《一元二次不等式及其解法》典型例题透析Word文件下载.doc
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(3)方法一:
原不等式整理得.
因为,方程无实数解,
所以不等式的解集是.
所以原不等式的解集是.
∵
∴原不等式的解集是.
总结升华:
1.初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决,培养并提高数形结合的分析能力;
2.当时,用配方法,结合符号法则解答比较简洁(如第2、3小题);
当且是一个完全平方数时,利用因式分解和符号法则比较快捷,(如第1小题).
3.当二次项的系数小于0时,一般都转化为大于0后,再解答.
举一反三:
【变式1】解下列不等式
(1);
(2)
(3);
(4).
【答案】
方程的两个实数根为:
因而不等式的解集是:
.
∵原不等式等价于,
∴原不等式的解集是:
(2)整理,原式可化为,
因为,
方程的解,,
方程有两个相等的实根:
由函数的图象为:
原不等式的的解集是.
∵原不等式等价于:
∴原不等式的的解集是.
(4)方法一:
由函数的简图为:
原不等式的解集是.
∵,
∴原不等式解集为.
【变式2】解不等式:
【答案】原不等式可化为不等式组
,即,即,
解得
∴原不等式的解集为.
类型二:
已知一元二次不等式的解集求待定系数
例2.不等式的解集为,求关于的不等式的解集。
由二次不等式的解集为可知:
4、5是方程的二根,故由韦达定理可求出、的值,从而解得.
由题意可知方程的两根为和
由韦达定理有,
∴,
∴化为,即
,解得,
故不等式的解集为.
二次方程的根是二次函数的零点,也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根,我们可以利用韦达定理,找到不等式的解集与其系数之间的关系,这一点是解此类题的关键。
【变式1】不等式ax2+bx+12>
0的解集为{x|-3<
x<
2},则a=_______,b=________。
【答案】由不等式的解集为{x|-3<
2}知a<
0,且方程ax2+bx+12=0的两根为-3,2。
由根与系数关系得
解得a=-2,b=-2。
【变式2】已知的解为,试求、,并解不等式.
【答案】由韦达定理有:
,,∴,.
∴代入不等式得,
即,,解得,
故不等式的解集为:
【变式3】已知关于的不等式的解集为,求关于的不等式的解集.
,解得,代入不等式得
,即,解得或.
∴的解集为:
类型三:
二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题
例3.已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>
0对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围。
不等式对一切实数恒成立,即不等式的解集为R,要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。
(1)当m2+4m-5=0时,m=1或m=-5
若m=1,则不等式化为3>
0,对一切实数x成立,符合题意。
若m=-5,则不等式为24x+3>
0,不满足对一切实数x均成立,所以m=-5舍去。
(2)当m2+4m-5≠0即m≠1且m≠-5时,
由此一元二次不等式的解集为R知,抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上,且与x轴无交点,
所以,
即,∴1<
m<
19。
综上所述,实数m的取值范围是{m|1≤m<
19}。
总结升华:
情况
(1)是容易忽略的,所以当我们遇到二次项系数含有字母时,一般需讨论。
【变式1】若关于的不等式的解集为空集,求的取值范围.
【答案】关于的不等式的解集为空集
即的解集为R
当时,原不等式为:
,即,不符合题意,舍去.
当时,原不等式为一元二次不等式,只需且,
即,解得,
综上,的取值范围为:
【变式2】若关于的不等式的解为一切实数,求的取值范围.
【答案】当时,原不等式为:
【变式3】若关于的不等式的解集为非空集,求的取值范围.
,即,符合题意.
当时,原不等式为一元二次不等式,显然也符合题意
当时,只需,
类型四:
含字母系数的一元二次不等式的解法
例4.解下列关于x的不等式
(1)x2-2ax≤-a2+1;
(2)x2-ax+1>
0;
(3)x2-(a+1)x+a<
(1)
∴原不等式的解集为。
(2)Δ=a2-4
当Δ>
0,即a>
2或a<
-2时,原不等式的解集为
当Δ=0,即a=2或-2时,原不等式的解集为。
当Δ<
0,即-2<
a<
2时,原不等式的解集为R。
(3)(x-1)(x-a)<
当a>
1时,原不等式的解集为{x|1<
a}
当a<
1时,原不等式的解集为{x|a<
1}
当a=1时,原不等式的解集为。
对含字母的二元一次不等式,一般有这样几步:
①定号:
对二次项系数大于零和小于零分类,确定了二次曲线的开口方向;
②求根:
求相应方程的根。
当无法判断判别式与0的关系时,要引入讨论,分类求解;
③定解:
根据根的情况写出不等式的解集;
当无法判断两根的大小时,引入讨论。
【变式1】解关于x的不等式:
【答案】原不等式化为
①a=1或a=-1时,解集为Æ
;
②当0<
1或a<
-1时,,解集为:
③当a>
1或-1<
0时,,解集为:
。
【变式2】解关于的不等式:
()
当a<0或a>1时,解集为;
当a=0时,解集为;
当0<a<1时,解集为;
当a=1时,解集为;
例5.解关于x的不等式:
ax2-(a+1)x+1<0。
若a=0,原不等式-x+1<0x>1;
若a<0,原不等式或x>1;
若a>0,原不等式,
其解的情况应由与1的大小关系决定,故
(1)当a=1时,原不等式;
(2)当a>1时,原不等式;
(3)当0<a<1时,原不等式
综上所述:
当a<0,解集为;
当a=0时,解集为{x|x>1};
当a>1时,解集为。
熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础,对最高项含有字母系数的不等式,要注意按字母的取值情况进行分类讨论,分类时要“不重不漏”。
(ax-1)(x-2)≥0;
【答案】当a=0时,x∈(-¥
2].
当a≠0时,方程(ax-1)(x-2)=0两根为
①当a>
0时,
若,即时,;
若,即时,x∈R;
若,即时,.
②当a<
0时,则有:
,∴。
【变式2】解关于x的不等式:
ax2+2x-1<
【答案】当a=0时,.
当a≠0时,Δ=4+4a=4(a+1),
①a>
0时,则Δ>
0,.
②a<
若a<
0,△<
0,即a<
-1时,x∈R;
0,△=0,即a=-1时,x∈R且x≠1;
0,△>
0,即-1<
0时,。
【变式3】解关于x的不等式:
ax2-x+1>
【答案】若a=0,原不等式化为-x+1>
0,解集为{x|x<
1};
若a≠0,原不等式为关于x的一元二次不等式.
方程的判别式△=1-4a
(Ⅰ)当△=1-4a<
0,即时,方程没有实数根,
故函数的图象开口向上,与x轴没有交点,其简图如下:
所以,此时不等式的解集为实数集R;
(Ⅱ)当△=1-4a=0,即时,方程有两个相等实数根x=2,
故函数的图象开口向上,与x轴有唯一交点(2,0),其简图如下:
所以,此时不等式的解集为;
(Ⅲ)当△=1-4a>
0,即时,方程有两个不等实数根
,,
①当时,函数的图象开口向上,
与x轴有两个不同的交点,且,其简图如下:
0时,函数的图象开口向下,
0时,原不等式解集为;
a=0时,原不等式解集为;
时,原不等式解集为;
时,原不等式解集为实数集R.
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- 一元二次不等式及其解法 一元 二次 不等式 及其 解法 典型 例题 透析