北城中学中考数学第一轮复习讲义数据的分析Word格式.docx
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【专题解读】方差反映了一组数据的波动大小,在实际问题中经常利用它来衡量一组数据的稳定性,方差越大,波动也越大,稳定性也就越差.
例1随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度,计算平均数和方差的结果为:
甲=13,乙=13,甲=3.6,乙=15.8,则小麦长势比较整齐的试验田是.
分析方差大的波动大,方差小的波动小,∵甲<乙∴甲块试验田的小麦长势比较整齐,故填甲.
例2图20-8中给出了几个气象测量站多年测量的平均最高温度和最低温度,从图中你能得到哪些信息?
解:
按照四季划分,这三个地方分别表现出四季炎热、冬冷夏热、冬热夏冷的气候特征,第一幅图中气温温差较小,后两幅图中气温温差较大等.
【解题策略】本题是一道开放性试题,从图象中获取信息并利用图标来表达一些问题是常用的一种方法.
例3荆州古城是闻名遐迩的历史文化名城,下表及图20-9是荆州古城某历史景点一周参观人数和门票价格的抽样统计数据.
星期
一
二
三
四
五
六
日
人数
100
120
160
230
240
(1)把上表中一周的参观人数作为一个样本,直接指出这个样本的中位数、众数和平均数,分析表中数据还可得到一些信息,如双休日参观人数远远高于平时的等,请尝试再写出两条相关信息.
(2)若五一黄金周有甲、乙两个旅游团到该景点参观,两团人数之和恰为上述样本数据的中位数,乙团人数不超过50.设两团分别购票共付W元,甲团人数为x人.
①求W关于x的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
②若甲团人数不超过100人,请说明两团合起来购票比分开购票最多可节约多少钱.
分析
(1)根据表中信息写出一些结论.
(2)由于人数不同,门票价就不同,由图20-9知小于等于50人时门票价8元/人,51~100时门票价6元/人,100人以上时门票价4元/人,故对x的取值范围必须进行讨论.
(1)中位数为120人,众数为100人,平均数为150人.
信息很多,下列供参考:
①这一周的游客量每日不少于100人;
②周末游客人数逐渐增多;
③从周五以后每天游客人数都超过平均值;
④周日的游客人数最多,达到240人;
⑤从周一到周四每天游客人数都少于平均值.
(2)①因为样本的中位数为120人,所以甲、乙两团人数之和为120人,其中甲团有x人,乙团有(120-x)人.
∵0<120-x≤50∴甲团超过50人.
当50<x≤100,0<120-x≤50时,
W=6x+8(120-x),∴W=960-2x(70≤x≤100).
当100<x<120,0<120-x≤50时,
W=4x+8(120-x),∴W=960-4x(100<x<120).
综上所述,当70≤x≤100时,W与x的函数关系式为W=960-2x,
当100<x<120时,W与x的函数关系式为W=960-4x.
②依题意:
x≤100,∴W=960-2x(70≤x≤100),
∴当x=70时,W最大=960-2×
70=820(元).
而两团合起来购票应付费4×
120=480(元),
∴两团合起来比两团分开购票节约820-480=340(元).
例4一次科技知识竞赛,两组学生的成绩如下表所示:
分数
50
60
70
80
90
甲组
2
5
10
13
14
6
乙组
4
16
12
已经算得两个组的平均分都是80分,请根据学过的统计知识,进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁次,并说明理由.
分析这是一道不同于常见的计算众数、方差、中位数等题目的开放性问题.要求大家计算这些数据并不难,但在没有任何提示的情况下,要从某些方面去进行分析和判断,可能会令很多人束手无策,由此可见,形成扎实的基本功底、提高数学素质比单纯会计算要重要得多,另外,从这道题也可以看出,解数学题要有一定的结论叙述能力.
甲组成绩的众数为90分,乙组成绩的众数为70分,从成绩的众数看,甲组成绩好些.
甲=[2(50-80)2+5(60-80)2+10(70-80)2+13(80-80)2+14(90-80)2+6(100-80)2]=(2900+5400+10100+130+14100+6400)=172,
乙=(4900+4400+16100+20+12100+12400)=256,
因为甲<乙,所以甲组成绩较好.
甲、乙两组成绩的中位数、平均分都是80分,其中甲组成绩在80分以上(含80分)的有33人,乙组成绩在80分以上(含80分)的有26人,从这一角度看,甲组成绩较好.
