广西钦州市学年高二上学期期末考试数学理试题.docx

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广西钦州市学年高二上学期期末考试数学理试题

【市级联考】广西钦州市2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题

学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

一、单选题

1．抛物线的焦点坐标是（）

A．B．C．D．

2．年央视大型文化节目《经典咏流传》的热播，在全民中掀起了诵读诗词的热潮，节目组为热心观众给以奖励，要从名观众中抽取名幸运观众．先用简单随机抽样从人中剔除人，剩下的人再按系统抽样方法抽取人，则在人中，每个人被抽取的可能性（）

A．均不相等B．都相等，且为

C．不全相等D．都相等，且为

3．若a，b为实数，则“”是“”的　　

A．充要条件B．充分非必要条件

C．必要非充分条件D．既非充分必要条件

4．抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事件，则的对立事件是（）

A．至多抽到2件次品B．至多抽到2件正品

C．至少抽到2件正品D．至多抽到一件次品

5．在空间直角坐标系中，已知点，过点作平面的垂线，垂足为，则点的坐标为（）

A．B．C．D．

6．已知命题，；，，若“且”为真命题，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

7．正四面体中，D是AB边的中点，P是线段AB上的动点，记SP与BC所成角为，SP与底面ABC所成角为，二面角为，则下列正确的是

A．

B．

C．

D．

8．平面α的法向量为＝（1,2，－2），平面β的法向量＝（－2，h，k），若α∥β，则h＋k的值为（　　）

A．－2B．－8C．0D．－6

9．如图，圆内切于扇形，，若在扇形内任取一点，则该点不在圆内的概率为（）

A．B．C．D．

10．已知椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，是直角三角形，则的面积为（）

A．B．或4C．D．或4

11．设椭圆的焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则

A．B．

C．D．

12．某学校在数学联赛的成绩中抽取100名学生的笔试成绩，统计后得到如图所示的分布直方图，这100名学生成绩的中位数估值为（）

A．80B．82C．82.5D．84

13．秦久韶是我国南宋时期的著名数学家，他在其著作《数书九章》中提出的多项式求值的算法，被称为秦久韶算法，下图为用该算法对某多项式求值的程序框图，执行该程序框图，若输入的，则输出的为（）

A．1B．3C．7D．15

14．正方体的棱长为1，则二面角的余弦值为（）

A．B．C．D．

15．如图，正方体的棱长为1，则点到平面的距离为（）

A．B．C．D．

二、填空题

16．若某中学高二年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数是_________．

17．某产品分为优质品、合格品、次品三个等级，生产中出现合格品的概率为0.25，出现次品的概率为0.03，在该产品中任抽一件，则抽到优质品的概率为__________．

18．已知椭圆，直线与椭圆相交于两点，点是弦的中点，则直线的方程为__________．

19．某公司调查了商品的广告投入费用（万元）与销售利润（万元）的统计数据，如下表：

广告费用（万元）

销售利润（万元）

由表中的数据得线性回归方程为，则当时，销售利润的估值为___．（其中：

）

20．若回归直线的斜率估值为1.23，样本中心点为，当时，估计的值为___．

三、解答题

21．已知，命题方程表示焦点在轴上的椭圆，命题方程表示双曲线.

（1）若命题是真命题，求实数的范围；

（2）若命题“或”为真命题，“且”是假命题，求实数的范围.

22．读下列程序：

（1）根据程序，画出对应的程序框图；

（2）写出该程序表示的函数，并求出当输出的时，输入的的值.

23．某高中三年级的甲、乙两个同学同时参加某大学的自主招生，在申请的材料中提交了某学科10次的考试成绩，记录如下：

甲：

78869597888276899295

乙：

73836982938679758499

（1）根据两组数据，作出两人成绩的茎叶图，并通过茎叶图比较两人本学科成绩平均值的大小关系及方差的大小关系（不要求计算具体值，直接写出结论即可）

（2）现将两人的名次分为三个等级：

成绩分数

等级

合格

良好

优秀

根据所给数据，从甲、乙获得“优秀”的成绩组合中随机选取一组，求选中甲同学成绩高于乙同学成绩的组合的概率.

24．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，并分别记为.

（1）若记“”为事件，求事件发生的概率；

（2）若记“”为事件，求事件发生的概率.

25．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，点分别是和的中点.

（1）证明：

；

（2）求二面角的余弦值.

26．椭圆的离心率为，过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得线段长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）在轴上是否存在异于点的定点，使得直线变化时，总有？

若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

27．设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．

（1）当与轴垂直时，求直线的方程；

（2）证明：

．

参考答案

1．B

【解析】

【分析】

本题首先可以根据抛物线方程得出焦点所在位置以及的值，然后就可以得出焦点坐标，最后得出结果。

【详解】

由抛物线方程可知，抛物线的焦点在轴正方向上，且，

故焦点坐标为，故选B。

【点睛】

本题考查抛物线的相关性质，考查根据抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，考查计算能力，考查对抛物线焦点坐标的理解，是简单题。

2．B

【分析】

抽样方式的变化并不会改变每个个体被抽取的几率，故概率仍为，再通过约分便可得出答案．

【详解】

解：

先利用简单随机抽样剔除18人，每人被剔除的概率是相等的，

然后再使用系统抽样，每个人被抽取的概率仍旧是相等的，

故每个个体被抽到的机会是均等的，

每个个体被抽到的概率为样本容量比总体容量，

即在2018人中，抽取50人的概率为，

故答案选B.

