届一轮复习北师大版第一讲 空间几何体单元测试Word格式.docx
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B
3.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.8-B.8-
C.8-πD.8-2π
由三视图可知,该几何体的体积是一个四棱柱的体积减去半个圆柱的体积,
即V=2×
2×
2-×
π×
12×
2=8-π.故选C.
C
4.已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为( )
A.B.2
C.D.3
由题意知,该三棱柱可以看作是长方体的一部分,且长方体同一顶点处的三条棱长分别为3、4、12,又∵三棱柱的外接球即为长方体的外接球,(2R)2=32+42+122,∴R=.故选C.
5.一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )
A.1B.2
C.3D.4
由三视图可知该几何体是一个直三棱柱,底面为直角三角形,高为12,如图所示,其中AC=6,
BC=8,∠ACB=90°
,则AB=10.要使该石材加工成的球的半径最大,只需球与直三棱柱的三个侧面都相切,则半径r等于直角三角形ABC的内切圆半径,即r==2,故能得到的最大球的半径为2,故选B.
6.一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示,则该四棱锥侧面积和体积分别是( )
A.4,8B.4,
C.4(+1),D.8,8
由题意知该四棱锥为正四棱锥,其底面边长为2,正四棱锥的高为2,故侧面三角形的高为.所以该四棱锥的侧面积为4×
×
=4,体积为×
22×
2=,故答案B.
7.如图是一个几何体的三视图,则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是( )
A.4B.5
C.3D.3
D
8.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.12B.6
C.4D.2
该几何体为四棱锥PABCD,其中PA⊥平面ABCD,如图,
则该几何体的体积为V=×
(2+1)×
2=2.
9.如图是某四棱锥的三视图,则该几何体的表面积等于( )
A.34+6B.6+6+4
C.6+6+4D.17+6
由三视图得该几何体的直观图如图,其中,ABCD为矩形,AD=6,AB=2,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD为等腰三角形,且此四棱锥的高为4,故该几何体的表面积等于6×
2+2×
5+×
6×
2+×
4=34+6,故选A.
10.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正视图中的x的值是( )
A.2B.
由三视图知,该几何体是四棱锥,底面是一个直角梯形,底面积为×
(1+2)×
2=3,四棱锥的高为x,因为该几何体的体积为3,所以×
3x=3,解得x=3,故选D.
11.已知某几何体的三视图(单位:
cm)如图所示,则该几何体的体积是( )
A.108cm3B.100cm3
C.92cm3D.84cm3
由三视图可知原几何体是一个长、宽、高分别为6,3,6的长方体切去一个三棱锥,因此该几何体的体积=6×
3×
6-×
4×
3=108-8=100(cm3),故选B.
12.如图是一几何体的三视图,则该几何体的表面积是( )
A.5+B.5+2
C.4+2D.4+2
由三视图可知该几何体是一个六面体ABCDEFG,其中底面ABCD为正方形,AF∥CG.且AF=CG=1,DE∥AF,且DE=2AF,易计算出EF=BF=BG=EG=,所以四边形EFBG为菱形,其对角线长分别为和,故该几何体的表面积S=1×
1+×
1×
=5+,
故选A.
二、填空题
13.已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形,如图所示,则它的体积为________.
该几何体是一个单位正方体被截去了一部分,其直观图如图所示,其体积为1-×
1=.
14.如图所示是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为________.
由题可知该几何体由两个相同的半圆柱和一个长方体拼接而成,
因此该几何体的体积V=1×
4+π×
2=8+2π.
8+2π
15.如图所示,在直三棱柱A1B1C1ABC中,AC⊥BC,AC=4,BC=CC1=2.若用平行于三棱柱A1B1C1ABC的某一侧面的平面去截此三棱柱,使得到的两个几何体能够拼接成长方体,则长方体表面积的最小值为______.
由题意知,拼接后的长方体有两种情形:
一是长方体的高为2,底面是边长为2的正方形;
二是长方体的高为2,底面是长为4,宽为1的矩形.所以其表面积分别为24,28,故长方体表面积的最小值为24.
24
16.(2016·
高考四川卷)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是________.
在长方体(长为2,宽、高均为1)中作出此三棱锥,如图所示,
则VPABC=×
B组——12+4高考提速练
1.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.6B.3
C.2D.3
由三视图可知,该几何体是一个直三棱柱,其底面为侧视图,该侧视图是底边为2,高为的三角形,正视图的长为三棱柱的高,故h=3,所以几何体的体积V=S·
h=×
3=3.
