解一元二次方程练习题韦达定理Word下载.docx
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B.-2±
C.-2+D.2-
9.不论x、y为什么实数,代数式x2+y2+2x-4y+7的值()
A.总不小于2B.总不小于7C.可为任何实数D.可能为负数
10.用配方法解下列方程:
(1)3x2-5x=2.
(2)x2+8x=9(3)x2+12x-15=0(4)x2-x-4=0
7、8、9、
11.用配方法求解下列问题
(1)求2x2-7x+2的最小值;
(2)求-3x2+5x+1的最大值。
一.填空题:
1.关于x的方程mx-3x=x-mx+2是一元二次方程,则m___________.
2.方程4x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式是______________,二次项系数是____,一次项系数是_____,常数项是____.
3.方程x=1的解为______________.
4.方程3x=27的解为______________;
x+6x+____=(x+____);
a±
____+=(a±
____)
5.关于x的一元二次方程(m+3)x+4x+m-9=0有一个解为0,则m=______.
二.选择题:
6.在下列各式中
①x+3=x;
②2x-3x=2x(x-1)–1;
③3x-4x–5;
④x=-+2
是一元二次方程的共有()
A0个B1个C2个D3个
8.一元二次方程的一般形式是()
Ax+bx+c=0Bax+c=0(a≠0)Cax+bx+c=0Dax+bx+c=0(a≠0)
9.方程3x+27=0的解是()
Ax=±
3Bx=-3C无实数根D以上都不对
10.方程6x-5=0的一次项系数是()
A6B5C-5D0
11.将方程x-4x-1=0的左边变成平方的形式是()
A(x-2)=1B(x-4)=1C(x-2)=5D(x-1)=4
三.。
将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
t(t+3)=28
2x+3=7x
x(3x+2)=6(3x+2)
(3–t)+t=9
五.用配方法或公式法解下列方程.:
(10)x-6x+9=0
(1)x+2x+3=0
(2)x+6x-5=0(3)x-4x+3=0
(4)x-2x-1=0(5)2x+3x+1=0(6)3x+2x-1=0
(7)5x-3x+2=0(8)7x-4x-3=0(9)-x-x+12=0
韦达定理:
对于一元二次方程,如果方程有两个实数根,那么
说明:
(1)定理成立的条件
(2)注意公式重的负号与b的符号的区别
根系关系的三大用处
(1)计算对称式的值
例若是方程的两个根,试求下列各式的值:
(1);
(2);
(3);
(4).
解:
由题意,根据根与系数的关系得:
(1)
(2)
(3)
(4)
利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形:
,,,
,,
等等.韦达定理体现了整体思想.
【课堂练习】
1.设x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两根,则x12+x22的值为_________
2.已知x1,x2是方程2x2-7x+4=0的两根,则x1+x2=,x1·
x2=,
(x1-x2)2=
3.已知方程2x2-3x+k=0的两根之差为2,则k=;
4.若方程x2+(a2-2)x-3=0的两根是1和-3,则a=;
5.若关于x的方程x2+2(m-1)x+4m2=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m的值为;
6.设x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两个根,求下列各式的值:
(1)x12x2+x1x22
(2)-
7.已知x1和x2是方程2x2-3x-1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
(2)构造新方程
理论:
以两个数为根的一元二次方程是。
例解方程组x+y=5
xy=6
显然,x,y是方程z2-5z+6=0①的两根
由方程①解得z1=2,z2=3
∴原方程组的解为x1=2,y1=3
x2=3,y2=2
显然,此法比代入法要简单得多。
(3)定性判断字母系数的取值范围
例一个三角形的两边长是方程的两根,第三边长为2,求k的取值范围。
设此三角形的三边长分别为a、b、c,且a、b为的两根,则c=2
由题意知
△=k2-4×
2×
2≥0,k≥4或k≤-4
∴为所求。
【典型例题】
例1已知关于的方程,根据下列条件,分别求出的值.
(1)方程两实根的积为5;
(2)方程的两实根满足.
分析:
(1)由韦达定理即可求之;
(2)有两种可能,一是,二是,所以要分类讨论.
(1)∵方程两实根的积为5
∴
所以,当时,方程两实根的积为5.