【点睛】

本题考查了抽样的性质，不论什么样的抽样方式都遵循机会均等的原则，概率是不会发生改变的．

3．B

【分析】

根据充分条件和必要条件的概念，即可判断出结果.

【详解】

解不等式得或；

所以由“”能推出“或”，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.

故选B

【点睛】

本题主要考查充分条件与必要条件的概念，熟记概念即可，属于基础题型.

4．D

【分析】

由对立事件的概念可知，直接写出其对立事件即可.

【详解】

“至少抽到2件次品”的对立事件为“至多抽到1件次品”，故选D

【点睛】

本题主要考查对立事件的概念，熟记对立事件的概念即可求解，属于基础题型.

5．C

【分析】

由过点作平面的垂线，垂足的坐标为，即可求出结果.

【详解】

因为过点作平面的垂线，垂足为，所以可得两点的横坐标与竖坐标相同，只纵坐标不同，且在平面中所有点的纵坐标都是0，因为，所以有.

故选C

【点睛】

本题主要考查空间中的点的坐标，属于基础题型.

6．A

【解析】

【分析】

本题首先可以根据“且”为真命题得出命题与命题的真假性，然后根据命题与命题的真假性来分别求出命题与命题所对应的实数的取值范围，最后得出结果。

【详解】

因为“且”为真命题，所以命题是真命题，命题是真命题

因为且命题是真命题，所以，

因为且命题是真命题，所以，

综上所述，实数的取值范围是，故选A。

【点睛】

本题考查逻辑联结词的相关性质，主要考查逻辑联结词中的“且”的相关性质，如果“且”为真命题，则命题是真命题且命题是真命题，是中档题。

7．B

【分析】

先分别求出二面角以及直线与所成的角，再结合题中条件即可判定出结果.

【详解】

设正四面体的各边长均为，连结，，取中点，底面的重心记作，连结，，由题意可得在底面的投影为，且为的一个三等分点，所以有，，

所以即为与所成的角，即为二面角即，同时也是直线与底面所成的角，

因此，

当由向靠近时，不变，逐渐增大，所以逐渐减小；当与重合时，与所成角的值为，当由向靠近时，逐渐增大，故，

故选B

【点睛】

本题主要考查空间角的综合问题，需要考生掌握着立体几何法求空间角，即作辅助线找到所求空间角，进而即可求解，属于中档试题.

8．C

【分析】

因为为共线向量，从而，故．

【详解】

因为共线，故存在实数使得，故，所以，，故选C．

【点睛】

空间向量中有三个定理：

（1）共线向量基本定理：

如果为共线向量，则存在实数使得．

（2）共面向量基本定理：

为不共线向量，若与共面，则存在实数使得，该定理就是平面向量基本定理．

（3）空间向量基本定理：

如果为不共面向量，则对于空间的任意向量，存在唯一的有序实数对，使得．该定理和平面向量基本定理有类似的应用即可把空间向量的问题基底化．

9．C

【解析】

设圆半径为，因为扇形面积为，所以该点不在圆内的概率为，选C.

点睛：

（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．

（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．

（3）几何概型有两个特点：

一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．

10．C

【解析】

【分析】

根据椭圆的方程可得，若若轴或，结合直角三角形的面积公式，可得△PF1F2的面积，若P为椭圆短轴的一个端点则不可能有

【详解】

∵椭圆方程为，

∴a2=5，b2=4，可得c2=a2-b2=1，

即，

若轴或，把代入椭圆方程得，解得∴△PF1F2的面积

若P为椭圆短轴的一个端点则在中故不可能有

故选C．

【点睛】

本题给出椭圆中是直角三角形，求它的面积，着重考查了勾股定理、椭圆的定义和简单几何性质等知识．

11．A

【解析】

【分析】

先求出焦点的坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而得到短半轴长的平方，可求出．得到.

【详解】

抛物线的焦点为（0，2），

∴椭圆的焦点在y轴上，

∴c=2，

由离心率 e=，可得a=4，∴b2=a2-c2=，即

故.

故选A.

【点睛】

本题考查双曲线的几何性质，注意分析双曲线焦点的位置．

12．B

【解析】

中位数的左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值，，中位数为，故选B.

13．D

【解析】

【分析】

本题首先要确定输入程序框图的初始值为、、，然后在程序框图中找出运算的关系式，最后通过程序框图运行，即可得出结果．

【详解】

输入，，，

第一次运算：

；

第二次运算：

；

第三次运算：

；

第四次运算：

，此时，

综上所述输出的为15，故选D．

【点睛】

本题考查了程序框图的相关性质，主要考查了程序框图的循环结构，考查了推理能力，在计算程序框图时一定要能够准确的找出运算的关系式，是简单题．

14．A

【分析】

作出正方体，取中点，连结交于点，连结，说明即是二面角的平面角，求解即可.

【详解】

如图，取中点，连结交于点，连结，，则，，

所以即是二面角的平面角，

又因正方体棱长为1，所以，所以，又，

所以在，即二面角的余弦值为，

故选A

【点睛】

本题主要考查求二面角的大小，可用立体几何法在几何体中作出二面角的平面角，通过解三角形即可求解，属于基础题型.

15．C

【