届福建省三明市第一中学高三下学期适应性练习一数学理试题解析版.docx

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届福建省三明市第一中学高三下学期适应性练习一数学理试题解析版

2018届福建省三明市第一中学高三下学期适应性练习

（一）数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】分析：

先解A、B集合，再取并集。

详解：

：

，解得，故选C

点睛：

一般地，把不等式组放在数轴中得出解集。

2．设复数满足，则（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】分析：

等式两边同时除以，化简整理，得出，再得

详解：

，所以。

故选B

点睛：

复数的除法运算公式。

3．已知是等差数列的前项和，且，，则（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】分析：

，解出

详解：

，解得或者（舍去）

点睛：

数列中的五个基本量知三求二。

灵活应用公式是快速解题的关键。

4．已知函数则（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】当时，，则.

5．如图1，直线将矩形纸分为两个直角梯形和，将梯形沿边翻折，如图2，在翻折的过程中（平面和平面不重合），下面说法正确的是（）

A.存在某一位置，使得平面

B.存在某一位置，使得平面

C.在翻折的过程中，平面恒成立

D.在翻折的过程中，平面恒成立

【答案】C

【解析】分析：

利用特殊点法逐一排除

详解：

与不平行，且在同一平面内，所以：

与相交，所以与平面相交，A错误。

在任何位置都不垂直于，如果“存在某一位置，使得平面”，则存在某一位置，使得矛盾，故B错误。

在任何位置都不垂直于，如果“在翻折的过程中，平面恒成立”，那么恒成立，矛盾故D错误。

综上，选C

点睛：

折叠过程中，讨论直线与直线，直线与平面的动态位置关系转化为静态，找其中的某一条直线或者某一个位置的平面是否满足题设，切记不要去纠结翻折的过程。

6．设向量，满足且，则向量在向量方向的投影为（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】A

【解析】分析：

先解，再利用向量在向量方向的投影：

。

详解：

由题意可知：

，，则。

故选A。

点睛：

向量中的三个基本量，，计算投影，往往通过整体替换的方式来处理。

7．已知函数的部分图象如图所示，是正三角形，为了得到的图象，只需将的图象（）

A.向左平移个单位长度

B.向右平移个单位长度

C.向左平移1个单位长度

D.向右平移1个单位长度

【答案】C

【解析】分析：

先化简，再解三角形，得出，最后对图像进行平移变换。

详解：

化简，由，是正三角形可知，得出，令代入可得解得。

故选C

点睛：

利用几何关系求三角函数的最值，零点，周期，对图像进行平移变换，建立等式，解出来的为正表示向左平移，为负表示向右平移。

8．给出下列说法：

①对于独立性检验，的观测值越大，说明两个分类变量之间的关系越强；②以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.3；③某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生200人，学校团委欲用分层抽样的方法抽取18名学生进行问卷调查，则高一学生被抽到的概率最大；④通过回归直线及回归系数，可以精确反映变量的取值和变化趋势.其中正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】分析：

利用统计学的基本知识点逐一判断。

详解：

①的观测值，不是刻画两个分类变量之间的关系,故错误。

②则，的值分别是和0.3,故正确

③某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生200人，高一学生的比重最大，则高一学生被抽到的概率最大，故正确。

④通过回归直线及回归系数，只能大致的（不能精确）反映变量的取值和变化趋势.故错误。

故选B。

点睛：

的含义是刻画认为结论错误的概率，并不能直接说明两个分类变量之间的关系。

回归直线及回归系数是一个近似值，只能大致的（不能精确）反映变量的取值和变化趋势。

9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，根据图中三视图，求得该几何体的表面积为（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】分析：

球挖去四分之一，在填一个小球的四分之一

详解：

球的半径为2，故表面积的公式为，大球外面表面积为

小球外表面积，大球切口的表面积为，切口被小球挡住的为，所以几何体的表面积为。

点睛，组合体的表面积，要弄懂组合体的结构，哪些被遮挡，哪些是切口。

10．已知双曲线，过其右焦点且平行于一条渐近线的直线与另一条渐近线交于点，与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为（）

A.B.C.D.2

【答案】C

【解析】分析：

利用几何法先分析出的坐标，代入方程即可。

详解：

由图像，利用几何关系解得，因为，利用向量的坐标解得，点在双曲线上，故，故解C

点睛：

利用几何中的线量关系，建立的关系式，求离心率，不要盲目的列方程式算。

11．某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务.现有三项任务，，，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：

）依次为，，，其中.一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比.下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】假设a=1,b=2,c=4.

顺序A的三项任务相对等待时间之和为

顺序B的三项任务相对等待时间之和为

顺序C的三项任务相对等待时间之和为

顺序D的三项任务相对等待时间之和为

故选A.

点睛：

这是定义题，解答这种题目的关键是读懂题目.理解清楚了“一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比”，后面就迎刃而解了.本题利用了特殊值法，也是一个灵活的选择.

