学年上海市杨浦区控江中学高二上学期期中数学试题 解析版.docx
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学年上海市杨浦区控江中学高二上学期期中数学试题 解析版.docx
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学年上海市杨浦区控江中学高二上学期期中数学试题解析版
2016-2017学年上海市杨浦区控江中学高二(上)期中数学试卷
一.填空题
1.已知等比数列{an},a1=1,a4=﹣8,则S7= .
2.线性方程组的增广矩阵是 .
3.已知向量=(2,),则向量的单位向量= .
4.已知向量=(3,2),=(﹣12,x﹣4),且∥,则实数x= .
5.已知an=,n∈N*,则an= .
6.已知向量=(cosα,0),=(1,sinα),则|+|的取值范围为 .
7.已知平面内三点A(3,0)、B(2,2)、C(5,﹣4),则向量与的夹角为 .
8.已知数列{an}满足an+1=,且a1=2,则an= .
9.已知不同的三点A,B,C在一条直线上,且=a5+a2012,则等差数列{an}的前2016项的和等于 .
10.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2且Sn=(n+1)an+1,则an= .
11.若数列{an}是首项为,公比为a﹣的无穷等比数列,且{an}各项的和为a,则a的值为 .
12.以AB为直径的半圆,||=2,O为圆心,C是上靠近点A的三等分点,F是上的某一点,若∥,则•= .
13.把数列{}的所有数按照从大到小的原则写成如表数表:
第k行有2k﹣1个数,第t行的第s个数(从左数起)记为A(t,s),则A(11,4)= .
14.点O在△ABC内部,且满足4+5+6=,则△ABC的面积与△ABO、△ACO面积之和的比为
二.选择题
15.用数学归纳法证明:
(n∈N*)时第一步需要证明( )
A.
B.
C.
D.
16.在等比数列{an}中,若a4,a8是方程x2﹣3x+2=0的两根,则a6的值是( )
A.B.C.D.±2
17.已知a>0,b>0,若,则a+b的值不可能是( )
A.7B.8C.9D.10
18.已知点A,B,C,D是直角坐标系中不同的四点,若=λ(λ∈R),=μ(μ∈R),且+=2,则下列说法正确的是( )
A.C可能是线段AB的中点
B.D可能是线段AB的中点
C.C、D可能同时在线段AB上
D.C、D不可能同时在线段AB的延长线上
三.解答题
19.已知向量=(1,2),=(x,1);
(1)若(+2)⊥(2﹣)时,求x的值;
(2)若向量与向量的夹角为锐角,求x的取值范围.
20.已知等比数列{an}的首项为1,公比为q,它的前n项和为Sn;
(1)若S3=3,S6=﹣21,求公比q;
(2)若q>0,且Tn=a1+a3+…+a2n﹣1,求.
21.已知数列{an}满足an+1=﹣an2+2an,n∈N*,且a1=0.9,令bn=lg(1﹣an);
(1)求证:
数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{}各项和.
22.设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是、,坐标平面上点列An、Bn(n∈N*)分别满足下列两个条件:
①=且=+;②=4且=×4;
(1)写出及的坐标,并求出的坐标;
(2)若△OAnBn+1的面积是an,求an(n∈N*)的表达式;
(3)对于
(2)中的an,是否存在最大的自然数M,对一切n∈N*都有an≥M成立?
若存在,求出M,若不存在,说明理由.
2016-2017学年上海市杨浦区控江中学高二(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.填空题
1.已知等比数列{an},a1=1,a4=﹣8,则S7= .
【考点】等比数列的前n项和.
【分析】设出等比数列的公比,由a1和a4的值求出q,直接代入等比数列的前n项和公式求S7.
【解答】解:
设等比数列{an}的公比为q,
由a1=1,a4=﹣8,得:
a4=a1q3=1×q3=﹣8,
所以,q=﹣2.
则S7==.
故答案是:
.
2.线性方程组的增广矩阵是 .
【考点】几种特殊的矩阵变换.
【分析】首先要知道增广矩阵的定义增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列,这一列是方程组的等号右边的值然后直接求解可得.
【解答】解:
由增广矩阵的定义:
增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列,这一列是方程组的等号右边的值
可直接写出增广矩阵为.
故答案为.
3.已知向量=(2,),则向量的单位向量= .
【考点】单位向量.
【分析】利用向量的单位向量=,即可得出.
【解答】解:
向量的单位向量===.
故答案为:
.
4.已知向量=(3,2),=(﹣12,x﹣4),且∥,则实数x= ﹣4 .
【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示.
【分析】利用向量共线定理即可得出.
【解答】解:
∵∥,∴﹣12×2﹣3(x﹣4)=0,
解得x=﹣4.
故答案为:
﹣4.
5.已知an=,n∈N*,则an= 1 .
【考点】数列的极限.
【分析】利用数列的极限求解即可.
【解答】解:
an=,n∈N*,
则an===1.
故答案为:
1.
6.已知向量=(cosα,0),=(1,sinα),则|+|的取值范围为 [0,2] .
【考点】三角函数的最值;平面向量的坐标运算.
【分析】直接利用向量的模化简,通过三角函数求解表达式的最值.
【解答】解:
向量=(cosα,0),=(1,sinα),
则|+|==∈[0,2].
故答案为:
[0,2].
7.已知平面内三点A(3,0)、B(2,2)、C(5,﹣4),则向量与的夹角为 π .
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】先求出的坐标,容易得到,这样即可得出,的夹角.
【解答】解:
;
∴;
∴与方向相反;
∴的夹角为π.
故答案为:
π.
8.已知数列{an}满足an+1=,且a1=2,则an= ﹣2 .
【考点】数列的极限.
