版高中数学第一章立体几何初步116棱柱棱锥棱台和球的表面积学案新人教B版必修2含答案Word文件下载.docx
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S球=________
其中c′,c分别表示上、下底面周长,h表示高,h′表示斜高,R表示球的半径.
类型一 柱、锥、台的侧(表)面积
例1 现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,求该直四棱柱的侧面积.
反思与感悟 多面体表面积的求解方法
(1)棱锥、棱台的表面积为其侧面积与底面积之和,底面积根据平面几何知识求解,求侧面积的关键是求斜高和底面周长.
(2)斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等,往往可以构成直角三角形(或梯形),利用好这些直角三角形(或梯形)是解题的关键.
跟踪训练1
(1)已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6,其侧面积等于两底面面积之和,则该正四棱台的高是( )
A.2B.C.3D.
(2)已知正三棱锥V-ABC的主视图、俯视图如图所示,其中VA=4,AC=2,求该三棱锥的表面积.
例2
(1)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A.3πB.4π
C.2π+4D.3π+4
(2)已知圆柱与圆锥的高、底面半径分别相等.若圆柱的底面半径为r,圆柱的侧面积为S,则圆锥的侧面积为________.
反思与感悟 由圆柱、圆锥的侧面积公式可知,要求其侧面积,必须已知(或能求出)它的底面圆的半径和它的母线长.
跟踪训练2
(1)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )
A.B.
C.D.
(2)轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥,则等边圆锥的侧面积是底面积的( )
A.4倍B.3倍C.倍D.2倍
类型二 简单组合体的表面积
例3
(1)如图是一建筑物的三视图,现需将其外壁用油漆刷一遍,已知每平方米用漆0.2千克,问需要油漆多少千克?
(尺寸如图,单位:
米,π取3.14,结果精确到0.01千克)
(2)已知在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°
,AD=a,BC=2a,∠DCB=60°
,在平面ABCD内,过点C作l⊥CB,以l为轴将梯形ABCD旋转一周,求旋转体的表面积.
反思与感悟 求组合体表面积的三个基本步骤
(1)要弄清楚它是由哪些基本几何体构成的,组成形式是什么.
(2)根据组合体的组成形式设计计算思路.
(3)根据公式计算求值.
跟踪训练3 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为________.
类型三 球的表面积
例4 有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.
反思与感悟
(1)在处理球和长方体的组合问题时,通常先作出过球心且过长方体对角面的截面图,然后通过已知条件求解.
(2)球的表面积的考查常以外接球的形式出现,可利用几何体的结构特征构造熟悉的正方体,长方体等,通过彼此关系建立关于球的半径的等式求解.
跟踪训练4 已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为________.
1.一个几何体的三视图如图所示(单位长度:
cm),则此几何体的表面积是( )
A.(80+16)cm2B.84cm2
C.(96+16)cm2D.96cm2
2.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是个半圆,则该几何体的表面积为( )
A.πB.π+
C.π+D.π+
3.一块石材表示的几何体的三视图如图所示.将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )
A.1B.2
C.3D.4
4.一个高为2的圆柱,底面周长为2π,则该圆柱的表面积为________.
5.表面积为3π的圆锥,它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的底面直径为________.
1.多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和.棱柱的表面积等于它的侧面积加两个底面积;
棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积;
棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积.
2.有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面,就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解.而对于圆台有时需要将它还原成圆锥,再借助相似的相关知识求解.
答案精析
知识梳理
知识点
ch ch′ (c+c′)h′ 侧面积 底面积 4πR2
题型探究
例1 解 如图,设底面对角线AC=a,BD=b,交点为O,对角线A1C=15,B1D=9,
∴a2+52=152,
b2+52=92,
∴a2=200,b2=56.
∵该直四棱柱的底面是菱形,
∴AB2=()2+()2===64,
∴AB=8.
∴直四棱柱的侧面积为4×
8×
5=160.