2.某个几何体的三视图如图所示,其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆,则该几何体的表面积为( )
A.92+24πB.82+24π
C.92+14πD.82+14π
依题意,题中的几何体是在一个长方体的上表面放置了半个圆柱,其中长方体的长、宽、高分别是5、4、4,圆柱的底面半径是2,高是5,因此该几何体的表面积等于3×
(4×
5)+2×
4)+π×
22+×
(2π×
2)×
5=92+14π,故选C.
3.如图,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,点P是平面A1B1C1D1内一点,则三棱锥PBCD的正视图与侧视图的面积之比为( )
A.1∶1B.2∶1
C.2∶3D.3∶2
由题意可得正视图的面积等于矩形ADD1A1面积的,侧视图的面积等于矩形CDD1C1面积的,
又底面ABCD是正方形,所以矩形ADD1A1与矩形CDD1C1的面积相等,即正视图与侧视图的面积之比是1∶1,故选A.
4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A.8+2B.8+8
C.12+4D.16+4
该几何体是一个四棱柱,其直观图如图所示,其中上、下、左、右四个面是边长为2的正方形,前、后两个面均是底边长为2,高为的平行四边形,故其表面积为4×
=16+4.
5.已知在长方体ABCDA1B1C1D1中,棱A1A=5,AB=12,那么直线B1C1和平面A1BCD1的距离是( )
A.5B.
C.D.8
∵B1C1∥BC,且B1C1⊄平面A1BCD1,BC⊂平面A1BCD1,∴B1C1∥平面A1BCD1.
从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求.过点B1作B1E⊥A1B于E点(图略).∵BC⊥平面A1ABB1,
且B1E⊂平面A1ABB1,∴BC⊥B1E.又BC∩A1B=B,∴B1E⊥平面A1BCD1,即线段B1E的长即为所求.
在Rt△A1B1B中,B1E===,因此直线B1C1和平面A1BCD1的距离是,故选C.
6.在三棱锥ABCD中,侧棱AB,AC,AD两两垂直,△ABC,△ACD,△ADB的面积分别为10,5,4,则该三棱锥外接球的表面积为( )
A.141πB.45π
C.3πD.24π
三棱锥ABCD中,侧棱AB,AC,AD两两垂直,补成长方体,两者的外接球是同一个,
长方体的对角线就是球的直径,
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c,由题意得,ab=20,ac=10,bc=8,
解得,a=5,b=4,c=2,所以球的直径为=3,
它的半径为,球的表面积为4π·
2=45π.故选B.
7.如图,圆锥的底面直径AB=2,母线长VA=3,点C在母线VB上,且VC=1,有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到达点C,则这只蚂蚁爬行的最短距离是( )
A.B.
C.D.
把圆锥的半侧面展开,侧面展开图中,=π,半径r=3,故圆心角∠AVB=,如图,
在△VAC中,根据余弦定理得AC==,此即为蚂蚁爬行的最短距离.
8.已知长方体ABCDA1B1C1D1的各个顶点都在表面积为16π的球面上,且AB=AD,AA1=2AD,则四棱锥D1ABCD的体积为( )
设AD=x,长方体的外接球的半径为R,则AD2+AB2+AA=(2R)2,又4πR2=16π,
∴x2+(x)2+(2x)2=4R2=16,解得x=,∴四棱锥D1ABCD的体积
V=AA1·
S四边形ABCD=×
=.故选B.
9.已知Rt△ABC,其三边长分别为a,b,c(a>
b>
c).分别以三角形的边a,b,c所在直线为轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体,其表面积和体积分别为S1,S2,S3和V1,V2,V3.则它们的关系为( )
A.S1>
S2>
S3,V1>
V2>
V3B.S1<
S2<
S3,V1<
V2<
V3
C.S1>
S3,V1=V2=V3D.S1<
S3,V1=V2=V3
S1=π·
·
(b+c),V1=π2a,S2=πac+πc2,V2=πbc2,S3=πab+πb2,V3=πb2c.由a>
c,
可得S1<
V3.
10.正三角形ABC的边长为2,将它沿高AD翻折,使点B与点C间的距离为,此时四面体ABCD的外接球的半径为( )
C.2D.
球心O一定在与平面BCD垂直且过底面正三角形中心O′的直线上,也在平面ADO中AD的垂直平分线上,如图.OE=O′D=×
=1,DE=AD=×
=,
故所求外接球的半径r==.
11.已知点A,B,C,D在同一个球的球面上,AB=BC=,AC=2,若四面体ABCD体积的最大值为,则这个球的表面积为( )
A.B.8π
∵AB=BC=,AC=2,∴△ABC是直角三角形,∴△ABC的外接圆的圆心为边AC的中点O1,如图所示,
若使四面体ABCD体积取得最大值只需使点D到平面ABC的距离最大,又O
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