高中概率知识点高考考点易错点归纳Word格式文档下载.docx
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随机事件A的概率是频率的稳定值,反之,频率是概率的近似值.
概率的基本性质
1、事件的关系与运算
(1)包含。
对于事件A与事件B,如果事件A发生,则事件B一定发生,称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B),记作。
不可能事件记作。
(2)相等。
若,则称事件A与事件B相等,记作A=B。
(3)事件A与事件B的并事件(和事件):
某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生。
(4)事件A与事件B的交事件(积事件):
某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生。
(5)事件A与事件B互斥:
为不可能事件,即,即事件A与事件B在任何一次试验中并不会同时发生。
(6)事件A与事件B互为对立事件:
为不可能事件,为必然事件,即事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。
2、概率的几个基本性质
(1).
(2)必然事件的概率为1..(3)不可能事件的概率为0..
(4)事件A与事件B互斥时,P(AB)=P(A)+P(B)——概率的加法公式。
(5)若事件B与事件A互为对立事件,,则为必然事件,.
古典概型
1、基本事件:
基本事件的特点:
(1)任何两个事件是互斥的;
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本时间的和。
2、古典概型:
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;
(2)每个基本事件出现的可能性相等。
具有这两个特点的概率模型称为古典概型。
3、公式:
几何概型
1、几何概型:
每个事件发生的概率只有与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例的概率模型。
2、几何概型中,事件A发生的概率计算公式:
(二)高考概率
概率考试内容:
随机事件的概率.等可能性事件的概率.互斥事件有一个发生的概率.相互独立事件同时发生的概率.独立重复试验.
考试要求:
(1)了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.
(2)了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。
(3)了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.
(4)会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生κ次的概率.
以下归纳9个常见考点:
解析概率与统计试题是高考的必考内容。
它是以实际应用问题为载体,以排列组合和概率统计等知识为工具,以考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算和随机变量概率分布列性质及其应用为目标的中档师,预计这也是今后高考概率统计试题的考查特点和命题趋向。
下面对其常见题型和考点进行解析。
考点1考查等可能事件概率计算。
在一次实验中可能出现的结果有n个,而且所有结果出现的可能性都相等。
如果事件A包含的结果有m个,那么。
这就是等可能事件的判断方法及其概率的计n算公式。
高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。
例1(2004天津)从4名男生和2名女生中任3人参加演讲比赛.
(I)求所选3人都是男生的概率;
(II)求所选3人中恰有1名女生的概率;
(III)求所选3人中至少有1名女生的概率.
考点2考查互斥事件至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算。
不可能同时发生的两个事件A、B叫做互斥事件,它们至少有一个发生的事件为A+B,用概率的加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)计算。
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,则A、B叫做相互独立事件,它们同时发生的事件为AB。
用概率的乘法公式P(AB)=P(A)P(B)计算。
高考常结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个事件的识别及其概率的综合计算能力进行考查。
例2.(2005全国卷Ⅲ)设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。
已知在某一小时内,甲、乙都需要照顾的概率为0.05,甲、丙都需要照顾的概率为0.1,乙、丙都需要照顾的概率为0.125,(Ⅰ)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少;
(Ⅱ)计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率。
考点3考查对立事件概率计算。
必有一个发生的两个互斥事件A、B叫做互为对立事件。
用概率的减法公式
P(A)=1-P(A)计算其概率。
高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别及其概率计算进行考查。
例3.(2005福建卷文)甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为。
(Ⅰ)甲、乙两人在罚球线各投球一次,求恰好命中一次的概率;
(Ⅱ)甲、乙两人在罚球线各投球二次,求这四次投球中至少一次命中的概率;
考点4考查独立重复试验概率计算。
若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果,则此试验叫做n次独立重复试验。
若在1次试验中事件A发生的概率为P,则在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)=。
高考结合实际应用问题考查n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率的计算方法和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用。
例4.(2005湖北卷)某会议室用5盏灯照明,每盏灯各使用灯泡一只,且型号相同。
假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关,该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1,寿命为2年以上的概率为p2。
从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作,只更换已坏的灯泡,平时不换。
