一乘法公式与因式分解Word下载.docx
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【解】=
因为-1=,对任意实数a,≤0
所以≤1
通过将完全平方公式中的指数2推广到3,我们得到了完全立方公式,还可以把指数推广到4,5,…,以至一般.
另一方面:
我们也可以从项数的角度推广:
三项和的平方:
甚至还可以推广到n项和的平方(在此省略)
灵活使用上式,可为代数变形及求值带来方便.
〖数学思想方法归纳〗以上从完全平方公式出发,从两个角度:
指数和项数进行了推广,这种思维方法称为由特殊到一般的思想.人们对很多问题的认识,往往是先从特殊情况出发,发现一些信息,然后进行一般化,进而发现一般规律.
【例3】已知:
,,求下列各式的值
(1);
(2).
【分析】突破问题的关键在于寻找已知式与未知式的联系,联想三项和的平方公式,可得到
(1)的解法,进而反复操作可推进到
(2).
【解】
(1)由
可得:
(2)由
得:
所以:
而==.
【例4】已知,求证:
【证法一】
由已知得:
,故,
因此:
【证法二】
以下同证法一.
【归纳总结】以上两种证法都用到了整体代换的方法,即换为;
方法二中又把分别看作一个整体使用立方差公式.这种整体代换的方法常可找到解题的突破口,并使运算简便.
【例5】已知,求的值.
【解】.
【例6】已知,且,求的值.
∵,
∴;
∴上式=.
习题1.1
1.若,则=()
A.128B.464C.496D.512
2.若,则()
A.0B.C.D.
3.设,对于任意n>
0,则A,B的大小关系为()
A.A≥BB.A>
BC.A≤BD.不一定
4..
5.观察下列各式的规律:
可得到.
6.求函数的最大值.
7.当时,求代数式的值.
8.已知a、b、c为非零实数,,
求证:
.
9.如果,求的值.
10.已知且,求的值.
1.2因式分解
因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式,它与多项式乘法运算是互逆变形.因式分解在将来学习解方程、解不等式、判断代数式的符号等问题中都要用到.
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,是我们解决许多数学问题的有力工具.主要的方法有____________、____________、___________和____________.
把一个多项式因式分解,如果多项式的各项有公因式,就先提取公因式,公因式可以是数、单项式,也可以是多项式;
比如:
把分解因式为__________________;
如果各项没有公因式,再看能否直接运用公式或用十字相乘法分解;
把分解因式为________________________、把分解因式为________________________;
常用的公式有:
(1)=____________.
(2)=____________.
(3)=____________.(4)=____________.
(5)=____________.
(6)=____________.(7)=____________.
如果还不能分解,就试用分组分解法或其他方法,比如:
添项法、拆项法、待定系数法、换元法等等;
添、拆项法是在分解因式时,常要对多项式进行适当的变形,使其能分组分解.添项和拆项是两种重要的变形技巧,所谓添项,就是在要分解的多项式中加上仅仅符号相反的两项的和(实际上是加上0,并不改变原多项式的值),如把添上,得________________________,从而可将原多项式分解因式.拆项是把多项式中某一项拆成两项或多项的代数和(相当于整式加法中合并同类项的逆运算),再通过适当分组,达到分解因式的目的;
换元法是对有些复杂的多项式,如果把其中某些部分看作一个整体,用一个新的字母代替(即换元),不仅可使原式得到简化,而且能使式子的特点更加明显.这样先进行换元,再将含“新字母”的多项式分解因式,最后将“新字母”用原换的式子代回去,得到原多项式的因式分解结果,这种方法就是因式分解中的换元法,或者说是换元法在因式分解中的应用;
待定系数法就是有的多项式虽不能直接分解因式,但可由式子的最高次数与系数的特点断定其分解结果的因式形式.如只含一个字母的三次多项式分解的结果可能是一个一次二项式乘以一个二次三项式,也可能是三个一次因式的积.于是,我们可以先假设要分解因式的多项式等于几个因式的积,再根据恒等式的性质列出方程(组),进而确定其中的系数,得到分解结果,这种方法就称为待定系数法我们已学习过两种分解因式的方法:
提取公因式法与公式法.
下面我们继续学习一些分解因式的方法:
十字相乘法、分组分解法、求根法及待定系数法.
十字相乘法
我们知道,形如的二次三项式,它的特点是二次项系数是1,常数项pq与一次项系数p+q可以通过如图的“十字相乘,乘积相加”方式建立联系,得到=.这种方法能否推广呢?
如果要对分解因式,我们把二次项系数2分解为1×
2,把常数项3分解成1×
3或(-1)×
(-3),按下列图的运算方式,也用“十字相乘,乘积相加”验算.
可以发现图中第四个对应的结果1×
(-1)+2×
(-3)=-7,恰好等于一次项系数-7.由于=,从而
=.
像这样,通过十字交叉线帮助,把二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法.
