学年人教版选修34第十一章第2节 简谐运动的描述学案Word格式文档下载.docx
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单位时间内完成全振动的次数
单位
秒(s)
赫兹(Hz)
物理含义
表示物体振动快慢的物理量
关系式
T=
4.相位
描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。
[辨是非](对的划“√”,错的划“×
”)
1.简谐运动的振幅大,振动物体的周期一定大。
(×
)
2.简谐运动的振幅大,振动物体的最大位移一定大。
(√)
3.简谐运动的快慢可以用频率和振幅来描述。
[释疑难·
对点练]
1.对全振动的理解
正确理解全振动的概念,应注意把握振动的五种特征:
(1)振动特征:
一个完整的振动过程。
(2)物理量特征:
位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。
(3)时间特征:
历时一个周期。
(4)路程特征:
振幅的4倍。
(5)相位特征:
增加2π。
2.简谐运动中振幅和几个常见量的关系
(1)振幅和振动系统的能量关系:
对一确定的振动系统来说,系统能量仅由振幅决定,振幅越大,振动系统能量越大。
(2)振幅与位移的关系:
振动中的位移是矢量,振幅是标量,在数值上,振幅与某一时刻位移的大小可能相等,但在同一简谐运动中振幅是确定的,而位移随时间做周期性的变化。
(3)振幅与路程的关系:
振动中的路程是标量,是随时间不断增大的,其中常用的定量关系——一个周期内的路程为4倍的振幅,半个周期内的路程为2倍的振幅。
(4)振幅与周期的关系:
在简谐运动中,一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的,与振幅无关。
3.弹簧振子四分之一周期内的路程
一质点做简谐运动的位移图象如图甲所示。
O是平衡位置,B、C均为最大位移处,用A表示振幅,T表示周期,s表示时间内经过的路程。
(1)质点从位置P向平衡位置O运动,然后经过O点运动至Q点,假设从P到Q历时,那么在这段时间内质点运动的路程如何?
比较质点由B到O的运动和由P到Q的运动,注意到PO段的运动是相同的;
再来比较BP段和OQ段的运动,发现BP段质点运动得慢一些,OQ段质点运动得快一些,而两段运动的时间是相同的,所以<。
故质点从P运动到Q的路程大于从B运动到O的路程,即s>A。
(2)质点从Q点向位置C处运动,然后再从C往回运动至M,假设运动时间也是,如图乙所示,那么在这段时间内质点运动的路程如何?
比较质点从O至C的运动和从Q到C再到M的运动,注意到QC段的运动是相同的,只需比较OQ段和CM段的运动,容易知道质点在OQ段比CM段运动得快,而运动时间相同,所以>。
故质点从Q运动到C再到M的路程小于从O运动到C的路程,即s<A。
(3)连续观察质点从P到Q,再经C到M的过程。
若运动的总时间为,容易证明,M和P关于平衡位置O对称,质点通过的总路程为2A。
综上分析,可得到结论:
做简谐运动的质点,在向平衡位置运动的过程中,取某一位置开始计时,质点在时间内通过的路程s>A;
在远离平衡位置的过程中,取某一位置开始计时,质点在时间内通过的路程s<A;
而如果计时起点就选在最大位移处或者平衡位置,那么质点在时间内通过的路程s=A。
[特别提醒] 简谐运动的振幅大,振动物体的位移不一定大,但其最大位移一定大。
[试身手]
1.一竖直悬挂的弹簧振子,下端装有一记录笔,在竖直面内放置有一记录纸。
当振子上下振动时,以速率v水平向左匀速拉动记录纸,记录笔在纸上留下如图所示的图象。
y1、y2、x0、2x0为纸上印迹的位置坐标。
由此图求得,振动的周期为______和振幅为______。
解析:
由图象可知,振子在一个周期内沿x方向的位移为2x0,水平速度为v,故周期T=;
又由图象知2A=y1-y2,故振幅A=。
答案:
简谐运动的表达式
简谐运动的一般表达式为x=Asin(ωt+φ)
(1)x表示振动物体相对于平衡位置的位移。
(2)A表示简谐运动的振幅。
(3)ω是一个与频率成正比的量,表示简谐运动的快慢,ω==2πf。
(4)ωt+φ代表简谐运动的相位,φ表示t=0时的相位,叫做初相。
1.做简谐运动的质点先后通过同一点,速度、加速度、位移都是相同的。
2.做简谐运动的质点,速度增大时,其加速度一定减小。
3.做简谐运动的质点,位移增大时,其速度一定减小。
1.简谐运动的表达式理解
做简谐运动的物体位移x随时间t变化的表达式:
x=Asin(ωt+φ),由简谐运动的表达式可以直接读出振幅A、圆频率ω和初相φ。
据ω=或ω=2πf可求周期T或频率f,可以求某一时刻质点的位移x。
2.简谐运动的相位及相位差的理解
(1)ωt+φ表示相位,描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态,是描述不同振动的振动步调的物理量。
它是一个随时间变化的量,相当于一个角度,相位每增加2π,意味着物体完成了一次全振动。
(2)相位差是指两个相位之差,在实际应用中经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差,它反映出两个简谐运动的步调差异。
设两频率相同的简谐运动的振动方程分别为x1=A1sin(ωt+φ1),x2=A2sin(ωt+φ2),它们的相位差Δφ=(ωt+φ2)-(ωt+φ1)=φ2-φ1。
可见,其相位差恰好等于它
们的初相之差,因为初相是确定的,所以频率相同的两个简谐运动有确定的相位差。
(3)若Δφ=φ2-φ1>0,则称B的相位比A的相位超前Δφ或A的相位比B的相位落后Δφ;
若Δφ=φ2-φ1<0,则称B的相位比A的相位落后|Δφ|或A的相位比B的相位超前|Δφ|。
①同相:
表明两个振动物体步调相同,相差位Δφ=0;
②反相:
表明两个振动物体步调完全相反,相位差Δφ=π。
2.两个简谐运动的表达式分别为x1=4asin(4πbt+),x2=2asin(4πbt+)。
