高三二轮复习理数 考点一 集合常用逻辑用语教案Word版 含答案Word格式.docx
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T8(框图)
T13(向量)
T2(集合)
T14(命题)
T15(推理)
(Ⅲ卷)
T3(复数、命题)
T12(推理)
T7(推理)
T12(向量)
T16(命题)
分值:
集合必考5分,复数必考5分;
向量必考5分,框图必考5分;
逻辑用语,合情推理,常考5分;
题型:
选择、填空.
题量:
每考点1题.
难度:
易.
考点:
集合的运算(结合不等式),向量的线性运算、模及数量积,复数四则运算及模,框图、逻辑用语、命题及充分必要条件,合情推理、归纳推理、类比推理.
通过对近5年全国高考试题分析,可以预测:
2018年高考以集合运算,
充要条件的判定,复数运算,框图为主;
重视新点,新定义,命题转化,逻辑与推理结合.
考点一 集合、常用逻辑用语
1.设有限集合A,card(A)=n(n∈N*),则
(1)A的子集个数是2n;
(2)A的真子集个数是2n-1;
(3)A的非空子集个数是2n-1;
(4)A的非空真子集个数是2n-2;
(5)card(A∪B)=cardA+cardB-card(A∩B).
2.
(1)(∁RA)∩B=B⇔B⊆∁RA;
(2)A∪B=B⇔A⊆B⇔A∩B=A;
(3)∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB);
(4)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).
3.若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可叙述为:
(1)若A⊆B,则p是q的充分条件;
(2)若A⊇B,则p是q的必要条件;
(3)若A=B,则p是q的充要条件.
类型一 集合的概念及运算
[典例1] (2016·
高考全国卷Ⅰ)设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=( )
A.B.
C.D.
解析:
通解:
(直接法)解x2-4x+3<0,即(x-1)(x-3)<0,得1<x<3,故A={x|1<x<3};
解2x-3>0,得x>,所以B={x|x>}.
如图,用数轴表示两个集合A,B.
由图可得A∩B={x|<x<3},选D.
优解:
(排除法)观察选项可知A,B两项对应集合中含有负数,C,D两项对应集合中的元素均为正数.
当x=-1时,2x-3=2×
(-1)-3=-5<0,故-1∉B,所以-1∉A∩B,故排除A,B两项;
当x=2时,2x-3=2×
2-3=1>0,x2-4x+3=22-4×
2+3=-1<0,所以2∈A,2∈B,所以2∈A∩B,故可排除C项.
综上,选D.
答案:
D
[母题变式]
将本题的B改为B={x|2x-3≥0},则A∩(∁RB),如何选答案?
选C.∁RB={x|x<},
A∩∁RB={x|1<x<}.故选C.
1.集合的交、并、补运算多与解不等式问题相结合,解决此类问题的思路主要有两个:
一是直接法,即先化简后运算,然后利用数轴表示,从而求得集合运算的结果;
二是排除法,对于选择题的考查,可根据选项的差异性选取特殊元素进行验证,排除干扰项从而得到正确选项.
2.
(1)若给定的集合是不等式的解集,用数轴求解.
(2)若给定的集合是点集,用图象法求解.
(3)若给定的集合是抽象集合,常用Venn图求解.
3.
(1)正确理解各个集合的含义,弄清集合元素的属性.
(2)注意“∅”的出现.
[自我挑战]
1.设集合M={x|x2=x},N={x|lgx≤0},则M∪N=( )
A.[0,1]B.(0,1]
C.[0,1)D.(-∞,1]
选A.M={x|x2=x}={0,1},N={x|lgx≤0}={x|0<
x≤1},M∪N=[0,1],故选A.
2.设全集U={x∈N*|x≤4},集合A={1,4},B={2,4},则∁U(A∩B)=( )
A.{1,2,3}B.{1,2,4}
C.{1,3,4}D.{2,3,4}
选A.本题主要考查集合的基本运算.
因为U={1,2,3,4},A∩B={4},所以∁U(A∩B)={1,2,3},故选A.
∵A∩B={4}.∴4∉∁U(A∩B),排除B、C、D只能选A.
类型二 充分、必要条件
[典例2] (2016·
高考四川卷)设p:
实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:
实数x,y满足则p是q的( )
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
(画出可行域,数形结合求解)
如图作出p,q表示的区域,其中⊙M及其内部为p表示的区域,△ABC及其内部(阴影部分)为q表示的区域,故p是q的必要不充分条件.
q:
满足条件的三个边界点分别是A(0,1),B(2,1),C(1,0)都适合p;
而p中的点O(0,0),不适合q,
故p是q的必要不充分条件,选A.
A
1.充要条件的判断先要明确两个条件之间的关系,明确“甲的一个×
×
条件是乙”与“甲是乙的×
条件”两种不同叙述方式的差异性,要将其转化为基本的“甲是乙的×
条件”的形式,然后进行判断;
充要条件判断的实质就是判断两个简单命题的真假,根据条件的不同可以从集合、命题的等价转化角度进行判断.
