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7、n阶(n≥2)范德蒙德行列式
数学归纳法证明
★8、对角线的元素为a,其余元素为b的行列式的值:
(三)按行(列)展开
9、按行展开定理:
(1)任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值
(2)行列式中某一行(列)各个元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于0
(四)行列式公式
10、行列式七大公式:
(1)|kA|=kn|A|
(2)|AB|=|A|·
|B|
(3)|AT|=|A|
(4)|A-1|=|A|-1
(5)|A*|=|A|n-1
(6)若A的特征值λ1、λ2、λn,则
(7)若A与B相似,则|A|=|B|
(五)克莱姆法则
11、克莱姆法则:
(1)非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯一解
(2)如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解,则它的系数行列式必为0
(3)若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解;
如果方程组有非零解,那么必有D=0。
2矩阵
(一)矩阵的运算
1、矩阵乘法注意事项:
(1)矩阵乘法要求前列后行一致;
(2)矩阵乘法不满足交换律;
(因式分解的公式对矩阵不适用,但若B=E,O,A-1,
(3)AB=O不能推出A=O或B=O。
2、转置的性质(5条)
(1)(A+B)T=AT+BT
(2)(kA)T=kAT
(3)(AB)T=BTAT
(4)|A|T=|A|
(5)(AT)T=A
(二)矩阵的逆
3、逆的定义:
AB=E或BA=E成立,称A可逆,B是A的逆矩阵,记为B=A-1
注:
A可逆的充要条件是|A|≠0
4、逆的性质:
(5条)
(1)(kA)-1=1/k·
A-1(k≠0)
(2)(AB)-1=B-1·
A-1
(3)|A-1|=|A|-1
(4)(AT)-1=(A-1)T
(5)(A-1)-1=A
5、逆的求法:
(1)A为抽象矩阵:
由定义或性质求解
(2)A为数字矩阵:
(A|E)→初等行变换→(E|A-1)
(三)矩阵的初等变换
6、初等行(列)变换定义:
(1)两行(列)互换;
(2)一行(列)乘非零常数c
(3)一行(列)乘k加到另一行(列)
7、初等矩阵:
单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。
8、初等变换与初等矩阵的性质:
(1)初等行(列)变换相当于左(右)乘相应的初等矩阵
(2)初等矩阵均为可逆矩阵,且Eij-1=Eij(i,j两行互换);
Ei-1(c)=Ei(1/c)(第i行(列)乘c)
Eij-1(k)=Eij(-k)(第i行乘k加到j)
★(四)矩阵的秩
9、秩的定义:
非零子式的最高阶数
(1)r(A)=0意味着所有元素为0,即A=O
(2)r(An×
n)=n(满秩)←→|A|≠0←→A可逆;
r(A)<n←→|A|=0←→A不可逆;
(3)r(A)=r(r=1、2、、n-1)←→r阶子式非零且所有r+1子式均为0。
10、秩的性质:
(7条)
(1)A为m×
n阶矩阵,则r(A)≤min(m,n)
(2)r(A±
B)≤r(A)±
(B)
(3)r(AB)≤min{r(A),r(B)}
(4)r(kA)=r(A)(k≠0)
(5)r(A)=r(AC)(C是一个可逆矩阵)
(6)r(A)=r(AT)=r(ATA)=r(AAT)
(7)设A是m×
n阶矩阵,B是n×
s矩阵,AB=O,则r(A)+r(B)≤n
(★(8)r(A*)=nr(A*)=1r(A*)=0
((六)分块矩阵
11、秩的求法:
由定义或性质求解;
A→初等行变换→阶梯型(每行第一个非零元素下面的元素
均为0),则r(A)=非零行的行数
(五)伴随矩阵
12、伴随矩阵的性质:
(8条)
(1)AA*=A*A=|A|E→★A*=|A|A-1
(2)(kA)*=kn-1A*
(3)(AB)*=B*A*
(4)|A*|=|A|n-1
(5)(AT)*=(A*)T
(6)(A-1)*=(A*)-1=A|A|-1
(7)(A*)*=|A|n-2·
A
(r(A)=n);
(r(A)=n-1);
(r(A)<n-1)
13、分块矩阵的乘法:
要求前列后行分法相同。
14、分块矩阵求逆:
3向量
(一)向量的概念及运算
1、向量的内积:
(α,β)=αTβ=βTα
2、长度定义:
||α||=
3、正交定义:
