电路的频率响应和谐振现象.docx
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电路的频率响应和谐振现象
第七章
例10.1电路如图10.4(a)所示:
(1)试求出电压比H(jω)=
(2)判断电路有何种性质,简画幅频特性。
图10.4例10.1用图
(3)若R1=R2=1K,L1=10mH,C2=0.0μf时,求截止频率ω0及品质因数Q。
分析:
这是典型的二阶电路。
通过阻抗分压求出输出比输入的频率响应,与标准形式相比,就可判断出电路属于何性质电路,可大致画出其幅频特性,并且由标准形式可求出电路的截止频率和品质因数。
解:
(1)=
H(jω)=
=
=
(2)由滤波器电路的标准形式可判断此电路为低通滤波器电路,其幅频特性如图10.4(b)。
(3)当R1=R2=1k,L1=10mH,C2=0.01uf时
ω0=×10rad/s
Q=
〔评注〕:
在截止频率处,频率响应等于最大值的0.707倍,此点也称为半功率点。
从品质因数较低可看出,电路从通带到止带的过渡是很缓慢的,与理想特性相差甚远,因此实际电路通常采用有源滤波或其它形式的电路,以改进频率响应。
例10.2滤波器电路如图10.5所示,欲设计中心频率ω=1000Hz,带宽为100Hz,试确定各元件的值。
图10.5例10.2用图
分析:
这是一个有源滤波电路,首先必须根据节点方程和理想运算放大器的特性,求出输出电压与输入电压之比,再于标准形式比较,得到中心频率和带宽与元件的关系,求出元件值。
解:
设节点电位u1,列节点电位方程:
消去U1(s),得到H(s)=
H(s)=
H(jω)=
可见这是个带通滤波电路。
B=
设C=0.1μf则kΩ
假定R1>>R2
==0.5kΩ
取R1=100kΩ即可。
〔评注〕利用各变量的拉普拉斯变换,使推导和计算更为方便。
另外,在设计元件时,往往需要一些近似,或者先确定某个元件值,再由公式确定另外一些元件值。
例10.3一个RLC串联谐振电路,电源电压Us=1V,且保持不变。
当调节电源频率,使电路达到谐振时,f=100kHz,这时回路电流I=100mA;当频率改变为f=99kHz时,回路电流I=70.7mA。
求回路的品质因数和电路r,L,C参数值。
分析:
当外加电源振幅不变,但频率变化时,由于L,C的存在,使电路响应发生不同的变化。
电路达到谐振时,回路电流最大,当失谐时,电流相应减小,且f=99kHz时,电流为谐振时的0.707倍,此频率点为电路的截止频率。
解:
∵f0=
∴LC=
又∵f1为99kHz,回路电流I==0.707×I0
∴f1为回路的截止频率。
B=2(f0-f1)=2kHz
而I0=Us/r
联立求解,得:
r=10Ω
L=796mH
C=3180μf
Q=20
〔评注〕:
做题时,要熟知串联谐振电路的特性与一些公式,如谐振时,回路电流最大,且与电源电压同相,电阻上电压就等于电源电压,所以I0=Us/r,以及谐振角频率与通频带的公式,则求解就很方便了。
例10.4电路如10.6所示,图中0 求电路的谐振频率f0。 图10.6例10.4用图 分析: 当电路谐振时总阻抗为纯电阻,因此通过求等效阻抗或等效导纳,使虚部为零来寻找谐振频率与元件的关系。 解: 设电流=++jωC() = Y= 令其虚部为零,则 〔评注〕: 如果是规则的串联或并联谐振电路,则谐振频率只要带入公式求即可,对于本题这种电路,只能通过谐振电路的本质特性去求,也就要求对谐振电路的谐振现象有更深刻的理解。 例10.5如图10.7(a)所示谐振电路。 已知谐振回路本身Q0=40,信号源内阻Ri=40kΩ,C=100pf,L=100μH。 (a)图10.7例10.5用图(b) 求 (1)谐振频率f0及电路通频带。 (2)当接上负载RL=40kΩ,电路通频带有何变化? 分析: 并联谐振电路在接入电源后,其电路的谐振频率不变,谐振频率仅与电路参数有关。 Q0是回路本身仅与电阻r有关的品质因数,内阻的引入使总电路的品质因数和通频带都会发生变化,内阻越小,影响越大,接入负载的影响同样。 解: (1) =1.59×10Hz Q0= 电路等效为图10.7(b) Q= B==5×10=500kHz (2)当接入RL时,Q进一步降低,通频带进一步展宽 Q= B==3×250=750kΩ 〔评注〕: 求解实用性并联谐振电路,一般先等效成完全并联谐振电路,然后由已知条件,求出未知参数。 另外,对串联谐振电路,串入的内阻越大,品质因数变的越小;而对并联谐振电路,电源内阻越小,品质因数变的越小。 例10.6电路如图10.8所示,us(t)中含有基波及谐波成分,ω0=1000rad/s,若使电路能阻止二次谐波电流通过,让基波顺利通过负载,求C1和C2。 分析: 若阻止二次谐波电流通过,则应使电路某一局部断开;使基波顺利通至负载,则从电源到负载对基波的阻抗应为零,这样通过串并联谐振都能实现。 解: 令L和C1对二次谐波发生并联谐振,则局部Y=0,Z=∞ ==10μf 当ω<2ω0时,L与C1并联电路呈感性,并与C2组成串联谐振电路 令: 得C2=30μf 图10.8例10.6用图 例10.7正弦稳态电路如图10.9所示。 us(t)=(4+cos10t+2cos2×10t)V,求输出u0(t)。 图10.9例10.7用图 分析: 由于电感、电容对不同频率信号呈现的阻抗不同,所以要分别计算us(t)中的三个分量引起的响应。 