34.2012年全国高中数学联赛模拟卷(十七)答案Word文档格式.doc
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利用函数图象进行分析易得结果。
4.计算器上有一个特殊的按键,在计算器上显示正整数n时按下这个按键,会等可能的将其替换为0~n-1中的任意一个数。
如果初始时显示2011,反复按这个按键使得最终显示0,那么这个过程中,9、99、999都出现的概率是。
若计算器上显示n的时候按下按键,因此时共有1~n-1共n种选择,所以产生给定的数m的概率是。
如果计算器上的数在变化过程中除了2011,999,99,9和0以外,还产生了,则概率为,所以所求概率为
注意到
两式相除即得。
5.已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,过椭圆的右焦点作一条直线l交椭圆于点P、Q,则△F1PQ内切圆面积的最大值是.
因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍,且△F1PQ的周长是定值8,所以只需求出△F1PQ面积的最大值。
设直线l方程为,与椭圆方程联立得
,设,,则,
,于是。
因为,所以内切圆半径
,因此其面积最大值是。
6.设为一个整数数列,并且满足:
,.若,则满足且的最小正整数n是.
501当时,将原式变形为,令,则有
,叠加可得,于是。
由,得,化简得。
由,得,将上述关于的结果代入得,于是质数且n是奇数,所以满足条件的最小的n是501。
7.如图,有一个半径为20的实心球,以某条直径为中心轴挖去一个半
径为12的圆形的洞,再将余下部分融铸成一个新的实心球,那么新
球的半径是。
16将题目所得几何体的上半部分与半径为16的半球作比较,将
它们的底面置于同一水平面,并考察高度为h的水平面与两个几
何体所截的截面面积。
与第一个几何体形成的截面是圆环,外径是
,内径是12,所以面积是,这正是与第二个球体形成的截面圆的面积,由祖暅原理知两个几何体的体积是相等的。
8.在平面直角坐标系内,将适合且使关于t的方程
没有实数根的点所成的集合记为N,则由点集N所成区域的面积为。
令,原方程化为①
所给方程没有实根等价于方程①无实根或有实根但均为负根,所以,
或
点集N所成区域为图中阴影部分,其面积为
二、解答题(本题满分56分)
9.(本小题满分16分)在数列中,
(Ⅰ)试比较与的大小;
(Ⅱ)证明:
当时,.
解:
(Ⅰ)由题设知,对任意,都有
,
(Ⅱ)证法1:
由已知得,
又.
当时,
设
①,则
②
①-②,得
证法2:
(1)
当时,由,知不等式成立。
假设当不等式成立,即,那么
要证,只需证
即证,则只需证………………10分
因为成立,所以成立.
这就是说,当时,不等式仍然成立.
根据
(1)和
(2),对任意,且,都有
10.(本小题满分20分)已知椭圆过定点A(1,0),且焦点在x轴上,椭圆与曲线的交点为B、C。
现有以A为焦点,过B,C且开口向左的抛物线,其顶点坐标为M(m,0),当椭圆的离心率满足时,求实数m的取值范围。
椭圆过定点A(1,0),则
∵,∴。
由对称性知,所求抛物线只要过椭圆与射线的交点,就必过椭圆与射线的交点。
联立方程,解得。
设抛物线方程为:
,。
又∵,∴①
把,代入①得,,。
令,,,
∵在内有根且单调递增,
∴
综上得:
。
11.(本小题满分20分)映射f的定义域是的全体真子集,值域包含于,满足条件:
对任意,都有,求这种映射的个数.
记,其中。
首先任意设定的值,则对于A的任意真子集B,记,则
,
因此,映射f可由的值完全确定。
下面证明这样的映射满足条件。
对任意,有,
,
由知。
综上所述,由于确定的值有种选择,所以这种映射的个数也为。
2012年全国高中数学联赛模拟卷(十七)加试
150分钟满分:
180分)
一、(本题满分40分)设为直线上顺次排列的五点,,在直线外的一点,连结并延长至点,恰使,同时成立.
求证:
证法一:
过作BH∥AF,交于,则,又由,故。
连结,知∥,延长分别交于,连结。
因为,故、、、共圆;
因为,故、、、共圆,
∴、、、、五点共圆,故。
∵,,∴,故,,
∴。
证法二:
作外接圆,交射线于,则。
又由,知,所以、、、共圆,记该圆为。
下证必在内.用反证法,假设不在内。
连结、,则
又,
∴,矛盾!
于是,在延长线上.
∵,,∴为切线,为切线,
∴,故。
二、(本题满分40分)已知:
,,
证明:
∵,,
∴。
∴,
同理,
。
那么将不等式左式的三个分母均放缩为其中最小的那个即可。
三、(本题满分50分)设正整数n大于1,它的全部正因数为d1,d2,…,dk,满足1=d1<
d2<
…<
dk=n。
再设D=d1d2+d2d3+…+dk-1dk。
(i)证明:
D<
n2;
(ii)确定所有的n,使得D整除n2。
(i)若d1,d2,…,dk是n的全部正因数,则n/d1,n/d2,…,n/dk也是n的全部正因数,且当1=d1<
dk=n时,有dj=n/dk-j+1。
则
n2/d2=n2/(d1d2)≤D=d1d2+d2d3+…+dk-1dk=n2{1/(dk-1dk)+1/(dk-2dk-1)+…+1/(d1d2)}
≤n2{(1/dk-1-1/dk)+(1/dk-2-1/dk-1)+…+(1/d1-1/d2)}
=n2(1/d1-1/dk)=n2(1-1/n)=n2-n。
(*)
(ii)在(i)的证明中已指出n2/d2≤D≤n2-n。
若D整除n2,由上式知
n2=qD,1<
q≤d2。
(**)
因为d2是n的最小的大于1的除数,所以,d2是素数。
d2当然也是n2的素除数,并且n2没有比d2更小的大于1的除数。
那么由式(**)就推出q=d2。
因此,k=2,n的全部正因数是1和n本身,即n是素数。
四、(本题满分50分)设圆周上有一些红点和蓝点,可以进行如下操作:
加上一个红点,并改变其相邻两点的颜色;
或去掉一个红点,并改变原先与之相邻的两点颜色.已知开始时只有两个点,均为红点,那么是否有可能经过若干次操作,使得圆周上只有两个点,且均为蓝点.
对于圆周上任意一种状态,按下列方式定义该状态的特征值:
考察圆周上的n个蓝点将圆周分成的n段圆弧,将这n段圆弧依次赋值+1,-1,+1,-1,……并在每个红点处标上所在弧的数值,再将所有红点上的数值相加即得S值。
下面考察各种加点的操作:
(1)若在两个相邻红点(原本标有+1)间增加一个红点,则标有+1的这两个红点变为蓝点,新增加的红点应标-1,且其他红点不受影响,所以S值减少3。
若两个红点原本标有-1,则类似可知S值增加3;
(2)若在两个相邻蓝点间增加一个红点,则这三个红点都将标上相同的数值,且其他红点不受影响,所以S的变化量仍然是3的倍数;
(3)若在两个相邻的异色点间增加一个红点,则两个端点红蓝交换,因此端点处的红色点标数变为原来的相反数,而且新增的红点与它的标数相同,所以S的变化量仍然是3的倍数;
对于各种减点的操作,因为都是加点操作的逆向操作,所以S值的变化量始终是3的倍数,因此S值除以3的余数应该是不变的。
在初始状态中,只有两个红点,;
而在只有两个蓝点的状态中,,这说明不可能经过若干次操作,使圆周上只有两个点,且均为蓝点。
7
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