中考数学压轴题真题详解3Word下载.docx
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4=2,BC=OB•sin60°
=4×
=2,
∴点B的坐标为(﹣2,﹣2);
(2)∵抛物线过原点O和点A.B,
∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx,
将A(4,0),B(﹣2.﹣2)代入,得
,
解得,
∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x
(3)存在,
如图,抛物线的对称轴是x=2,直线x=2与x轴的交点为D,设点P的坐标为(2,y),
①若OB=OP,(版权所有)
则22+|y|2=42,
解得y=±
2,
当y=2时,在Rt△POD中,∠PDO=90°
,sin∠POD==,
∴∠POD=60°
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°
+120°
=180°
即P、O、B三点在同一直线上,
∴y=2不符合题意,舍去,
∴点P的坐标为(2,﹣2)
②若OB=PB,则42+|y+2|2=42,
解得y=﹣2,
故点P的坐标为(2,﹣2),
③若OP=BP,则22+|y|2=42+|y+2|2,
综上所述,符合条件的点P只有一个,其坐标为(2,﹣2),
【菏泽】
21.如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0,1),B(2,0),O(0,0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90°
,得到△A′B′O.
(1)一抛物线经过点A′、B′、B,求该抛物线的解析式;
(2)设点P是在第一象限内抛物线上的一动点,是否存在点P,使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍?
若存在,请求出P的坐标;
若不存在,请说明理由.
(3)在
(2)的条件下,试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形?
并写出四边形PB′A′B的两条性质.
二次函数综合题。
(1)△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°
得到的,
又A(0,1),B(2,0),O(0,0),
∴A′(﹣1,0),B′(0,2).
设抛物线的解析式为:
,
∵抛物线经过点A′、B′、B,
,解之得,
满足条件的抛物线的解析式为..
(2)∵P为第一象限内抛物线上的一动点,
设P(x,y),则x>0,y>0,P点坐标满足.
连接PB,PO,PB′,
.
假设四边形的面积是面积的倍,则
即,解之得,此时,即.
∴存在点P(1,2),使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍.
(3)四边形PB′A′B为等腰梯形,答案不唯一,下面性质中的任意2个均可.
①等腰梯形同一底上的两个内角相等;
②等腰梯形对角线相等;
③等腰梯形上底与下底平行;
④等腰梯形两腰相等.
或用符号表示:
①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′;
②PA′=B′B;
③B′P∥A′B;
④B′A′=PB.
【3.2012义乌市】
24.如图1,已知直线y=kx与抛物线y=交于点A(3,6).
(1)求直线y=kx的解析式和线段OA的长度;
(2)点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM,交x轴于点M(点M、O不重合),交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.试探究:
线段QM与线段QN的长度之比是否为定值?
如果是,求出这个定值;
如果不是,说明理由;
(3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段OA上(与点O、A不重合),点D(m,0)是x轴正半轴上的动点,且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.继续探究:
m在什么范围时,符合条件的E点的个数分别是1个、2个?
(1)把点A(3,6)代入y=kx得;
∵6=3k,
∴k=2,
∴y=2x.(2012义乌市)
OA=.…(3分)
(2)是一个定值,理由如下:
如答图1,过点Q作QG⊥y轴于点G,QH⊥x轴于点H.
①当QH与QM重合时,显然QG与QN重合,
此时;
②当QH与QM不重合时,
∵QN⊥QM,QG⊥QH
不妨设点H,G分别在x、y轴的正半轴上,
∴∠MQH=∠GQN,
又∵∠QHM=∠QGN=90°
∴△QHM∽△QGN…(5分),
∴,
当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时,同理可得.…(7分)①①
(3)如答图2,延长AB交x轴于点F,过点F作FC⊥OA于点C,过点A作AR⊥x轴于点R
∵∠AOD=∠BAE,
∴AF=OF,
∴OC=AC=OA=
∵∠ARO=∠FCO=90°
,∠AOR=∠FOC,
∴△AOR∽△FOC,
∴OF=,
∴点F(,0),
设点B(x,),
过点B作BK⊥AR于点K,则△AKB∽△ARF,
即,
解得x1=6,x2=3(舍去),
∴点B(6,2),
∴BK=6﹣3=3,AK=6﹣2=4,
∴AB=5…(8分);
(求AB也可采用下面的方法)
设直线AF为y=kx+b(k≠0)把点A(3,6),点F(,0)代入得
k=,b=10,
∴(舍去),,
∴B(6,2),
∴AB=5…(8分)
(其它方法求出AB的长酌情给分)
在△ABE与△OED中
∵∠BAE=∠BED,
∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB,
∴∠ABE=∠DEO,
∵∠BAE=∠EOD,
∴△ABE∽△OED.…(9分)
设OE=x,则AE=﹣x(),
由△ABE∽△OED得,
∴
∴()…(10分)
∴顶点为(,)
如答图3,当时,OE=x=,此时E点有1个;
当时,任取一个m的值都对应着两个x值,此时E点有2个.