形如的多项式分解因式:
方法及原理:
若:
通常借助十字交叉:
【例1】将下列各式分解因式:
(2)
【分析】
(1)把二次项系数2分解为1×
2,常数项-3有两种分解:
(-1)×
3和1×
(-3),然后按十字辅助线凑配验证可得.
(2)当二次项系数为负时,二次项系数分解成的两个因数异号,则十字辅助图的各种可能性就会更多.因此先把负号提到括号外面,即=,然后再对进行分解.
(1)=
(2)=
【例2】分解因式:
【分析】先将视为一个整体,通过两次十字相乘法得到解决.
【归纳总结】使用“十字相乘法”关键要进行“凑配”,即要调整二次项系数、常数项的分解方式和十字线上各数的位置.它的原理是多项式乘法的法则.
关于凑配的技巧有调整符号,调整大小等,需在实践中体会.
提高:
有些二次三项式中含有两个或三个字母,这样的式子又怎样分解呢?
【例3】分解因式:
【例4】分解因式:
【例5】分解因式:
分组分解法
观察多项式,它的各项并没有公因式,因此不能用提取公因式来分解因式;
这是一个四项式,因此也不能直接用公式法或十字相乘法来分解因式.
观察多项式各项,前两项有公因式x,后两项有公因式y,分别提取后得到+.这时又有了公因式(m+n),因此能把多项式分解:
分解过程为:
=+=.
一般地,如果把一个多项式的项适当分组,并提出公因式后,各组之间又出现新的公因式,那么这个多项式就可以用分组方法来分解因式.
【例1】将下列各式分解因式
(1)
(2)
(1)解法一:
=
解法二:
(2)
【注】本题第
(2)小题的解法是先分组,再用公式法分解因式.
先将多项式分组后分解因式的方法称为分组分解法.用这种方法分解因式,分组时应预见到下一步分解的可能性.
【例2】已知,化简:
∵
∴,即只有
∴=.
求根分解法
结论一:
若已知关于x的二次方程的两个实数根为,则关于x的二次三项式可分解为:
结论二:
若方程有一个根为,则多项式:
有一个因式为.
用以上方法可对一些较复杂的因式进行分解.
【例1】在实数范围内分解因式:
添、拆项法
【例1】分解因式(添项)
分析:
是二项式,无法直接分解,若添上__________这一项后,就成了,为保持式子的恒等,需要减去____________这时式子正好符合____________公式,因此达到因式分解的目的.
解:
【例2】分解因式(拆项)
当最高项的次数是偶次时,往往通过拆项(或添项)进行配方,本题把拆成____________,然后再分组,就可利用____________、____________进行分解.
或者
.
【例2】分解因式:
【解】:
【方法总结】在因式分解中,我们有时根据需要,也可能添上仅符号不同的两项,使它能够使用公式法或提取公因式法继续分解.
拆项分组分解法的灵活性较大,解法往往不唯一,分解时要根据题目的具体特点,选择简捷的分解方法.
待定系数法
【例题1】分解因式:
对于一个三次多项式,它首先可以分解成一个一次式与一个二次式的乘积.待定系数法实际是假设多项式分解后,通过整式的乘法,利用代数式相等的因素来建立方程,解这个方程,从而找到相应的参数.
令原式==,
解得,所以.
【例题2】分解因式:
本题是一个二次多项式,它只能分解成两个一次多项式的乘积,同时要考虑到式子中有两个字母.
设原式=,
,解得:
、、、.
原式=.
说明:
本题采用待定系数法,计算量比较大,还可以采用双十字相乘法,计算比较简单.因为,所以有:
【方法总结】待定系数法体现了整式乘法与因式分解之间的相互关系,为我们解决高次多项式的因式分解问题提供了有效的方法.这个方法中,建立的方程组不能按照一般的方法去解,我们只需求它的整数解.
整理思想的应用
整体思想是中学数学中的一种重要的数学思想,在因式分解中常体现这一思想.
【例题1】分解因式:
在用提公因式法分解因式时要注意整体思想的运用,本例题就是把这一整体作为公因式提出.
设,得.
原式==.
通过“整体换元”分解因式简单明了.
【方法总结】整体思想主要体现在下面几个方面:
“提”整体、“当”整体、“凑”整体、“拆”整体、“换”整体.请同学们对照看一看,上面的两个例题和三个练习题分别是哪种情况?
习题1.2
1、对多项式用分组分解法分解因式,下面分组正确的是()
A、B、
C、D、
2、要使二次三项式在整数范围内可分解,m为正整数,那么m的取值可以有()
A、2个B、3个C、5个D、6个
3、把多项式分解因式,结果是()
4、
5、将下列各式分解因式:
(1);
(2).
6、将下列各式分解因式:
(1);
(2)
7、已知试用m,n表示
8、当x=-1时,.请根据这一事实,将分解因式.
提高部分:
1.将下列各式分解因式:
(2);
(3)
(4).
2.若(x、y是实数),则M的值一定是()
A.正数B.负数C.零D.非负数
3.分解因式.
4.分解因式:
5.分解因式:
6.分解因式:
7.分解因式:
8.分解因式:
9.分解因式
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