必修五数列复习专题Word格式.docx

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等差数列的判定方法:

（1）定义法：

对于数列，若（常数），则数列是等差数列。

（2）等差中项：

对于数列，若，则数列是等差数列。

等差数列的通项公式：

如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为。

说明：

该公式整理后是关于的一次函数。

等差数列的前项和：

①②

对于公式②整理后是关于的没有常数项的二次函数。

等差中项：

如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。

即：

或

在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；

事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。

等差数列的性质：

（1）等差数列任意两项间的关系：

如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有

（2）对于等差数列，若，则。

也就是：

，如图所示：

（3）若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列。

如下图所示：

3.等比数列

等比数列的概念：

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示（）。

等比中项：

如果在与之间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项。

也就是，如果是的等比中项，那么，即。

等比数列的判定方法：

对于数列，若，则数列是等比数列。

（2）等比中项：

等比数列的通项公式：

如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为。

等比数列的前n项和：

当时，

等比数列的性质：

①等比数列任意两项间的关系：

如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有

②对于等比数列，若，则

。

如图所示：

③若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列。

4.数列前n项和

（1）重要公式：

；

（2）等差数列中，

（3）等比数列中，

（4）裂项求和：

（）

四、递推关系通项公式的求法：

对于给定递推关系求数列的通项公式成为近年高考考查热点之一。

常见的出题形式为先给定数列的初始值及数列的递推关系，要求求出通项公式。

本文结合对历年高考考查的模式，总结出常见的主要有以下几种类型：

模式一：

形如递推式。

由累加法可求得通项公式为

例1．（2007北京高考题）数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．（）求的值；

（）求的通项公式

模式二：

由得，

例2．已知数列满足，，，求通项公式。

模式三：

形如（其中、为常数）递推式，通常解法是设

，求出，因是等比数列则可求出通项公式。

例3．（2007全国高考卷Ⅰ）已知数列中，，

．（）求的通项公式；

模式四：

形如（其中为常数）递推式，（、为常数）是其特殊情形。

后者的等式两边同除以，得，令，则可化归为（、为常数）型。

例4．（2007天津高考题）在数列中，

，其中．（）求数列的通项公式；

（）略；

模式五：

形如（其中为常数）递推式，设数列，使，则，即，令，则，即已化为模式一。

例5．已知数列满足，且，求数列的通项公式。

模式六：

形如（且递推式，它的推广形式为。

通过对等式两边取对数，得，再令，即转化为类型一

例6．已知数列满足，求。

模式七：

形如（其中、是不为零的常数）递推式，可变形为

，则是公比为的等比数列，这就转化为了模式三。

例7．（2006福建文科高考题）已知数列满足,

（II）求数列的通项公式；

模式八：

形如及其变形形式和

（其中、是不为零的常数）递推式。

对两边同除以，再令，，即化为等差数列形式。

例8．（2005重庆高考题）数列满足且记（）略；

（Ⅱ）求数列的通项公式及数列的前n项和

模式九：

形如（其中）递推式，它是模式八的推广。

通常两边同除以，得，有，再令，得，这就化为了模式五。

例9．（2006江西高考题）已知数列｛an｝满足：

，且，（）求数列｛an｝的通项公式；

（2）略。

解：

（）将条件变为：

，因此为一个等比数列，其首项为1－＝，公比，从而，据此可得.

模式十：

形如（其中、是不为零的常数）递推式，将原式转化为，然后再通过迭代进行求解。

例10．（2005江西高考题）已知数列，

，

（1）略；

（2）求数列的通项公式an.

模式十一：

形如（、、、为常数）递推式，解常解法为：

先设函数，视、为得到特征方程，再以此方程的解的情况来求解。

若此方程无解，则此数列为循环数列；

若特征方程有两个不等的实根、，则可变形为（其中）；

若特征方程有两个相等的实根，则可变形为（其中为常数）。

例11．已知数列｛an｝，满足，求an.