解: (1)当us1(t)=4V时,直流稳态电路中电感短路,电容开路,则u01(t)=0。 (2)当uS2(t)=6cos10tV作用时,由L1及C1形成的导纳 Y=jωC1-j=j×10-j=0 所以L1与C1对ω=10rad/s形成并联谐振,阻抗无穷大,形成断路 u02(t)=us2(t)=3cos10tV (3)当us3(t)=2cos2×10tV作用时,由L1,C1,L2形成的总阻抗 Z=+jωL2=+j=0 因而相当于对2×10rad/s形成串联谐振,电路短路 u03=0 三个分量迭加: u0(t)=3cos10tV 〔评注〕: 当不同频率信号作用时,要分别建立相量模型来求解。 这里是巧妙地利用并联谐振与串联谐振,使计算简单化。 例10.8图10.10所示电路为中频放大器选频等效电路,信号源is(t)含有多个频率分量,最低频率为455kHz,最高频率为475kHz,信号源内阻为90kΩ,并联谐振电路作为负载,其中L=244μH,C=400pf,空载品质因数Q0=115。 求: (1)此时输出u(t)是否有严重失真? 为什么? (2)欲减小失真,采取何种措施? 分析: 是否失真,就要判断输入信号频率是否处于电路的通频带内,若在通频带外则产生失真。 图10.10例10.8用图 解: (1)ω0===10 f0==509.7kHz 等效电路如图10.10(b) R0==×=Q0=89.8kΩkΩ 则Q=ω0C(Rs//R0)=1/2Q0=52.5 B=f0/Q=509.7/52.5=9.7Hz 从中看出,电源信号频率在(f0-5,f0+5)之外,输出严重失真。 (2)欲减小失真,可以并接电阻,降低Q值,增宽频带,但是一味降低电阻,Q值变低,只能使电路性能变坏,所以最好是改变中心频率,使f0=465kHz,这样只要改变电容参数就可以办到。 从中得知,通频带没有达到要求,因此应再并接一个电阻,使通频带达到10kHz。 [评注]一个电路的好坏,应根据对它的要求来评判。 如本题,要使电源的最低频率到最高频率处于通频带之内,且它的范围就是通频带,这就要求中心频率在通频带中间。 若通频带过宽,品质因数太低,则电路的性能变坏,因此应根据要求来选电路参数。 例10.9如图10.11(a)所示电路,已知谐振频率f0=465kHz,回路自身的品质因数Q=100,初级线圈N=160匝,N1=40匝,次级线圈N2=10匝,C=200pf,电源内阻Rs=16KΩ,负载电阻RL=1kΩ。 求: 电感L和回路的有载品质因数QL。 分析: 这是从线圈中间引出线接电源的谐振电路,根据原理,首先求出LC两端的等效电路,其次的计算和LC并联谐振电路一样。 图10.11例10.9用图 解: 接入系数 m=== 等效电路如图(b) Rs=Rs=256kΩ R0==Q=172kΩ L==586uH RL’=×RL=256kΩ 总的等效电阻R=Rs’//R0//RL’=73.4kΩ QL=ω0CR42.9 [评注]: N1与N2构成理想变压器,根据变阻抗特性,先把负载等效到N1两端,再由接入系数,将其等效到N两端,同时将电源与内阻也等效到LC并联回路两端,其次的计算和简单并联谐振电路计算相同。 三.习题 1.单项选择题(将正确答案填写在题后的括号中) (1)rLC串联电路发生谐振时,下列选择哪个是错误的? () (A).电流最小(B)电流最大(C)阻抗模值最小(D)电压电流同相 (2)如图 (2)电路,已知Is=5mA。 当电路对电源频率谐振时,IL0=() (2)图10.12习题1(3) (A)jQ(B)-jQ(C)QIs(D)-Qis (3)图(3)所示并联谐振电路,其品质因数Q为() (A)10(B)20(C)40(D)80 (4)如图(4)所示电路,有二个谐振角频率ω01与ω02,在电源处于ω01与ω02之间时,等效电抗为什么性质? () (A)容性(B)感性(C)阻性(D)不确定 图10.12习题1(4)图10.13习题2 (1) 2.填空题 (1)如图 (1),向量模型,已知=100/V,则当电路处于谐振时=___。 (2)图 (2)所示电路,求电路的谐振频率ω0=__。 (2)图10.13习题2(3) (3)如图(3)所示,互感M=50μH,求电路的并联谐振频率ω0=__。 (4)如图(4)并联谐振电路,接入系数m=_ 3.如图10.14是三层电路构成的滤波电路,试分析它是什么样的滤波电路,并求出ω0及 通带宽度BW 图10.13习题2(4)图10.14习题3 4.已知某系统的频率响应H(jω)如图10.15所示,当输入f(t)=2+0.5cost+2/3cos2t时,求输出y(t)。 图10.15习题4 5.RLC串联谐振电路的谐振频率为810kHz,品质因数Q为90,已知L=32mH (1)求R,C和通频带BW。 (2)若电源电压Us=15V,求谐振时,电容两端的电压。 6.如图10.16所示并联谐振电路,电源内阻Rs=40kΩ,Is=1mA。 (1)电路的谐振频率和电源未接入时的品质因数。 (2)电源接入后,若电路已谐振,求品质因数及流过各元件的电流。 图10.16习题6图10.17习题7 7.电路如图10.17所示,输入us(t)为非正弦波,其中含有ω=3及7的谐波分量。 如果要求在输出电压中不含这两个谐波分量,问L和C应为多少? 8.某谐振电路如图10.18所示。 已知回路本身的品质因数Q0=105,L
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