e的全称是自然对数的底Word下载.docx
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稍懂点微积分就能算出这个极限等于e^0.2=1.2214027581巴比伦人不知道这个连续复利的问题,很显然,在古代讨论这么大的小数是令人痛苦的。
-----------分割线-----------伯努利家族对e的贡献在1683年,瑞士著名数学家雅各·
伯努利(JacobBernoulli,1654~1705)在研究连续复利时,才意识到问题须以极限方式来解决。
但是他只提出了一个式子,觉得这个数应该在2和3之间,并未得到完整的数据。
因为那时候,还没有极限的概念。
顺便说一句,伯努利家族3代人出了8位天才科学家。
这位雅各·
伯努利醉心于赌博游戏中的输赢次数,并写出巨著《猜度术》。
他还解决了悬链线问题(1690年),曲率半径公式(1694年),“伯努利双纽线”(1694年),“伯努利微分方程”(1695年),“等周问题”(1700年)等。
另外,他非常钟爱对数螺旋线,最为人们津津乐道的轶事之一,是雅各布醉心于研究对数螺线,这项研究从1691年就开始了。
他发现,对数螺线经过各种变换后仍然是对数螺线,如它的渐屈线和渐伸线是对数螺线,自极点至切线的垂足的轨迹,以极点为发光点经对数螺线反射后得到的反射线,以及与所有这些反射线相切的曲线(回光线)都是对数螺线。
他惊叹这种曲线的神奇,竟在遗嘱里要求后人将对数螺线刻在自己的墓碑上,并附以颂词“纵然变化,依然故我”,用以象征死后永生不朽。
还有个约翰·
伯努利,他除了解决悬链线问题(1691年),提出洛必达法则(1694年)、最速降线(1696年)和测地线问题(1697年),给出求积分的变量替换法(1699年),研究弦振动问题(1727年),出版《积分学教程》(1742年)等工作外,还有个对人类数学界最大的功劳,那就是:
培养了一位好学生——欧拉。
学物理学的同学也听说过另一位伯努利:
丹尼尔·
伯努利,他是上面一位约翰的儿子。
此人对流体动力学的贡献极大。
并研究弹性弦的横向振动问题(1741~1743年),提出声音在空气中的传播规律(1762年)。
他的论著还涉及天文学(1734年)、地球引力(1728年)、湖汐(1740年)、磁学(1743、1746年),振动理论(1747年)、船体航行的稳定(1753、1757年)和生理学(1721、1728年)等。
扯远了,我们还是回到自然对数上来。
-----------分割线-----------天才欧拉的诞生现在,该轮到欧拉出场了。
之前,我们先用些篇幅介绍这位欧拉先生。
欧拉的一生,称得上传奇。
他不到十岁就开始自学《代数学》,要知道那时候很多欧洲的骑士还是大字不识呢。
他在大学时得到约翰·
伯努利的提携,之后丹尼尔·
伯努利又将他推荐到俄国彼得堡科学院。
可以说,伯努利家族是欧拉的贵人。
欧拉可以用3天的时间计算出彗星轨道。
1771年彼得堡遭受大火灾,欧拉的书房毁于一旦。
但是已经失明的他居然凭借记忆,用一年的时间重写出大部分论文。
欧拉写下886本书籍和论文,他死后彼得堡科学院花了47年才整理完毕。
欧拉可以背诵前100个质数的前10次幂。
欧拉创立了许多新的符号:
课本上常见的如π(1736年),i(1777年),e(1748年),sin和cos(1748年),tg(1753年),△x(1755年),∑(1755年),f(x)(1734年)等几乎每个数学领域都有欧拉的名字:
从初等几何的欧拉线,多面体的欧拉定理,立体解析几何的欧拉变换公式,四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数,微分方程的欧拉方程,级数论的欧拉常数,变分学的欧拉方程,复变函数的欧拉公式等等,数也数不清。
他对数学分析的贡献更独具匠心,《无穷小分析引论》一书便是他划时代的代表作。
歌德巴赫猜想也是在他与歌德巴赫的通信中提出来的。
欧拉还首先完成了月球绕地球运动的精确理论,创立了分析力学、刚体力学等力学学科,深化了望远镜、显微镜的设计计算理论。
欧拉最先把对数定义为乘方的逆运算,并且最先发现了对数是无穷多值的。
他证明了任一非零实数R有无穷多个对数。
欧拉使三角学成为一门系统的科学,他首先用比值来给出三角函数的定义,而在他以前是一直以线段的长作为定义的。
欧拉的定义使三角学跳出只研究三角表这个圈子。
欧拉对整个三角学作了分析性的研究。
在这以前,每个公式仅从图中推出,大部分以叙述表达。
欧拉却从最初几个公式解析地推导出了全部三角公式,还获得了许多新的公式。
欧拉用a、b、c表示三角形的三条边,用A、B、C表示第个边所对的角,从而使叙述大大地简化。
欧拉得到的著名的公式,又把三角函数与指数函联结起来。
以上一长段,各位不想看就不看吧,这些在各位的高中数学中都学过。
在老师的指导下,欧拉很快提出了用无穷阶乘的倒数和来表示自然对数的底的公式。
有了公式,就容易很多。
据说他靠手算就算到了小数点之后23位。
考虑到这位牛人记忆力超群,这样的事情似乎也很正常。
自然对数的出现,不但使悬链方程迎刃而解,而且对于当时很热门的天文学——西方的星象学——也具有重要意义。
对数使得复杂的乘法运算可以转变为简单的加法,只要查阅对数表就可以了。
同时,对数尺也应运而生。
当然在计算器普及的今天,已经很少有人用这种东西了。
-----------分割线-----------C版本#include<
stdio.h>
intmain(){doubleA(double);
doublee=1.0,f;
doublen=1.0;
while
(1){f=1.0/A(n);
if(f>
0.0000001){n++;
e=e+f;
}elsebreak;
}printf("
%0.16f\n"
e);
return0;
}doubleA(doublea){doubleb=1,c=a;
for(;
b<
c;
b++)a=a*b;
returna;
}TC++3.0下通过抄的。
。
嘿嘿有点混
数学表示方法编辑
自然对数的一般表示方法为lnx。
数学中也常见以logx表示自然对数。
若为了避免与基为10的常用对数lgx混淆,可用“全写”㏒ex。
[1]
概念编辑
它的含义是单位时间内,持续的翻倍增长所能达到的极限值
有关概念
自然对数的底数e是由一个重要极限给出的。
我们定义:
当n趋于无限时,
.