12．设，是的前项和.若是递增数列，且对任意，存在，使得.则的取值范围是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】分析：

若等价于，分类讨论的值使其满足不等式。

详解：

，，，若是递增数列，所以。

对任意，存在，使得，即是：

对任意，存在，使得

，

当时，由题意可知：

对任意，存在，成立，，,解不等式无解。

当时，由题意可知：

对任意，存在，成立，，，恒成立，故选D。

点睛：

对于任意性和存在性问题的处理，遵循以下规则：

恒成立

1、恒成立，等价于

2、使得成立，等价于

二、填空题

13．已知直线为抛物线的准线，则点到的距离为__________．

【答案】.

【解析】分析：

先求出准线，再计算到准线的距离。

详解：

整理成标准形式：

，所以准线方程为，所以到的距离为。

点睛：

学生容易解错，误认为准线，抛物线的方程为.

14．展开式中的系数为__________.

【答案】210

【解析】由题意可得：

，

据此可得：

只有中含有，

结合二项式定理可得其系数为：

.

15．已知点满足，则的取值范围为__________．

【答案】.

【解析】分析：

先画出可行域，利用的几何意义求解。

详解：

如图所示：

的几何意义表示可行域内的点到原点的斜率，所以。

，，所以

点睛：

非线性目标函数，利用几何意义求解表示与点所形成直线的斜率。

16．设函数与有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数的最大值为__________．

【答案】.

【解析】由题意得，

设与在公共点处的切线相同，

由题意得，即，

由可得或（舍去），

∴，

设，则，

∴当时，单调递增，当时，单调递减．

∴，

∴实数的最大值为．

答案：

点睛：

本题以导数的几何意义为载体，考查函数最值的求法．具体来讲就是根据两函数在交点处的切线相同得到关于切点坐标的方程组，根据得到的相等关系将问题转化为求函数的最大值的问题处理，最后根据导数求解即可．

三、解答题

17．的内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为.

（1）求；

（2）若为中点，且，求的最大值.

【答案】

（1）.

（2）.

【解析】分析：

（1）先设面积公式，化角为边，整理求出C。

（2）利用余弦定理列出中线在中，在中的表达式，由两角互补化简两组表达式，得出的关系式，再用均值不等式求解最值。

解法一：

（1）依题意得，，

由正弦定理得，，即，

由余弦定理得，，

又因为，所以.

（2）在中，

，即，

在中，

，即.

因为，所以，

所以，

由

（1）及得，，所以，

所以，即，

当且仅当时，等号成立.

所以的最大值为.

解法二：

（1）同解法一.

因为，，所以，即.

因为为中点，所以，

所以

，

当且仅当时，等号成立.

所以的最大值为.

点睛：

（1）三角恒等式的化简有两种化边为角或者化角为边。

（2）三角形的中线问题，利用中线位于两个三角形中且底角互补，化简整理出中线与三角形三边关系的表达式。

18．如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面，，且.

（1）证明：

平面平面；

（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.

【答案】

（1）证明见解析.

（2）.

【解析】分析：

（1）要证平面平面，需证平面，需证

（2）建立空间直角坐标系以为原点，利用法向量求二面角的余弦值。

详解:

（1）证明：

连接，交于点，设中点为，连接，.

因为，分别为，的中点，所以，且，

因为，且，所以，且.

所以四边形为平行四边形，所以，即.

因为平面，平面，所以.

因为是菱形，所以.

因为，所以平面.

因为，所以平面.

因为平面，所以平面平面.

（2）因为直线与平面所成角为，

所以，所以.

所以，故为等边三角形.

设的中点为，连接，则.

以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系（如图）.则，，，，

，，.

设平面的法向量为，

则，即.

令，则.所以.

设平面的法向量为，

则，即.令，则.所以.

，

设二面角的大小为，由于为钝角，

所以，即二面角的余弦值为.

点睛：

（1）证明面面垂直，转化为线面垂直，证明线面垂直转化为线线垂直，用分析法思考，用综合法书写。

（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求二面角的余弦值，是立体几何中求角度问题的常见解法。

19．已知椭圆：

的离心率为，且经过点.

（1）求椭圆的方程.

（2）过点且不与坐标轴垂直的直线交于点，，点是直线上的任意一点，证明：

，，的斜率成等差数列.

【答案】

（1）.

（2）证明见解析.

【解析】分析：

（1）利用离心率，点在曲线上，列出的方程。

（2）联立直线与椭圆方程根据韦达定理列出，的关系式，再证明，

详解：

（1）椭圆离心率为，可得，

则，，

故椭圆方程为，

将点代入，可得，从而，

椭圆标准方程为.

（2）设直线斜率为，可得方程为，

设、坐标分别为、，

将与椭圆方程联立，得，

消去并化简，可得，

则，.

设点坐标为，

则

，

注意到，

从而，由此可得，，成等差数列.

点睛：

证明圆锥曲线有关的恒等式，最终落脚点在于计算直线与曲线的交点坐标的关系式。

根据题目的条件，转化为，关系的式子是解题的关键。

20．某企业2018年招聘员工，其中，，，，五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：

岗位

男性

应聘人数

男性

录用人数

男性

录用比例

女性

应聘人数

女性

录用人数

女性

录用比例

269

167

40

24

40

12

202

62

177

57

184

59

44

26

38

22

3

2

3

2

总计

533

264

467

169

（1）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录