模式十二：

形如（其中、为非零常数）递推式。

例12．（2007四川高考题）已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中为正实数。

（Ⅰ）、（Ⅱ）略；

（Ⅲ）若，记，证明数列成等比数列，并求数列的通项公式。

五、例析数列求和的常用方法

数列求和是数列教学内容的中心问题之一，也是近年高考命题的一个热点问题。

掌握一些求和的方法和技巧可以提高解决此问题的能力。

本文例析了一些求和的方法，仅供参考。

（一）倒序相加法：

将一个数列倒过来排序（倒序），当它与原数列相加时，若有因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。

如等差数列的求和公式的推导。

例1．已知满足，当时，，若，求

（二）错位相减法：

这是推导等比数列的前项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列的前项和，其中、分别是等差数列和等比数列。

例2．求数列的前项和。

（三）分组求和法所谓分组求和法，即将一个数列中的项拆成几项，转化成特殊数列求和。

例3．已知数列满足，求其前项和。

（四）公式法（恒等式法）：

利用已知的求和公式来求和，如等差数列与等比数列求和公式，再如

、等公式。

例4．求数列,,的和。

（五）拆项（裂项）相消法：

若数列能裂项成，即所裂两项具有传递性（即关于n的相邻项，使展开后中间项能全部消去）。

例5．已知数列满足，求数列的前项和

（六）通项化归法：

即把数列的通项公式先求出来，再利用数列的特点求和。

例．求数列的前项和

（七）并项法求和：

在数列求和中，若出现相邻两项（或有一定规律的两项）和为常数时，可用并项法，但要注意的奇偶性。

例7．已知数列，求数列的前项和

（八）奇偶分析项：

当数列中的项有符号限制时，应分为奇数、偶数进行讨论。

例8．若，求数列的前项和

（九）利用周期性求和：

若数列，都有（其中,为给定的自然数，），则称数列为周期数列，其中为其周期。

例9．已知数列中，，求其前项的和.

（十）导数法：

利用函数的求导来计算数列的和。

例10．求数列前项和，其中.

（十一）待定系数法：

若数列的和是一个多项式，可以考虑用待定系数法。

例11．求，，，，的和

（十二）组合数法

例12．求数列，，，的和

数列专题复习

一、填空题

1．已知－1，x，－4成等比数列，则x的值是

2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，b=1，则c等于

3．一个等差数列的前4项的和为40，最后4项的和为80，所有项的和是210，则项数n是

4．已知四个实数成等差数列，五个实数成等比数列，则的值等于

5．在△ABC中，a=2,A=30°

C=45°

则△ABC的面积S的值是

6.已知正项数列中,,,则通项

7．已知等差数列共有10项，其奇数项的和为15，偶数项的和为30，则该等差数列的公差为

8．若是等差数列，首项，，，则使前n项和成立的最大自然数n是

9．数列，，，则=

10．某煤矿从开始建设到出煤共需5年,每年国家投资100万元,如果按年利率为10﹪来考虑,那么到出煤的时,国家实际投资总额是（其中）

11．在△ABC中，已知b=，则∠C=

12．已知等差数列中，=

13．在函数中，若a,b,c成等比数列，且，则f（x）有最值（填“大”或“小”），且该值为

14．已知数列的前n项和，则通项公式

15．Rt△ABC的三个内角的正弦值成等比数列，设最小的锐角为角A，则sinA=

16.设函数f（x）满足=（n∈N*）且，则=；

17.设，则

18.某工厂生产总值的月平均增长率是,则年增长率是

二、解答题

19．在等比数列中，，求

（1）和公比q；

（2）若各项均为正数，求数列的前n项和。

20．在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，A,B是锐角，c=10，且

（1）证明∠C=90°

；

（2）求△ABC的面积。

21．已知正数数列的前n项和为，且对于任意的，有

（1）求证为等差数列；

（2）求的通项公式；

（3）设，求的前n项和。

答案：

一、12或－22、23、144、5、6、7、3

8、C.40149、A10、671万元11、12、1513、大、-314、15、1697、17、

18、

17、

（1）

（2）

18、

（1）证明略

（2）24

19、

（1）证明略

（2）2n-1（3）