMP=100V,在距金属板M端左下方某位置有一粒子源A,从粒子源斜向右上连续发射速度相同的带电粒子,发射速度相同的带电粒子,射出的带电粒子在空间通过一垂直于纸面向里的磁感应强度B=0.20T的圆形区域匀强磁场(图中未画出)后,恰好从金属板PQ左端的下边缘水平进入两金属板间,带电粒子在电场力作用下恰好从金属板MN的右边缘飞出。
已知带电粒子的比荷,粒子重力不计,(计算结果可用根号表示)。
(1)带电粒子射入电场时的速度大小v;
(2)圆形匀强磁场区域的最小半径r;
【参考答案】v=2.0×
104m/s;
r=0.035m
(1)设带电粒子从PQ左边缘进入电场的速度为v,由MN板右边缘飞出的时间为t,带电粒子在电场中运动的加速度为a,则,
,
则
解得v=2.0×
104m/s
(2)粒子进入电场时,速度方向改变了解90°
,可见粒子在磁场中转了四分之一圆周。
设圆形匀强磁场区域的最小半径为r,粒子运动的轨道半径为R,则
qvB=,m
由图中几何关系可知r==0.035m
圆形磁场区域的最小半径r=0.035m
点睛:
带电粒子在电场中做类平抛运动,水平方向做匀速直线运动和竖直方向做匀加速直线运动运动;
在磁场中运动时,根据粒子的偏转方向,作出带电粒子的运动轨迹,由几何关系可确定出圆形磁场的最小区域;
6.如图所示,xOy平面内有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度B=0.08T,在原点O有一粒子源,它可以在xOy平面内向I、IV象限各个方向发射质量m=9.6×
10-24kg、电荷量q=4.8×
10-16C、速度v=l×
106m/s的带正电的粒子。
一足够长薄板平行于x轴放置,薄板的中点O'
的坐标为(0,0.4m),不考虑粒子之间的相互作用,结果保留两位有效数字。
(1)若磁场范围足够大,求薄板下表面被粒子击中的区域的长度
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