(α,β)=αTβ=βTα=a1b1+a2b2++anbn=0
4、正交矩阵的定义:
A为n阶矩阵,AAT=E←→A-1=AT←→ATA=E→|A|=±
1
(二)线性组合和线性表示
5、线性表示的充要条件:
非零列向量β可由α1,α2,,αs线性表示
(1)←→非齐次线性方程组(α1,α2,,αs)(x1,x2,,xs)T=β有解。
★
(2)←→r(α1,α2,,αs)=r(α1,α2,,αs,β)(系数矩阵的秩等于
增广矩阵的秩,用于大题第一步的检验)
6、线性表示的充分条件:
(了解即可)
若α1,α2,,αs线性无关,α1,α2,,αs,β线性相关,则β可由α1,α2,,αs线性表示。
7、线性表示的求法:
(大题第二步)
设α1,α2,,αs线性无关,β可由其线性表示。
(α1,α2,,αs|β)→初等行变换→(行最简形|系数)
行最简形:
每行第一个非0的数为1,其余元素均为0
(三)线性相关和线性无关
8、线性相关注意事项:
(1)α线性相关←→α=0
(2)α1,α2线性相关←→α1,α2成比例
9、线性相关的充要条件:
向量组α1,α2,,αs线性相关
(1)←→有个向量可由其余向量线性表示;
(2)←→齐次方程(α1,α2,,αs)(x1,x2,,xs)T=0有非零解;
★(3)←→r(α1,α2,,αs)<s即秩小于个数
特别地,n个n维列向量α1,α2,,αn线性相关
(1)←→r(α1,α2,,αn)<n
(2)←→|α1,α2,,αn|=0
(3)←→(α1,α2,,αn)不可逆
10、线性相关的充分条件:
(1)向量组含有零向量或成比例的向量必相关
(2)部分相关,则整体相关
(3)高维相关,则低维相关
(4)以少表多,多必相关
★推论:
n+1个n维向量一定线性相关
11、线性无关的充要条件
向量组α1,α2,,αs线性无关
(1)←→任意向量均不能由其余向量线性表示;
(2)←→齐次方程(α1,α2,,αs)(x1,x2,,xs)T=0只有零解
(3)←→r(α1,α2,,αs)=s
特别地,n个n维向量α1,α2,,αn线性无关
←→r(α1,α2,,αn)
=n
←→α1,α2,,αn
|
≠
←→矩阵可逆
12、线性无关的充分条件:
(1)整体无关,部分无关
(2)低维无关,高维无关
(3)正交的非零向量组线性无关
(4)不同特征值的特征向量无关
13、线性相关、线性无关判定
(1)定义法
★
(2)秩:
若小于阶数,线性相关;
若等于阶数,线性无关
【专业知识补充】
(1)在矩阵左边乘列满秩矩阵(秩=列数),矩阵的秩不变;
在矩阵右边乘行满
秩矩阵,矩阵的秩不变。
(2)若n维列向量α1,α2,α3线性无关,β1,β2,β3可以由其线性表示,即(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)C,则r(β1,β2,β3)=r(C),从而线性无关。
←→r(β1,β2,β3)=3←→r(C)=3←→|C|≠0
(四)极大线性无关组与向量组的秩
14、极大线性无关组不唯一
15、向量组的秩:
极大无关组中向量的个数成为向量组的秩
对比:
矩阵的秩:
非零子式的最高阶数
★注:
向量组α1,α2,,αs的秩与矩阵A=(α1,α2,,αs)的秩相等
★16、极大线性无关组的求法
(1)α1,α2,,αs
(2)α1,α2,,αs
为抽象的:
定义法
为数字的:
(α1,α2,,αs)→初等行变换→阶梯型矩阵
则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组
(五)向量空间
17、基(就是极大线性无关组)变换公式:
若α1,α2,,αn与β1,β2,,βn是n维向量空间V的两组基,则基变换公式为(β1,β2,,βn)=(α1,α2,,αn)Cn×
n
其中,C是从基α1,α2,,αn到β1,β2,,βn的过渡矩阵。
C=(α1,α2,,αn)-1(β1,β2,,βn)
18、坐标变换公式:
向量γ在基α1,α2,,αn与基β1,β2,,βn的坐标分别为x=(x1,x2,,xn)T,y=(y1,y2,,yn)T,,即γ=x1α1+x2α2++xnαn=y1β1+y2β2++ynβn,则坐标变换公式为x=Cy或y=C-1x。
其中,C是从基α1,α2,,αn到β1,β2,,βn的过渡矩阵。
C=(α1,α2,,αn)-1(β1,β2,,β
n)
(六)Schmidt正交化
19、Schmidt正交化
设α1,α2,α3线性无关
(1)正交化令β1=α1
(2)单位化
4线性方程组
(一)方程组的表达形与解向量
1、解的形式:
(1)一般形式
(2)矩阵形式:
Ax=b;
(3)
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