(Ⅰ)在第一次灯泡更换工作中,求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率;
(Ⅱ)在第二次灯泡更换工作中,对其中的某一盏灯来说,求该盏灯需要更换灯泡的概率;
(Ⅲ)当p1=0.8,p2=0.3时,求在第二次灯泡更换工作,至少需要更换4只灯泡的概率(结果保留两个有效数字)
考点5考查随机变量概率分布与期望计算。
解决此类问题时,首先应明确随机变量可能取哪些值,然后按照相互独立事件同时发生概率的法公式去计算这些可能取值的概率值即可等到分布列,最后根据分布列和期望、方差公式去获解。
以此考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念和运用概率知识解决实际问题的能力。
例5.(2005湖北卷)某地最近出台一项机动车驾照考试规定;
每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会,一旦某次考试通过,使可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第4次为止。
如果李明决定参加驾照考试,设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9,求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望,并求李明在一年内领到驾照的概率。
考点6考查随机变量概率分布列与其他知识点结合
1、考查随机变量概率分布列与函数结合。
例6.(2005湖南卷)某城市有甲、乙、丙3个旅游景点,一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响,设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。
(Ⅰ)求ξ的分布及数学期望;
(Ⅱ)记“函数f(x)=x2-3ξx+1在区间[2,+∞)上单调递增”为事件A,求事件A的概率。
2、考查随机变量概率分布列与数列结合。
例7甲乙两人做射击游戏,甲乙两人射击击中与否是相互独立事件,规则如下:
若射击一次击中,原射击者继续射击,若射击一次不中,就由对方接替射击。
已知甲乙两人射击一次击中的概率均为7,且第一次由甲开始射击。
(1)求前4次射击中,甲恰好射击3次的概率。
(2)若第n次由甲射击的概率为,求数列{}的通项公式;
求lim,并说明极n→∞限值的实际意义。
3、考查随机变量概率分布列与线形规划结合。
例8(2005辽宁卷)某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都是经过第一和第二工序加工而成,两道工序的加工结果相互独立,每道工序的加工结果均有A、B两个等级对每种产品,两道工序的加工结果都为A级时,产品为一等品,其余均为二等品。
(Ⅰ)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示,分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概P(甲)、P(乙);
(Ⅱ)已知一件产品的利润如表二所示,用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润,在(I)的条件下,求ξ、η的分布列及Eξ、Eη;
(Ⅲ)已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40名,可用资金60万元。
设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量,在(II)的条件下,y为何值时,z=xEξ+yEηx最大?
最大值是多少?
(解答时须给出图示)
考查随机变量概率分布列性质性质应用
考点7考查随机变量概率分布列性质应用。
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.,高考常结合应用问题对随机变量概率分布列及其性质的应用进行考查。
例9(2004年全国高考题)某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:
每题回答正确得100分,回答不正确得0分。
假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8,且各题回答正确与否相互之间没有影响.。
①求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望;
②求这名同学总得分不为负分(即ξ≥0)的概率。
方法小结:
解决概率问题时,一定要根据有关概念,判断问题是否是等可能性事件、互斥事件、相互独立事件,还是某一事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的情况,以便选择正确的计算方法,同时注意上述各类事件的综合问题,要全面考虑,特别是近几年高考概率与期望的综合,体现了高考对概率知识要求的进一步提高。
下面仅以几个例题作以小结。
一、用排列组合求概率
例1从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数,这个三位数不能被3整除的概率为()
(A)19/54(B)35/5(C)38/54(D)41/60
分析:
等可能事件的概率关键是利用排列组合出基本事件数。
答案:
B
点评:
本题将等可能事件与对立事件的概率,以及分类讨论综合在一起,体现了知识交汇点的命题精神,是高考的热点。
二、互斥事件有一个发生的概率
例2某厂生产A产品,每盒10只进行包装,每盒产品都需要检验合格后才能出厂,规定以下,从每盒10只中任意抽4只进行检验,如果次品数不超过1只,就认为合格,否则就认为不合格,已经知道某盒A产品中有2只次品
(1)求该盒产品被检验合格的概率
(2)若对该盒产品分别进行两次检验,求两次检验的结果不一致的概率
对一个复杂事件的概率可以分拆成几个互斥事件的概率或者转化为求其对立事件的概率。
求相互独立事件同时发生的概率,要保证两者确是“相互独立”事件。
本例的“比赛型”题,分析比较简单,只要结合有关比赛规则即可解决,此类题也是高考的热点题。
三、对立重复试验
例3一位学生每天骑自行车上学,从他家到学校有5个交通岗,假设他在交通岗遇到红灯是相互独立的,且首末两个交通岗遇到红灯的概率均为p,其余3个交通岗遇到红灯的概率均为。
(1)若p=2/3,求该学生在第三个交通岗第一遇到红灯的概率;
(2)若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过5/18,求p的取值范围。
首末两个交通岗遇红灯的概率相同,其余3个交通岗遇红灯的概率也相同,可看作独立重复试验。
要注意恰有k次发生和某指定的k次发生的差异。
对独立重复试验来说,前者的概率为
总结:
概率初步的考题一般以
(1)等可能事件;
(2)互斥事件有
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