幂函数导学案.docx
- 文档编号:1498558
- 上传时间:2022-10-22
- 格式:DOCX
- 页数:13
- 大小:229.57KB
幂函数导学案.docx
《幂函数导学案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《幂函数导学案.docx(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
幂函数导学案
§2.3幂函数
学习目标
1.通过具体实例了解幂函数的图象和性质;
2.体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用.
学习过程
任务一、课前准备
(预习教材P77~P79,找出疑惑之处)
复习1:
求证在R上为奇函数且为增函数.
复习2:
1992年底世界人口达到54.8亿,若人口年平均增长率为x%,2008年底世界人口数为y(亿),写出:
(1)1993年底、1994年底、2000年底世界人口数;
(2)2008年底的世界人口数y与x的函数解析式.
任务二、新课导学
探究任务一:
幂函数的概念
问题:
分析以下五个函数,它们有什么共同特征?
(1)边长为的正方形面积,是的函数;
(2)面积为的正方形边长,是的函数;
(3)边长为的立方体体积,是的函数;
(4)某人内骑车行进了1,则他骑车的平均速度,这里是的函数;
(5)购买每本1元的练习本本,则需支付元,这里是的函数.
新知
1、幂函数的概念:
一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数.
试一试:
判断下列函数哪些是幂函数.
1;②;③;④.
探究任务二:
幂函数的图象与性质
问题:
作出下列函数的图象:
(1);
(2);(3);(4);(5).
从图象分析出幂函数所具有的性质.
观察图象,总结填写下表:
常见幂函数的性质
例1、已知幂函数,求的值
例2、已知函数为何值时,是:
(1)正比例函数
(2)反比例函数(3)二次函数(4)幂函数
例3.下面六个幂函数的图象如图所示,试建立函数与图象之间的对应关系.
(1);
(2);(3);(4);(5);(6).
2、幂函数的定义域和值域
所有幂函数的定义域和值域的求法分为五种情况
(1)时,的定义域为,值域为
(2)为正整数时,的定义域为,为偶数时,值域为,为奇数时,值域为
(3)为负整数时,的定义域为,为偶数时,值域为,为奇数时,值域为
(4)当为正分数时,化为,根据的奇偶性求解
(5)当为负分数时,化为,根据的的奇偶性求解
例4、
(1)函数的定义域是,值域是;
(2)函数的定义域是,值域是;
练1
(1)函数的定义域是,值域是;
(2)函数的定义域是,值域是;
练2、幂函数①,②,③,④,⑤,其中定义域为的是()
A.①②B.②③C.②④D.④⑤
例5.设α∈{-1,1,,3},则使函数y=xα的定义域为R,且为奇函数的所有α值为( )
A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,3
3、幂函数的单调性和奇偶性
(1)幂函数的单调性:
在区间上,当时,是增函数;当时,是减函数
(2)幂函数的奇偶性:
令(其中、互质,、)
当为奇数,则的奇偶性取决于是奇数还是偶数.当是奇数时,则是奇函数;当是偶数时,则是偶函数
当为偶数,则必是奇数,此时既不是奇函数,也不是偶函数
例6、若当时,幂函数为减函数,则实数的值为()
A.B.C.或D.
例7、已知函数为偶函数,且
(1)求的值,并确定的解析式
(2)若在上为增函数,求实数的取值范围
例8、已知幂函数为偶函数,且在区间上市减函数
(1)求函数的解析式
(2)讨论的奇偶性
练3、下列说法正确的是()
A.是奇函数B.是奇函数
C.是非奇非偶函数D.是非奇非偶函数
构造幂函数比较两个幂值得大小
比较两个幂值的大小,关键是构造适当的函数,若指数相同而底数不同,则考虑幂函数;若指数不同而底数相同,则考虑指数函数;若底数不同,指数也不同,需引入中间量,利用幂函数、指数函数的单调性或借助于函数的图像来比较
例9、比较下列各组数大小:
(1)
(2)(3)
练4、比较下列各组数大小:
(1)
(2)
(3),,
练5、若,则下列不等式成立的是()
A.B.
C.D.
任务三、课后作业
第一题、选择题
1.在函数y=2x3,y=x2,y=x2+x,y=x0中,幂函数有( )
A.1个B.2个
C.3个D.4个
解析:
选B.y=x2与y=x0是幂函数.
2.若幂函数在上是增函数,则().
A.>0B.<0
C.=0D.不能确定
3.函数f(x)=(m2-m-1)xm2-2m-3是幂函数,且在x∈(0,+∞)上是减函数,则实数m=( )
A.2B.3
C.4D.5
4.使(3-2x-x2)-有意义的x的取值范围是( )
A.RB.x≠1且x≠3
C.-3<x<1D.x<-3或x>1
解析:
选C.(3-2x-x2)-=,
∴要使上式有意义,需3-2x-x2>0,
解得-3<x<1.
解析:
选A.m2-m-1=1,得m=-1或m=2,再把m=-1和m=2分别代入m2-2m-3<0,经检验得m=2.
5.若,那么下列不等式成立的是().
