竞赛培训专题5指数函数文档格式.docx
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1,且
求m,n
左边=
原式为loga(m+n)=logamn
得m+n=mn即(m-1)(n-1)=1
因为m,nÎ
N,所以从而m=n=2
二、比较大小
例1.试比较与的大小
令121995=a>
0则
¸
所以>
例2.已知函数f(x)=logax(a>
1,xÎ
R+)若x1,x2Î
R+,试比较与的大小
f(x1)+f(x2)=loga(x1x2)
∵x1,x2Î
R+,∴(当且仅当x1=x2时,取“=”号),
当a>
1时,有,∴
即(当且仅当x1=x2时,取“=”号)
例3.已知y1=,y2=,当x为何值时
(1)y1=y2
(2)y1>
y2 (3)y1<
y2
由指数函数y=3x为增函数知
(1)y1=y2的充要条件是:
2x2-3x+1=x2+2x-5解得x1=2,x2=3
(2)y1>
y2的充要条件是:
2x2-3x+1>
x2+2x-5解得x<
2或x>
3
(3)y1<
2x2-3x+1<
x2+2x-5解得2<
x<
三、证明
例1.对于自然数a,b,c(a£
b£
c)和实数x,y,z,w若ax=by=cz=70w
(1)
(2)
求证:
a+b=c
证明:
由
(1)得:
∴
把
(2)代入得:
abc=70=2´
5´
7,a£
c
由于a,b,c均不会等于1,故a=2,b=5,c=7从而a+b=c
例2.已知A=6lgp+lgq,其中p,q为素数,且满足q-p=29,求证:
3<
A<
4
由于p,q为素数,其差q-p=29为奇数,∴p=2,q=31
A=6lg2+lg31=lg(26×
31)=lg1984
1000<
1984<
10000 故3<
例3.设f(x)=logax(a>
1)且(q为锐角),求证:
1<
a<
15
∵q是锐角,∴,从而a>
1
又f(15)==sinq+cosq
=1
故a<
15 综合得:
例4.已知0<
1,x2+y=0,求证:
证:
因为0<
1,所以ax>
0,ay>
0由平均值不等式
故
四、图象和性质
例1.设a、b分别是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根,求a+b及log2a+2b
在直角坐标系内分别作出函数y=2x和y=log2x的图象,再作直线y=x和y=-x+3,由于y=2x和y=log2x互为反函数,故它们的图象关于直线y=x对称,方程log2x+x-3=0的根a就是直线y=-x+3与对数曲线y=log2x的交点A的横坐标,方程2x+x-3=0的根b就是直线y=-x+3与指数曲线y=2x的交点B的横坐标
设y=-x+3与y=x的交点为M,则点M的横坐标为(1.5,1.5),
所以a+b=2xM=3 log2a+2b=2yM=3
例6.设f(x)=min(3+,log2x),其中min(p,q)表示p、q中的较小者,求f(x)的最大值
易知f(x)的定义域为(0,+¥
)
因为y1=3+在(0,+¥
)上是减函数,y2=log2x在(0,+¥
)上是增函数,而当y1=y2,即
3+=log2x时,x=4,所以由y1=3+和y2=log2x的图象可知
故当x=4时,得f(x)的最大值是2
另解:
f(x)£
3+=3-
(1) f(x)=log2x
(2)
(1)´
2+
(2)消去log2x,得3f(x)£
6,f(x)£
2又f(4)=2,故f(x)的最大值为2
例7.求函数的最小值
由1-3x>
0得,x<
0,所以函数的定义域为(-¥
0)
令3x=t,则tÎ
(0,1),于是
故当x=-1时,得y的最小值-2+2log23
五、方程和不等式
例1.解方程
(1)x+log2(2x-31)=5
(2)2lgx×
xlg2-3×
xlg2-21+lgx+4=0
(1)原方程即:
log22x+log2(2x-31)=5
log2[2x(2x-31)]=5 (2x)2-31×
2x=32解得:
2x=32,∴x=5
(2)原方程即:
(2lgx)2-5×
2lgx+4=0解得:
x1=100,x2=1
例2.设a>
0且a¹
1,求证:
方程ax+a-x=2a的根不在区间[-1,1]内
设t=ax,则原方程化为:
t2-2at+1=0
(1)由D=4a2-4³
0得a³
1,即a>
令f(t)=t2-2at+1,f(a)=a2-2a2+1=1-a2<
0
所以f(t)的图象与横轴有的交点的横坐标在之外,故方程t2-2at+1=0在之外有两个实根,原方程有两实根且不在区间[-1,1]内
例3.解方程:
lg2x-[lgx]-2=0(其中[x]表示不大于实数x的最大整数)
由[x]的定义知,[x]£
x,故原方程可变为不等式:
lg2x-lgx-2£
0即-1£
lgx£
2
当-1£
lgx<
0时,[lgx]=-1,于是原方程为lg2x=1
当0£
1时,[lgx]=0,原方程为lg2x=2,均不符合[lgx]=0
当1£
2时,[lgx]=1,原方程为lg2x=3,所以lgx=,
当lgx=2时,x=100
所以原方程的解为x1=
例4.当a为何值时,不等式
有且只有一解
易知:
a>
1,设u=x2+ax+5,原不等式可化为
(1)当0<
1时,原不等式为
(1)
由于当u³
0时,与均为单调增函数,所以它们的乘积
也是单增函数
因为f(4)=log3(2+1)×
log5(4+1)=1
所以
(1)等价于u³
4,即x2+ax+5³
4此不等式有无穷多解
(2)当a>
1时,不等式化为
(2)
由f(4)=1知,
(2)等价于0£
u£
4,即0£
x2+ax+5£
从上式可知,只有当x2+ax+5=4有唯一解即D=a2-4=0,a=2时,不等式0£
4有唯一解x=-1
综上所述,当a=2时原不等式有且只有一个解
例5.已知a>
1,试求使方程有解的k的取值范围
原方程即
即
分别解关于的不等式、方程得:
(k¹
0时)
所以解得k<
-1或0<
k<
又当k=0时,代入原式可推出a=0与已知矛盾,故k的取值范围为(-¥
-1)U(0,1)
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- 竞赛 培训 专题 指数函数