2.“p⇒q”⇔“﹁p⇐﹁q”;
“q⇒p”⇔“﹁p⇒﹁q”;
“p⇔q”⇔“﹁p⇔﹁q”.
1.下列判断正确的有( )
(1)“x≠1”是“x2-3x+2≠0”的充分不必要条件;
(2)“a>0,b>0”是“+≥2”的充分不必要条件;
(3)“命题p∨q为假”是“命题p∧q为假”的充要条件;
(4)设{an}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“{an}为递增数列”的必要不充分条件.
A.0个B.1个
C.2个D.3个
(1)通解:
选B.设p:
x≠1,q:
x2-3x+2≠0.
当x=2时,满足x≠1,而x2-3x+2=0,所以“若p,则q”是假命题;
由x2-3x+2≠0,解得x≠1,且x≠2,所以“若q,则p”是真命题.
由充要条件的定义可得:
p是q的必要不充分条件.故
(1)错误.
设A={x|x≠1},B={x|x2-3x+2≠0}.
由x2-3x+2≠0,解得x≠1,且x≠2,故B={x|x≠1,且x≠2}.
显然BA,所以“x≠1”是“x2-3x+2≠0”的必要不充分条件.故
(1)错误.
(2)记“a>0,b>0”为p,“+≥2”为q.
由基本不等式可得q的充要条件是“>0”,即“ab>0”.
显然p是“ab>0”的充分不必要条件,
所以p是q的充分不必要条件.故
(2)正确.
(3)由真值表可知,“命题p∨q为假”的充要条件是“p,q都为假”,而“命题p∧q为假”的充要条件是“p,q中至少有一个为假”.
显然“p,q都为假”是“p,q中至少有一个为假”的充分不必要条件,所以“命题p∨q为假”是“命题p∧q为假”的充分不必要条件.故(3)错误.
(4)当q>1且a1<0时,数列{an}不是递增数列;
当0<q<1且a1<0时,数列{an}是递增数列,显然此时q>1不成立.
所以“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件.故(4)错误.
综上,只有
(2)正确,故选B.
2.“x∈”是“函数y=sin为单调递增函数”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
选A.若函数y=sin为单调递增函数,则-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,
即-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.
从而函数y=sin的单调递增区间是(k∈Z).
因此若x∈,则函数y=sin为单调递增函数;
若函数y=sin为单调递增函数x∈.
所以“x∈”是“函数y=sin为单调递增函数”的充分不必要条件.故选A.
当x∈时⇒x+∈⇒y=sin为增函数,
但y=sin为增函数x+∈x∈.
类型三 命题及逻辑联结词
[典例3]
(1)设命题p:
∃n∈N,n2>2n,则﹁p为( )
A.∀n∈N,n2>2nB.∃n∈N,n2≤2n
C.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n
因为“∃x∈M,p(x)”的否定是“∀x∈M,﹁p(x)”,所以命题“∃n∈N,n2>2n”的否定是“∀n∈N,n2≤2n”.故选C.
C
(2)已知命题p:
∃x∈R,2x>3x;
命题q:
∀x∈,tanx>sinx,则下列是真命题的是( )
A.(﹁p)∧qB.(﹁p)∨(﹁q)
C.p∧(﹁q)D.p∨(﹁q)
先判断命题p、q的真假,然后根据选项得出正确结论.
当x=-1时,2-1>3-1,所以p为真命题;
当x∈时,tanx-sinx=>0,所以q为真命题,所以p∨(﹁q)是真命题,其他选项都不正确,故选D.
p为真命题时,p或任何命题都为真,故选D.
1.命题真假的判定方法
(1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别;
(2)四种命题真假的判断:
一个命题和它的逆否命题同真假,而其他两个命题的真假无此规律;
(3)形如p∨q,p∧q,﹁p命题的真假根据p,q的真假与联结词的含义判定.
2.全称命题与特称命题真假的判定
(1)全称命题:
要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立,要判定其为假命题时,只需举出一个反例即可;
(2)特称命题:
要判定一个特称命题为真命题,只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0,使得p(x0)成立即可;
否则,这一特称命题就是假命题.
1.已知命题p:
∃x∈R,log2(3x+1)≤0,则( )
A.p是假命题;
﹁p:
∀x∈R,log2(3x+1)≤0
B.p是假命题;
∀x∈R,log2(3x+1)>0
C.p是真命题;
D.p是真命题;
选B.∵3x>0,∴3x+1>1,则log2(3x+1)>0,∴p是假命题;
∀x∈R,log2(3x+1)>0.故应选B.
2.不等式组的解集记为D,有下面四个命题:
p1:
∀(x,y)∈D,x+2y≥-2;
p2:
∃(x,y)∈D,x+2y≥2;
p3:
∀(x,y)∈D,x+2y≤3;
p4:
∃(x,y)∈D,x+2y≤-1;
其中的真命题是( )
A.p2,p3B.p1,p4
C.p1,p2D.p1,p3
选C.作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分).
由
得交点A(2,-1).
目标函数的斜率k=->
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