e是一个无限不循环小数,其值约等于2.718281828459…,它是一个超越数。
对数函数
当自然对数
中真数为连续自变量时,称为对数函数,记作
(x为自变量,y为因变量).
e的级数展开式
易证明:
函数展开为x的幂级数(Maclaurin级数)是
+1;
特别地,当x=1时就得到了e的展开式
+1
对数的生物学意义编辑
在连锁交换定律中,重组率或重组值是指双杂合体测交产生的重组型配子的比例,即重组率=重组配字数/总配子数(亲组合+重组和)×
100%,重组是交换的结果,所以重组率(recombinationfraction)通常也称作交换率(crossingoverpercentage)或交换值。
可是仔细推敲起来,这两个数值是不尽相同。
如果我们假定,沿染色体纵长的各点上交换的发生大体上是随机确定的。
那么可以这样认为,如果两个基因座相距很近,由交换而分开较少,重组率就低;
如果两基因座离开很远,交换发生的次数较多,重组率就高。
所以可以根据重组率的大小计算有关基因间的相对距离,把基因顺序地排列在染色体上,绘制出基因图。
生物学家就是这样做的。
如果有关的两个基因座在染色体上分开较远,举例说重组率在12%-15%以上,那么进行杂交试验时,其间可能发生双交换或四交换等更高数目的偶数交换,形成的配子却仍然是非重组型的。
这时如简单地把重组率看作数交换率,那么交换率就要被低估了。
因为遗传图是以1%交换率作为图距单位的,所以如交换率低估了,图距自然也随之缩小了,这就需要校正。
校正的公式较多,可根据自己得出的连锁与交换试验的结果,提出单是适用于某一生物的校正公式。
一般来说,一个合适的校正公式应该满足下列两个条件:
①最大的重组率不超过0.5或50%,因为这数值说明两个基因之间遵循自由组合定律;
②较小的重组率应该大致上是加性的。
常用的的较简单的公式是Haldane推导的作图函数R=[1-e^(-2x)]/2,式中R代表重组率,x代表交换率。
这公式表示重组率与图距的关系,而图距的单位是1%交换率。
说明一下Haldane曲线的几点性质:
①曲线的起始一小段基本上是直线,斜率接近于1,重组率可以直接看作是图距,所以重组率是加性的。
②在曲线的曲度较大的区域,重组率就不是加性的了。
当图距比较大,两端的基因的重组率就要小于相邻两个重组率之和,即Rab+Rbc>
Rac,例如abc是三个连锁基因,两两间的重组率R值是非加性的,0.23+0.32>
0.40。
吧Haldane公式加以改写:
x=-ln(1-2R)/2,把上面R值代入公式,求得x值如下:
在0.31+0.51,稍大于0.81,x值大致上成为加性的了。
③标记基因间的图距很大时,重组率与图距无关,接近或等于1/2。
所以重组率大致代表交换率,但当重组率逐渐增大时,重组率往往小于交换率,需要加以校正。
在实际应用时,要看研究的生物而定。
像黑腹果蝇那样,各染色体上定位的基因已经很多,标记的区域已划分得很细,就无需用作图函数来校正了。
但对一种新的生物开始进行连锁研究,可供利用的标记基因很少,这是最好用作图函数来加以校正,以得到更接近实际的图距。
历史编辑
约翰·
纳皮尔在1614年以及JostBü
rgi(英语:
JostBü
rgi)在6年后,分别发表了独立编制的对数表,当时通过对接近1的底数的大量乘幂运算,来找到指定范围和精度的对数和所对应的真数,当时还没出现有理数幂的概念,1742年WilliamJones(英语:
WilliamJones(mathematician))才发表了幂指数概念。
按后来人的观点,JostBü
rgi的底数1.0001相当接近自然对数的底数e,而约翰·
纳皮尔的底数0.99999999相当接近1/e。
实际上不需要做开高次方这种艰难运算,约翰·
纳皮尔用了20年时间进行相当于数百万次乘法的计算,HenryBriggs(英语:
HenryBriggs(mathematician))建议纳皮尔改用10为底数未果,他用自己
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- 全称 自然 对数