(2)由得知:
①当时,,所以方程有两相等实数根,故;
②当时,,由于
,故不合题意,舍去.
综上可得,时,方程的两实根满足.
根据一元二次方程两实根满足的条件,求待定字母的值,务必要注意方程有两实根的条件,即所求的字母应满足.
例2已知是一元二次方程的两个实数根.
(1)是否存在实数,使成立?
若存在,求出的值;
若不存在,请您说明理由.
(2)求使的值为整数的实数的整数值.
(1)假设存在实数,使成立.
∵一元二次方程的两个实数根
∴,
又是一元二次方程的两个实数根
∴
,但.
∴不存在实数,使成立.
(2)∵
∴要使其值是整数,只需能被4整除,故,注意到,
要使的值为整数的实数的整数值为.
(1)存在性问题的题型,通常是先假设存在,然后推导其值,若能求出,则说明存在,否则即不存在.
(2)本题综合性较强,要学会对为整数的分析方法.
一元二次方程根与系数的关系练习题
A组
1.一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是()
A.B.C.D.
2.若是方程的两个根,则的值为()
A.B.C.D.
3.已知菱形ABCD的边长为5,两条对角线交于O点,且OA、OB的长分别是关于的方程的根,则等于()
A.B.C.D.
4.若是一元二次方程的根,则判别式和完全平方式的关系是()
A.B.C.D.大小关系不能确定
5.若实数,且满足,则代数式的值为()
6.如果方程的两根相等,则之间的关系是______
7.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根,则这个直角三角形的斜边长是_______.
8.若方程的两根之差为1,则的值是_____.
9.设是方程的两实根,是关于的方程的两实根,则=_____,=_____.
10.已知实数满足,则=_____,=_____,=_____.
11.对于二次三项式,小明得出如下结论:
无论取什么实数,其值都不可能等于10.您是否同意他的看法?
请您说明理由.
12.若,关于的方程有两个相等的的正实数根,求的值.
13.已知关于的一元二次方程.
(1)求证:
不论为任何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两根为,且满足,求的值.
14.已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长.
(1)取何值时,方程存在两个正实数根?
(2)当矩形的对角线长是时,求的值.
B组
1.已知关于的方程有两个不相等的实数根.
(1)求的取值范围;
(2)是否存在实数,使方程的两实根互为相反数?
如果存在,求出的值;
如果不存在,请您说明理由.
2.已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11.求证:
关于的方程有实数根.
3.若是关于的方程的两个实数根,且都大于1.
(1)求实数的取值范围;
(2)若,求的值.
一元二次方程试题
一、选择题
1、一元二次方程的根的情况为( )B
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
2、若关于z的一元二次方程没有实数根,则实数m的取值范围是( )C
A.m<
lB.m>
-1C.m>
lD.m<
-1
3、一元二次方程x2+x+2=0的根的情况是( )C
A.有两个不相等的正根B.有两个不相等的负根
C.没有实数根D.有两个相等的实数根
4、用配方法解方程,下列配方正确的是()A
A.B.C.D.
图(7)
5、已知函数的图象如图(7)所示,那么关于的方程的根的情况是()D
A.无实数根B.有两个相等实数根
C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根
6、关于x的方程的两根同为负数,则()A
A.且B.且
C.且D.且
7、若关于x的一元二次方程的两个实数根分别是,且满足.则k的值为( )C
(A)-1或 (B)-1 (C) (D)不存在
8、下列关于x的一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是( )D
(A)x2+4=0 (B)4x2-4x+1=0 (C)x2+x+3=0 (D)x2+2x-1=0
9、某商品原价200元,连续两次降价a%后售价为148元,下列所列方程正确的是( )B
A:
200(1+a%)2=148B:
200(1-a%)2=148
C:
200(1-2a%)=148D:
200(1-a2%)=148
10、下列方程中有实数根的是( )C
(A)x2+2x+3=0 (B)x2+1=0 (C)x2+3x+1=0 (D)
11、已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则m的取值范围是()A
A.m>-1B.m<-2C.m≥0D.m<0
12、如果2是一元二次方程x2=c的一个根,那么常数c是()。
C
A、2B、-2C、4D、-4
二、填空题
1、已知一元二次方程的两根为、,
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- 一元 二次方程 练习题 定理