届一轮复习北师大版概率与统计 学案Word下载.docx
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1.黄种人群中各种血型的人所占的百分比如下表所示:
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占百分比
28
29
8
35
已知同种血型的人可以互相输血,O型血可以输给任一种血型的人,任何人的血都可以输给AB型血的人,其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血,若小明因病需要输血,问:
(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少?
(2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少?
解
(1)对任一人,其血型为A,B,AB,O型血的事件分别记为A′,B′,C′,D′,它们是互斥的.
由已知,有P(A′)=0.28,P(B′)=0.29,P(C′)=0.08,P(D′)=0.35.
因为B,O型血可以输给B型血的人,故“可以输给B型血的人”为事件B′∪D′.
根据互斥事件的加法公式,得P(B′∪D′)=P(B′)+P(D′)=0.29+0.35=0.64.
(2)由于A,AB型血不能输给B型血的人,故“任找一个人,其血不能输给小明”为事件A′∪C′,且P(A′∪C′)=P(A′)+P(C′)=0.28+0.08=0.36.
2.某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖,一等奖,二等奖的事件分别为A,B,C.求:
(1)P(A),P(B),P(C);
(2)1张奖券的中奖概率;
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
解
(1)P(A)=,P(B)==,P(C)==.
故事件A,B,C的概率分别为,,.
(2)因为事件A,B,C两两互斥,所以所求概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=++=.
(3)P()=1-P(A∪B)=1-=.
即1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
3.某市为了解社区群众体育活动的开展情况,拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个行政区抽出6个社区进行调查,已知A,B,C三个行政区中分别有12,18,6个社区.
(1)求从A,B,C三个行政区中分别抽取的社区个数;
(2)若从抽得的6个社区中随机地抽取2个进行调查结果的对比,求抽取的2个社区中至少有1个来自A行政区的概率.
解
(1)社区总数为12+18+6=36,样本容量与总体的个数之比为=.
所以从A,B,C三个行政区中应分别抽取的社区个数为2,3,1.
(2)设A1,A2为在A行政区中抽到的2个社区,B1,B2,B3为在B行政区中抽到的3个社区,C为在C行政区中抽到的1个社区,在这6个社区中随机抽取2个,全部可能的结果有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C),(B2,B3),(B2,C),(B3,C),共15种.
设“抽取的2个社区至少有1个来自A行政区”为事件X,则事件X所包含的所有可能的结果有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C),共9种.
所以抽取的2个社区中至少有1个来自A行政区的概率P(X)==.
4.为振兴旅游业,某省面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡,向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡),向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡).某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到该省名胜旅游,其中是省外游客,其余是省内游客.在省外游客中有持金卡,在省内游客中有持银卡.
(1)在该团中随机采访2名游客,求恰有1人持银卡的概率;
(2)在该团中随机采访2名游客,求其中持金卡与持银卡人数相等的概率.
解
(1)由题意得省外游客有27人,其中9人持金卡;
省内游客有9人,其中6人持银卡.
设事件A为“采访该团2人,恰有1人持银卡”,
则P(A)==.
所以采访该团2人,恰有1人持银卡的概率是.
(2)设事件B为“采访该团2人中,持金卡人数与持银卡人数相等”,
事件B1为“采访该团2人中,0人持金卡,0人持银卡”,
事件B2为“采访该团2人中,1人持金卡,1人持银卡”.
P(B)=P(B1)+P(B2)=+=+=.
所以采访该团2人中,持金卡人数与持银卡人数相等的概率是.
考点二 随机变量及其分布
方法技巧 求解离散型随机变量的分布列问题,先要明确离散型随机变量的所有可能取值及其对应事件,然后确定分布列的类型,求出相应事件的概率,即可列出分布列,再求其期望与方差即可.若所求事件比较复杂,可以根据事件的性质将其分为互斥事件之和或转化为对立事件求解即可.
5.(2017·
山东)在心理研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:
将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与期望E(X).
解
(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,
则P(M)==.
(2)由题意知,X可取的值为0,1,2,3,4,则
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==,
P(X=4)==.
因此X的分布列为
X
1
2
3
4
P
E(X)=0×
P(X=0)+1×
P(X=1)+2×
P(X=2)+3×
P(X=3)+4×
P(X=4)=0+1×
+2×
+3×
+4×
=2.
6.(2017·
天津)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,.
(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和期望;
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
解
(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=×
×
=,
P(X=1)=×
+×
P(X=2)=×
P(X=3)=×
=.
所以随机变量X的分布列为
+1×
(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为
P(Y+=1)=P(Y=0,=1)+P(Y=1,=0)
=P(Y=0)P(=1)+P(Y=1)P(=0)=×
所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
7.(2017·
甘肃兰州一诊)随着人口老龄化的到来,我国的劳动力人口在不断减少,“延迟退休”已经成为人们越来越关心的话题,为了解公众对“延迟退休”的态度,某校课外研究性习小组在某社区随机抽取了50人进行调查,将调查情况进行整理后制成下表:
年龄
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
[40,45)
人数
5
8
[45,50)
[50,55)
[55,60)
[60,65)
[65,70)
6
7
经调查年龄在[25,30),[55,60)的被调查者中赞成“延迟退休”的人数分别是3和2,现从这两组的被调查者中各随机选取2人,进行跟踪调查.
(1)求年龄在[25,30)的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休”的概率;
(2)若选中的4人中,不赞成“延迟退休”的人数为X,求随机变量X的分布列和期望.
解
(1)设“年龄在[25,30)的被调查者中选取的2人都赞成延迟退休”为事件A,
所以P(A)==.
(2)X的可能取值为0,1,2,3,
所以P(X=0)==,
P(X=3)==.
所以X的分布列为
所以E(X)=0×
8.某高中全国数联赛培训共开设有初等代数、平面几何、初等数论和微积分初步四门课程,要求初等数论、平面几何都要合格,且初等代数和微积分初步至少有一门合格,则能取得参加数竞赛复赛的资格.现有甲、乙、丙三位同报名参加数竞赛培训,每一位同对这四门课程考试是否合格相互独立,其合格的概率均相同(见下表),且每一门课程是否合格相互独立.
课程
初等代数
平面几何
初等数论
微积分初步
合格的概率
(1)求甲同取得参加数竞赛复赛的资格的概率;
(2)记ξ表示三位同中取得参加数竞赛复赛资格的人数,求ξ的分布列及期望E(ξ).
解
(1)分别记甲对初等代数、平面几何、初等数论、微积分初步这四门课程考试合格为事件A,B,C,D,且事件A,B,C,D相互独立,“甲能取得参加数竞赛复赛的资格”的概率为
P(ABCD)+P(ABC)+P(BCD)
=×
(2)由题设知,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,
ξ~B,
∴P(ξ=0)=C3=,
P(ξ=1)=C12=,
P(ξ=2)=C21=,
P(ξ=3)=C3=.
∴ξ的分布列为
ξ
∵ξ~B,
∴E(ξ)=3×
考点三 概率与统计的综合问题
方法技巧 对于将统计图表和随机变量相结合的综合问题,首先要明确随机变量的意义,然后判断随机变量分布的类型,求出分布列.
9.(2016·
全国Ⅰ)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰,机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得到下面柱状图:
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(1)求X的分布列;
(2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?
解
(1)由柱状图并以频率代替概率可知,1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而
P(X=16)=0.2×
0.2=0.04
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