跟踪训练1
(1)A
[如图,E、E1分别是BC、B1C1的中点,O、O1分别是下、上底面正方形的中心,则O1O为正四棱台的高,连接OE、O1E1,作E1H∥O1O,
由题意,得×
4=9+36,
∴EE1=,
在Rt△EHE1中,E1H2=EE-EH2=-=4,
∴E1H=2,∴O1O=2,故选A.]
(2)解 由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图,如图所示,
且VA=VB=VC=4,AB=BC=AC=2.
取BC的中点D,连接VD,则VD⊥BC,
所以VD===,
则S△VBC=VD·
BC
=×
×
2=,
S△ABC=×
(2)2×
=3,
所以三棱锥V-ABC的表面积为
3S△VBC+S△ABC=3+3=3(+).
例2
(1)D [由三视图可知,原几何体为半圆柱,底面半径为1,高为2,则表面积为
S=2×
π×
12+×
2π×
1×
2+2×
2
=π+2π+4=3π+4.]
(2)
解析 设圆柱的高为h,则2πrh=S,
∴h=.
设圆锥的母线为l,∴l==.
∴圆锥的侧面积为πrl=πr=.
跟踪训练2
(1)A [设圆柱的母线长为l,∴l=2πr,r=,
则圆柱的表面积为2πr2+l2=2π+l2=l2,侧面积为l2,
∴圆柱的表面积与侧面积的比是
l2∶l2=.
故选A.]
(2)D [设圆锥底面半径为r,
由题意知母线长l=2r,
则S侧=πr×
2r=2πr2,
∴==2.]
例3
(1)解 建筑物为一组合体,上面是底面半径为3米,母线长为5米的圆锥,下面是底面边长为3米,高为4米的正四棱柱.
圆锥的表面积为πr2+πrl≈3.14×
32+3.14×
3×
5
=28.26+47.1=75.36(平方米).
四棱柱的一个底面积为32=9(平方米),
四棱柱的侧面积为4×
4×
3=48(平方米).
所以外壁面积S≈75.36-9+48
=114.36(平方米).
故需油漆114.36×
0.2=22.872
≈22.88(千克).
(2)解 由题意,线段AB旋转一周形成圆柱的侧面,线段CB旋转一周形成圆C,线段CD旋转一周形成圆锥的侧面,线段AD旋转一周形成一个圆环,∵∠DCB=60°
,∴圆锥的底面半径为r=a,母线l=2a,高为a,
∴旋转体的表面积S=S圆柱侧+S圆C+S圆锥侧+S圆环=2π·
2a·
a+π·
(2a)2+π·
a·
2a+π[(2a)2-a2]
=(9+4)πa2.
跟踪训练3 38
解析 如图所示,该几何体是长为4,宽为3,高为1的长方体内部挖去一个底面半径为1,高为1的圆柱后剩下的部分.
∴S表=(4×
1+3×
4+3×
1)×
2+2π×
1-2π×
12=38.
例4 解 设正方体的棱长为a.
(1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面正方形的中心,经过四个切点及球心作截面,如图①,所以有2r1=a,r1=,所以S1=4πr=πa2.
(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面,如图②,2r2=a,r2=a,所以S2=4πr=2πa2.
(3)正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,如图③,所以有2r3=a,r3=a,
所以S3=4πr=3πa2.
综上可得S1∶S2∶S3=1∶2∶3.
跟踪训练4 π
解析 如图,设球O的半径为R,则由AH∶HB=1∶2,得
HA=·
2R=R,∴OH=.
∵截面面积为
π=π·
(HM)2,
∴HM=1.
在Rt△HMO中,OM2=OH2+HM2,
∴R2=R2+HM2=R2+1,
∴R=.
∴S球=4πR2=4π·
2=π.
当堂训练
1.A 2.C 3.B
4.6π
解析 设圆柱的底面半径为r,高为h.
由2πr=2π得r=1,
∴S圆柱表=2πr2+2πrh=2π+4π=6π.
5.2
解析 设圆锥的母线为l,圆锥底面半径为r.
则πl2+πr2=3π,πl=2πr,
∴r=1,即圆锥的底面直径为2.
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- 高中数学 第一章 立体几何 初步 116 棱柱 棱锥 表面积 新人 必修 答案
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