求它们的振幅之比,各自的频率。
它们的振幅之比==;
它们的频率相同,都是f===2b。
2∶1 频率均为2b
[典例1] 弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动,B、C相距20cm,某时刻振子处于B点,经过0.5s,振子首次到达C点,求:
(1)振子的振幅;
(2)振子的周期和频率;
(3)振子在5s内通过的路程及位移大小。
[思路点拨] 对做简谐运动的弹簧振子而言,离平衡位置最远的两个点关于平衡位置对称,其距离为2A。
一个全振动的时间叫做周期,周期和频率互为倒数关系。
简谐运动的位移是振子离开平衡位置的距离。
要注意各物理量之间的区别与联系。
[解析]
(1)设振幅为A,则有2A=BC=20cm,所以
A=10cm。
(2)从B首次到C的时间为周期的一半,因此
T=2t=1s;
再根据周期和频率的关系可得
f==1Hz。
(3)振子一个周期通过的路程为4A=40cm,即一个周期运动的路程为40cm,
s=×
4A=5×
40cm=200cm
5s的时间为5个周期,又回到起始点B,位移大小为10cm。
[答案]
(1)10cm
(2)1s 1Hz (3)200cm
10cm
(1)求振动物体在一段时间内通过路程的依据:
①振动物体在一个周期内通过的路程一定为四个振幅,则在n个周期内通过的路程必为n·
4A;
②振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅;
③振动物体在内通过的路程可能等于一倍振幅,还可能大于或小于一倍振幅,只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时,内通过的路程才等于振幅。
(2)计算路程的方法是:
先判断所求时间内有几个周期,再依据上述规律求路程。
简谐运动的周期性和对称性问题
1.周期性
做简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后,能回复到原来的状态。
2.对称性
如图所示,物体在A和B之间运动,O点为平衡位置,C和D两点关于O点对称,则:
(1)时间的对称
①振动质点来回通过相同的两点间经过的时间相等,如tDB=tBD;
②质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段时间相等,图中tOB=tBO=tOA=tAO,tOD=tDO=tOC=tCO。
(2)速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等,方向相反;
②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)的速度大小相等,方向可能相同,也可能相反。
[典例2] 一个质点在平衡位置O点的附近做简谐运动,它离开O点运动后经过3s时间第一次经过M点,再经过2s第二次经过M点,该质点再经过________s第三次经过M点。
若该质点由O点出发在20s内经过的路程是20cm,则质点做振动的振幅为________cm。
[思路点拨] 根据简谐运动的周期性和对称性分析解决问题。
[解析] 作出该质点做振动的图象如图所示,则M点的位置可能有两个,即如图所示的M1或M2。
第一种情况:
若是位置M1,由题图可知=3s+1s=4s,T1=16s,根据简谐运动的周期性,质点第三次经过M1时所需时间为一个周期减第二次经过M点的时间,故Δt1=16s-2s=14s。
质点在20s内(即n==个周期)的路程为20cm,故由5A1=20cm,得振幅A1=4cm。
第二种情况:
若是位置M2,由题图可知=3s+1s=4s,T2=s。
根据对称性,质点第三次经过M2时所需时间为一个周期减第二次经过M点的时间,故Δt2=s-2s=s。
质点在20s内(即n==个周期内)的路程为20cm,故由15A2=20cm,得振幅A2=cm。
[答案] 14 4或
简谐运动是一种周而复始的周期性的运动,按其周期性可作如下判断:
(1)若t2-t1=nT,则t1、t2两时刻振动物体在同一位置,运动情况相同。
(2)若t2-t1=nT+T,则t1、t2两时刻,描述运动的物理量(x、F、a、v)均大小相等,方向相反。
(3)若t2-t1=nT+T或t2-t1=nT+T,则当t1时刻物体到达最大位移处时,t2时刻物体到达平衡位置;
当t1时刻物体在平衡位置时,t2时刻到达最大位移处;
若t1时刻物体在其他位置,t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定。
[课堂对点巩固]
1.如图所示,弹簧振子在BC间振动,O为平衡位置,BO=OC=5cm,若振子从B到C的运动时间为1s,则下列说法正确的是( )
A.振子从B经O到C完成一次全振动
B.振动周期是1s,振幅是10cm
C.经过两次全振动,振子通过的路程是20cm
D.从B开始经过3s,振子通过的路程是30cm
选D 振子从B→O→C仅完成了半次全振动,所以周期T=2×
1s=2s,振幅A=BO=5cm,A、B错误;
振子在一次全振动中通过的路程为4A=20cm,所以两次全振动振子通过的路程为40cm,C错误;
3s的时间为1.5T,所以振子通过的路程为30cm,D正确。
2.一弹簧振子做简谐运动,周期为T,下列说法正确的是( )
A.若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同,则Δt一定等于T的整数倍
B.若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反,则Δt一定等于的整数倍
C.若Δt=T,则在t时刻和(t+Δt)时刻振子运动的加速度一定相等
D.若Δt=,则在t时
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- 学年人教版选修34第十一章第2节 简谐运动的描述学案 学年 人教版 选修 34 第十一 简谐运动 描述