两直线的位置关系Word文档下载推荐.docx
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线线距
两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时,一定有k1=k2⇒l1∥l2.( )
(2)如果两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.( )
(3)已知直线l1:
A1x+B1y+C1=0,l2:
A2x+B2y+C2=0(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数),若直线l1⊥l2,则A1A2+B1B2=0.( )
(4)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为.( )
(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( )
(6)若点A,B关于直线l:
y=kx+b(k≠0)对称,则直线AB的斜率等于-,且线段AB的中点在直线l上.( )
答案:
(1)×
(2)×
(3)√ (4)×
(5)√ (6)√
过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( )
A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0
解析:
选A.由题意知,斜率k=,又直线过点(1,0),所以所求直线方程为y=(x-1),即x-2y-1=0.
(教材习题改编)已知点(a,2)(a>
0)到直线l:
x-y+3=0的距离为1,则a等于( )
A.B.2-
C.-1D.+1
选C.d==1,所以|a+1|=.
又因为a>
0,所以a=-1.
(教材习题改编)已知点A(5,-1),B(m,m),C(2,3),若△ABC为直角三角形且AC边最长,则整数m的值为( )
A.4B.3
C.2D.1
选D.由题意得B=90°
,
即AB⊥BC,kAB·
kBC=-1,所以·
=-1.
解得m=1或m=,故整数m的值为1,故选D.
已知直线l1与l2:
x+y-1=0平行,且l1与l2的距离是,则直线l1的方程为________.
因为l1与l2:
x+y-1=0平行,所以可设l1的方程为x+y+b=0(b≠-1).
又因为l1与l2的距离是,所以=,
解得b=1或b=-3,
即l1的方程为x+y+1=0或x+y-3=0.
x+y+1=0或x+y-3=0
(教材习题改编)若直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0与(5a-2)x+(a+4)y-7=0垂直,则a=________.
由题意知(3a+2)(5a-2)+(1-4a)(a+4)=0,
整理得a2-a=0,即a=0或1.
0或1
两条直线的位置关系[学生用书P147]
[典例引领]
(1)已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为l1,直线2x+y-1=0为l2,直线x+ny+1=0为l3.若l1∥l2,l2⊥l3,则实数m+n的值为( )
A.-10 B.-2
C.0D.8
(2)已知两直线l1:
mx+8y+n=0和l2:
2x+my-1=0,试确定m,n的值,使
①l1与l2相交于点P(m,-1);
②l1∥l2;
③l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为-1.
【解】
(1)选A.因为l1∥l2,所以=-2(m≠-2),
解得m=-8(经检验,l1与l2不重合).
因为l2⊥l3,所以2×
1+1×
n=0,即n=-2.
所以m+n=-10.
(2)①由题意得
解得m=1,n=7.
即m=1,n=7时,
l1与l2相交于点P(m,-1).
②因为l1∥l2,
所以
解得或
即m=4,n≠-2或m=-4,n≠2时,l1∥l2.
③当且仅当2m+8m=0,
即m=0时,l1⊥l2.
又-=-1,所以n=8.
即m=0,n=8时,l1⊥l2,
且l1在y轴上的截距为-1.
(1)已知两直线的斜率存在,判断两直线平行垂直的方法
①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等;
②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于-1.
[注意] 当直线斜率不确定时,要注意斜率不存在的情况.
(2)由一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程
l1:
A1x+B1y+C1=0(A+B≠0)
l2:
A2x+B2y+C2=0(A+B≠0)
l1与l2垂直
的充要条件
A1A2+B1B2=0
l1与l2平行
的充分条件
=≠(A2B2C2≠0)
l1与l2相交
≠(A2B2≠0)
l1与l2重合
==(A2B2C2≠0)
[注意] 在判断两直线位置关系时,比例式与,的关系容易记住,在解答选择、填空题时,建议多用比例式来解答.
[通关练习]
1.若直线2x-y=-10,y=x+1,y=ax-2交于一点,则a的值为________.
解方程组可得
所以直线2x-y=-10与y=x+1的交点坐标为(-9,-8),
代入y=ax-2,得-8=a·
(-9)-2,
所以a=.