∴当时,E点只有1个…(11分)
当时,E点有2个…(12分).
【•杭州】
22.在平面直角坐标系内,反比例函数和二次函数y=k(x2+x﹣1)的图象交于点A(1,k)和点B(﹣1,﹣k).
(1)当k=﹣2时,求反比例函数的解析式;
(2)要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大,求k应满足的条件以及x的取值范围;
(3)设二次函数的图象的顶点为Q,当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时,求k的值.
分析:
(1)当k=﹣2时,即可求得点A的坐标,然后设反比例函数的解析式为:
y=,利用待定系数法即可求得答案;
(2)由反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大,可得k<0,又由二次函数y=k(x2+x﹣1)的对称轴为x=﹣,可得x<﹣时,才能使得y随着x的增大而增大;
(3)由△ABQ是以AB为斜边的直角三角形,A点与B点关于原点对称,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即可得OQ=OA=OB,又由Q(﹣,k),A(1,k),即可得=,继而求得答案.
(1)当k=﹣2时,A(1,﹣2),
∵A在反比例函数图象上,
∴设反比例函数的解析式为:
y=,
代入A(1,﹣2)得:
﹣2=,
解得:
m=﹣2,
∴反比例函数的解析式为:
y=﹣;
(2)∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大,
∴k<0,
∵二次函数y=k(x2+x﹣1)=k(x+)2﹣k,的对称轴为:
直线x=﹣,
要使二次函数y=k(x2+x﹣1)满足上述条件,在k<0的情况下,x必须在对称轴的左边,
即x<﹣时,才能使得y随着x的增大而增大,
∴综上所述,k<0且x<﹣;
(3)由
(2)可得:
Q(﹣,k),
∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形,A点与B点关于原点对称,(如图是其中的一种情况)
∴原点O平分AB,
∴OQ=OA=OB,
作AD⊥OC,QC⊥OC,
∴OQ==,
∵OA==,
∴=,
k=±
.
点评:
此题考查了二次函数的性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质等知识.此题综合性较强,难度较大,注意掌握待定系数法求函数解析式,注意数形结合思想的应用.
【•烟台】
26.如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0),C(3,0),D(3,4).以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C.动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动.同时动点Q从点C出发,沿线段CD向点D运动.点P,Q的运动速度均为每秒1个单位.运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG的面积最大?
最大值为多少?
(3)在动点P,Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C,Q,E,H为顶点的四边形为菱形?
请直接写出t的值.
(1)根据矩形的性质可以写出点A得到坐标;
由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y=a(x﹣1)2+4,然后将点C的坐标代入,即可求得系数a的值(利用待定系数法求抛物线的解析式);
(2)利用待定系数法求得直线AC的方程y=﹣2x+6;
由图形与坐标变换可以求得点P的坐标(1,4﹣t),据此可以求得点E的纵坐标,将其代入直线AC方程可以求得点E或点G的横坐标;
然后结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE=4﹣、点A到GE的距离为,C到GE的距离为2﹣;
最后根据三角形的面积公式可以求得
S△ACG=S△AEG+S△CEG=﹣(t﹣2)2+1,由二次函数的最值可以解得t=2时,S△ACG的最大值为1;
(3)因为菱形是邻边相等的平行四边形,所以点H在直线EF上.
(1)A(1,4).…(1分)
由题意知,可设抛物线解析式为y=a(x﹣1)2+4
∵抛物线过点C(3,0),
∴0=a(3﹣1)2+4,
解得,a=﹣1,
∴抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2+4,即y=﹣x2+2x+3.…(2分)
(2)∵A(1,4),C(3,0),
∴可求直线AC的解析式为y=﹣2x+6.
∵点P(1,4﹣t).…(3分)
∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中,解得点E的横坐标为x=1+.…(4分)
∴点G的横坐标为1+,代入抛物线的解析式中,可求点G的纵坐标为4﹣.
∴GE=(4﹣)﹣(4﹣t)=
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