【分析】可设an+1﹣t=(an﹣t),解得t=﹣2,则an+1+2=(an+2),运用等比数列的通项公式,可得数列{an}的通项公式,再由数列极限公式,即可得到所求值.
【解答】解:
an+1=,
可设an+1﹣t=(an﹣t),
解得t=﹣2,
则an+1+2=(an+2),
可得an+2=(a1+2)•()n﹣1,
=4•()n﹣1,
即an=4•()n﹣1﹣2,
则an=[4•()n﹣1﹣2]
=0﹣2=﹣2.
故答案为:
﹣2.
9.已知不同的三点A,B,C在一条直线上,且=a5+a2012,则等差数列{an}的前2016项的和等于 1008 .
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】不同的三点A,B,C在一条直线上,且=a5+a2012,可得a5+a2012=1.可得a1+a2016=a5+a2012.再利用等差数列的求和公式即可得出.
【解答】解:
不同的三点A,B,C在一条直线上,且=a5+a2012,
∴a5+a2012=1.
∴a1+a2016=a5+a2012=1.
则等差数列{an}的前2016项的和==1008.
故答案为:
1008.
10.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2且Sn=(n+1)an+1,则an= .
【考点】数列递推式.
【分析】a1=2且Sn=(n+1)an+1,n≥2时,Sn﹣1=nan,可得:
an+1=an.即可得出.
【解答】解:
a1=2且Sn=(n+1)an+1,
n≥2时,Sn﹣1=nan,可得:
Sn﹣Sn﹣1=nan,可得:
an=(n+1)an+1﹣nan,∴an+1=an.
∴an=.
故答案为:
.
11.若数列{an}是首项为,公比为a﹣的无穷等比数列,且{an}各项的和为a,则a的值为 1 .
【考点】等比数列的通项公式.
【分析】由题意可得:
=a,化为:
2a2﹣3a+1=0,解得a并验证即可得出.
【解答】解:
由题意可得:
=a,
化为:
2a2﹣3a+1=0,解得a=1或,
a=时,公比为0,舍去.
∴a=1.
故答案为:
1.
12.以AB为直径的半圆,||=2,O为圆心,C是上靠近点A的三等分点,F是上的某一点,若∥,则•= .
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】可以点O为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,并连接OC,根据条件可得出∠COA=∠FOB=60°,并且OC=OF=1,这样即可求出点A,B,C,F的坐标,进而得出向量的坐标,从而得出的值.
【解答】解:
以O为原点,OB所在直线为x轴,
建立如图所示平面直角坐标系:
连接OC,据题意,∠COA=60°;
∴∠CAO=FOB=60°;
且OC=OF=1;
∴;
∴;
∴.
故答案为:
.
13.把数列{}的所有数按照从大到小的原则写成如表数表:
第k行有2k﹣1个数,第t行的第s个数(从左数起)记为A(t,s),则A(11,4)= .
【考点】归纳推理.
【分析】第k行有2k﹣1个数知每行数的个数成等比数列,要求A(t,s),先求A(t,1),就必须求出前t﹣1行一共出现了多少个数,根据等比数列求和公式可求,而由可知,每一行数的分母成等差数列,可求A(t,s),令t=11,s=4,可求A(11,4).
【解答】解:
由第k行有2k﹣1个数,知每一行数的个数构成等比数列,首项是1,公比是2,
∴前t﹣1行共有=2t﹣1﹣1个数,
∴第t行第一个数是A(t,1)==,
∴A(t,s)=,
令t=11,s=4,
∴A(11,4)=.
故答案为.
14.点O在△ABC内部,且满足4+5+6=,则△ABC的面积与△ABO、△ACO面积之和的比为 15:
11
【考点】向量在几何中的应用.
【分析】可作,从而可得到,然后以OA,OD为邻边作平行四边形OAED,并连接OE,设交BC于点N,这样画出图形,根据三角形的相似便可得出,进而便可求出的值,这样即可求出的值,从而得出△ABC的面积与△ABO、△ACO面积之和的比值.
【解答】解:
作,则;
∴;
∴;
以为邻边作平行四边形OAED,连接OE,交BC于N,如图所示:
;
∴;
根据三角形相似得,,;
∴;
∴;
∴;
∴;
∴△ABC的面积与△ABO、△ACO面积之和的比为15:
11.
故答案为:
15:
11.
二.选择题
15.用数学归纳法证明:
(n∈N*)时第一步需要证明( )
A.
B.
C.
D.
【考点】用数学归纳法证明不等式.
【分析】直接利用数学归纳法写出n=2时左边的表达式即可,不等式的左边需要从1加到,不要漏掉项.
【解答】解:
用数学归纳法证明,
第一步应验证不等式为:
;
故选C.
16.在等比数列{an}中,若a4,a8是方程x2﹣3x+2=0的两根,则a6的值是( )
A.B.C.D.±2
【考点】等比数列的通项公式;函数的零点.
【分析】利用根与系数的关系可得a4a8,再利用等比数列的性质即可得出.
【解答】解:
∵a4,a8是方程x2﹣3x+2=0的两根,∴a4a8=2,a4+a8=3>0.
∴a4>0,a8>0.
由等比数列{an},,∴.
由等比数列的性质可得:
a4,a6,a8同号.
∴.
17.已知a>0,b>0,若,则a+b的值不可能是( )
A.7B.8C.9D.10
【考点】数列的极限.
【分析】通过a>b与a<b,利用极限分别求出a与b的关系,然后求解a+b的值即可判断选项.
【解答】解:
当a>b时,,可得=a,所以a+b<2a=10.
当a<b时,,可得=b,所以a+b<2b=10,
综上,a+b的值不可能是10.
故选D.
18.已知点A,B,C,D是直角坐标系中不同的四点,若=λ(λ∈R),=μ(μ∈R),且+=2,则下列说法正确的是( )
A
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