2.经过两直线l1:
x-2y+4=0和l2:
x+y-2=0的交点P,且与直线l3:
3x-4y+5=0垂直的直线l的方程为________.
法一:
由方程组得
即P(0,2).
因为l⊥l3,所以直线l的斜率k=-,
所以直线l的方程为y-2=-x,
即4x+3y-6=0.
法二:
因为直线l过直线l1和l2的交点,
所以可设直线l的方程为x-2y+4+λ(x+y-2)=0,
即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0.
因为l与l3垂直,
所以3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0,
所以λ=11,
所以直线l的方程为12x+9y-18=0,
4x+3y-6=0
3.已知两直线l1:
ax-by+4=0和l2:
(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.
(1)l1⊥l2,且直线l1过点(-3,-1);
(2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.
解:
(1)因为l1⊥l2,
所以a(a-1)-b=0.
又因为直线l1过点(-3,-1),
所以-3a+b+4=0.
故a=2,b=2.
(2)因为直线l2的斜率存在,l1∥l2,
所以直线l1的斜率存在.
所以=1-a.①
又因为坐标原点到这两条直线的距离相等,
所以l1,l2在y轴上的截距互为相反数,即=b.②
联立①②可得a=2,b=-2或a=,b=2.
距离问题[学生用书P147]
(1)若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( )
A. B.
C.D.
(2)已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l:
4x+3y-2=0,若在坐标平面内存在一点P,使|PA|=|PB|,且点P到直线l的距离为2,则P点坐标为________.
【解析】
(1)因为=≠,所以两直线平行,
由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即=,
所以|PQ|的最小值为.
(2)设点P的坐标为(a,b).
因为A(4,-3),B(2,-1),
所以线段AB的中点M的坐标为(3,-2).
而AB的斜率kAB==-1,
所以线段AB的垂直平分线方程为y+2=x-3,
即x-y-5=0.
因为点P(a,b)在直线x-y-5=0上,
所以a-b-5=0.①
又点P(a,b)到直线l:
4x+3y-2=0的距离为2,
所以=2,
即4a+3b-2=±
10,②
由①②联立可得或
所以所求点P的坐标为(1,-4)或.
【答案】
(1)C
(2)(1,-4)或
处理距离问题的2大策略
(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求.
(2)动点到两定点距离相等,一般不直接利用两点间距离公式处理,而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上,从而使计算简便.
[注意] 利用距离公式应注意:
①点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;
②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数化为相等.
1.已知P是直线2x-3y+6=0上一点,O为坐标原点,且点A的坐标为(-1,1),若|PO|=|PA|,则P点的坐标为________.
设P(a,b),则
解得a=3,b=4.所以P点的坐标为(3,4).
线段OA的中垂线方程为x-y+1=0,
则由解得则P点的坐标为(3,4).
(3,4)
2.已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围为________.
由题意得,点P到直线的距离为
=.
又≤3,即|15-3a|≤15,
解得0≤a≤10,所以a的取值范围是[0,10].
[0,10]
对称问题(高频考点)
[学生用书P148]
对称问题是高考常考内容之一,也是考查学生转化能力的一种常见题型.主要命题角度有:
(1)点关于点对称;
(2)点关于线对称;
(3)线关于线对称.
角度一 点关于点对称
过点P(0,1)作直线l使它被直线l1:
2x+y-8=0和l2:
x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为________________.
【解析】 设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,把B点坐标代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,
解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,
所以由两点式得直线l的方程为x+4y-4=0.
【答案】 x+4y-4=0
角度二 点关于线对称
如图所示,已知两点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是( )
A.2 B.6
C.3D.2
【解析】 易得AB所在的直线方程为x+y=4,由于点P关于直线AB对称的点为A1(4,2),点P关于y轴对称的点为A2(-2,0),则光线所经过的路程即A1(4,2)与A2(-2,0)两间的距离.于是|A1A2|==2.
【答案】 A
角度三 线关于线对称
直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是( )
A.x-2y+3=0B.x-2y-3=0
C.x+2y+1=0D.x+2y-1=0
【解析】 设所求直线上任意一点P(x,y),则P关于x-y+2=0的对称点为P′(x0,y0),
由得
由点P′(x0,y0)在直线2x-y+3=0上,
所以2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+
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- 直线 位置 关系