甲组成绩高于90分(含90分)的有14+6=20人,乙组成绩高于90分(含90分)的有12+12=24人,因为乙组成绩集中在高分段的人数多,同时乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人,从这一角度看,乙组成绩较好.
【解题策略】要正确解答这道题,首先要抓住问题中的关键词语,全方位地进行必要的计算,而不能习惯性地仅根据样本方差的大小去决定哪一组的优劣,像这样的实际问题需要从实际的角度去分析,如本例的“满分人数”等;
另外要在恰当地评估后,组织好正确的语言做出结论.
例5甲、乙两个小组各10名同学进行英语口语会话练习,每人各练5次,他们每个同学合格的次数分别如下:
甲组:
4,1,2,2,1,3,3,1,2,1;
乙组:
4,3,0,2,1,3,3,0,1,3.
(1)如果以合格3次(含3次)作为及格标准,请说明哪个小组的及格率高?
(2)请比较哪个小组口语会话合格次数比较稳定.
(1)甲、乙两组的及格率分别为30%,50%.
所以乙组的口语会话及格率高.
(2)甲=(4+14+23+23)=2,
乙=(4+43+2+12)=2.
甲=[(4-2)2+(1-2)2+…+(1-2)2]=1,
乙=[(4-2)2+(3-2)2+…+(3-2)2]=1.8.
因为甲<乙,
所以甲组口语会话的合格次数比较稳定.
例6据报道,某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下表所示:
职务
董事长
副董事长
董事
总经理
经理
管理员
职员
1
3
20
工资
5500
5000
3500
3000
2500
2000
1500
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数;
(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元,董事长的工资从5500元提升到30000元,那么新的平均数、中位数、众数又是什么?
(精确到元)
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平?
结合此问题谈一谈你的看法.
分析
(1)
(2)根据定义、公式计算出平均数、中位数、众数.(3)不能用平均数反映这个公司员工的工资水平.
(1)平均数是
≈1500+591=2091(元).
中位数是1500元,众数是1500元.
(2)平均数是
≈1500+1788=3288(元).
(3)在这个问题中,中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平,因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大,这样导致平均数与中位数差额较大,所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平.
例7某水果店一周内甲、乙两种水果每天销售情况统计如下表所示(单位:
千克):
品种
甲
45
44
48
42
57
55
66
乙
47
54
51
53
(1)本周内甲、乙两种水果平均每天销售多少千克?
(2)甲、乙两种水果哪种销售更稳定?
分析要求两种水果哪个销售更稳定,应选用方差来描述,极差、方差和标准差都反映了一组数据的离散程度.
(1)甲=51千克,乙=51千克,
(2)甲=[(x1-甲)2+(x2-甲)2+…+(x7-甲)2]
=[(45-51)2+(44-51)2+…+(66-51)2]=.
乙=[(x1-乙)2+(x2-乙)2+…+(x7-乙)2]
=[48-51)2+(44-51)2+…+(60-51)2]=24.
因为甲>乙,所以乙种水果的销售更稳定些.
例8甲、乙二人参加某体育项目训练,近斯的五次测试成绩得分情况如图20-10所示.
(1)分别求出两人得分的平均数与方差.
(2)根据图示和上面算得的结果,对两人的训练成绩从如下几个方面做出评价:
①从平均数和方差相结合看;
②从平均数和中位数相结合看;
③从平均数和折线图走势看.
分析利用公式求出它们的平均数和方差,并利用方差做出比较,本题的要求是从多个角度分析问题.
(1)甲、乙二人五次测试的成绩分别为:
甲:
10分,13分,12分,14分,16分;
乙:
13分,14分,12分,12分,14分.
甲=(分),
乙=(分),
甲=4,乙=0.8.
(2)①因为平均数相等,甲>乙,所以乙的成绩较稳定.
②甲的中位数是13,乙的中位数为13.
因为中位数相同,平均数也相同,所以从平均数结合中位数看两人成绩相当.
③从折线图看,甲的成绩基本上呈上升状态,所以甲较有潜力.
例9初三
(1)班10名同学某次电脑测试成绩如下表所示(满分:
30分):
成绩/分
22
26
28
30
人数/个
那么,这10名同学这次电脑测试成绩的众数是,中位数是,平均数是,方差是.
分析根据定义和公式求出众数、中位数、平均数及方差.众数是28分,中位数是=27(分),平均数是(分),
答案:
28分27分26分11.2分2
例10甲、乙两名学生进行射击练习,两人在相同条件下各射靶10次,将射击结果作统计分析如下:
命中环数
7
8
9
甲命中环数的次数
乙命中环数的次数
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