A. C. 6.函数的图象是(). A.B.C.D. 7.函数y=(x+4)2的递减区间是( ) A.(-∞,-4)B.(-4,+∞) C.(4,+∞)D.(-∞,4) 解析: 选A.y=(x+4)2开口向上,关于x=-4对称,在(-∞,-4)递减. 8.给出四个说法: ①当n=0时,y=xn的图象是一个点; ②幂函数的图象都经过点(0,0),(1,1); ③幂函数的图象不可能出现在第四象限; ④幂函数y=xn在第一象限为减函数,则n<0. 其中正确的说法个数是( ) A.1B.2C.3D.4 解析: 选B.显然①错误;②中如y=x-的图象就不过点(0,0).根据幂函数的图象可知③、④正确,故选B. 第二题、填空题 9.已知幂函数的图象过点,则它的解析式为. 10.比较下列两组数的大小: (1); (2). 11.已知2.4α>2.5α,则α的取值范围是________. 解析: ∵0<2.4<2.5,而2.4α>2.5α,∴y=xα在(0,+∞)为减函数. 答案: α<0 第三题、解答题 12.求函数y=(x-1)-的单调区间. 解: y=(x-1)-==,定义域为x≠1.令t=x-1,则y=t-,t≠0为偶函数. 因为α=-<0,所以y=t-在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增.又t=x-1单调递增,故y=(x-1)-在(1,+∞)上单调递减,在(-∞,1)上单调递增. 13.已知(m+4)-<(3-2m)-,求m的取值范围. 解: ∵y=x-的定义域为(0,+∞),且为减函数. ∴原不等式化为, 解得-<m<. ∴m的取值范围是(-,). 14.已知幂函数y=xm2+2m-3(m∈Z)在(0,+∞)上是减函数,求y的解析式,并讨论此函数的单调性和奇偶性. 解: 由幂函数的性质可知 m2+2m-3<0⇒(m-1)(m+3)<0⇒-3<m<1, 又∵m∈Z,∴m=-2,-1,0. 当m=0或m=-2时,y=x-3, 定义域是(-∞,0)∪(0,+∞). ∵-3<0, ∴y=x-3在(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数, 又∵f(-x)=(-x)-3=-x-3=-f(x), ∴y=x-3是奇函数. 当m=-1时,y=x-4,定义域是(-∞,0)∪(0,+∞). ∵f(-x)=(-x)-4===x-4=f(x), ∴函数y=x-4是偶函数. ∵-4<0,∴y=x-4在(0,+∞)上是减函数, 又∵y=x-4是偶函数, ∴y=x-4在(-∞,0)上是增函数. 任务四、巩固训练 第一题、选择题 1.已知幂函数f(x)的图象经过点(2,),则f(4)的值为( ) A.16B.C.D.2 解析: 选C.设f(x)=xn,则有2n=,解得n=-, 即f(x)=x-,所以f(4)=4-=. 2.下列幂函数中,定义域为{x|x>0}的是( ) A.y=xB.y=xC.y=x-D.y=x- 解析: 选D.A.y=x=,x∈R;B.y=x=,x≥0;C.y=x-=,x≠0;D.y=x-=,x>0. 3.函数和图象满足() A.关于原点对称B.关于轴对称C.关于轴对称D.关于直线对称 4.函数在区间上的最大值是() A.B.C.D. 5.设T1=,T2=,T3=,则下列关系式正确的是( ) A.T1 6.幂函数在第一象限内的图象依次是图中的曲线() A.B. C.D. 7.下列函数在上为减函数的是() A. B. C. D. 答案: B 8.幂函数f(x)=xα满足x>1时f(x)>1,则α满足条件( ) A.α>1B.0<α<1 C.α>0D.α>0且α≠1 解析: 选A.当x>1时f(x)>1,即f(x)>f (1),f(x)=xα为增函数,且α>1. 解析: 选D.y=x=,其定义域为R,值域为[0,+∞),故定义域与值域不同. 9.当x∈(1,+∞)时,函数)y=的图象恒在直线y=x的下方,则a的取值范围是( A ) A、a<1B、0<a<1C、a>0D、a<0 10.若点在幂函数的图象上,则下列结论中不能成立的是(B) A.B.C.D. 第二题、填空题 11.函数的定义域为________. 解析: ,∴x<1. 答案: (-∞,1) 12.已知n∈{-2,-1,0,1,2,3},若n>n,则n=____-1,2____. 13.是偶函数,且在是减函数,则整数的值是5. 14.设x∈(0,1)时,y=xp(p∈R)的图象在直线y=x的上方,则p的取值范围是________. 解析: 结合幂函数的图象性质可知p<1. 答案: p<1 15.已知函数f(x)=xα(0<α<1),对于下列命题: ①若x>1,则f(x)>1;②若0<x<1,则0<f(x)<1; ③若f(x1)>f(x2),则x1>x2;④若0<x1<x2,则. 其中正确的命题序号是_①②③_______. 第三题、解答题 16.已知幂函数f(x)=(p∈Z)在上是增函数,且在其定义域内是偶函数,求p的值,并写出相应的函数f(x) 17.函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,试确定m的值. 解: 根据幂函数的定义得: m2-m-5=1, 解得m=3或m=-2, 当m=3时,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数; 当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故m=3. 18.已知幂函数,当x∈(0,+∞)时为减函数,则该幂函数的解析式是什么? 奇偶性如何? 单调性如何? 解: 由于为幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=2,或m=-1. 当m=2时,m2-2m-3=-3,y=x-3,在(0,+∞)上为减函数; 当m=-1时,m2-2m-3=0,y=x0=1(x≠0)在(0,+∞)上为常函数,不合题意,舍去. 故所求幂函数为y=x-3.这
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 函数 导学案