版高考数学复习高分计划一轮77Word文档格式.docx
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∴二面角A-BD-C的大小为或.故选C.
3.(2017·
太原期中)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,AA1=2AB,E为AA1的中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )
C.D.
解析 如图,以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系.
设AA1=2AB=2,则B(1,1,0),E(1,0,1),C(0,1,0),D1(0,0,2).
∴=(0,-1,1),=(0,-1,2).
∴cos〈,〉==.故选C.
4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则( )
A.EF至多与A1D,AC之一垂直
B.EF⊥A1D,EF⊥AC
C.EF与BD1相交
D.EF与BD1异面
答案 B
解析 以D点为坐标原点,
以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.设正方体棱长为1,
则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F,B(1,1,0),D1(0,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=,=(-1,-1,1),=-,·
=·
=0,从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.故选B.
5.(2018·
河南模拟)如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为3,底面边长A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°
,D点在棱AA1上且AD=2DA1,P点在棱C1C上,则·
的最小值为( )
A.B.-
C.D.-
解析 建立如图所示的直角坐标系,
则D(1,0,2),B1(0,1,3),
设P(0,0,z)(0≤z≤3),
则=(1,0,2-z),=(0,1,3-z),
∴·
=0+0+(2-z)(3-z)=2-,
故当z=时,·
取得最小值为-.故选B.
6.(2018·
沧州模拟)如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,棱长为1,E,F分别是BC,CD上的点,且BE=CF=a(0<
a<
1),则D′E与B′F的位置关系是( )
A.平行B.垂直
C.相交D.与a值有关
解析 建立如图所示空间直角坐标系.
则D′(0,0,1),E(1-a,1,0),B′(1,1,1),F(0,1-a,0),
∴=(1-a,1,-1),=(-1,-a,-1).
=(1-a)×
(-1)+1×
(-a)+(-1)×
(-1)=a-1-a+1=0.
∴⊥,即D′E⊥B′F.故选B.
7.(2017·
聊城期中)在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°
,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为( )
解析 以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D,0,0,E,,0,F,∴=(0,0,-2),=,=.
设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),
则由得
取z=1,则n=(2,0,1),
设PA与平面DEF所成的角为θ,
则sinθ==,∴PA与平面DEF所成角的正弦值为.故选C.
8.(2018·
江西红色七校模拟)已知二面角α-l-β等于120°
,A,B是棱l上两点,AC,BD分别在半平面α,β内,AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=BD=1,则CD的长等于( )
C.2D.
解析 解法一:
依题意可知二面角α-l-β的大小等于与所成的角,因为=++,所以2=2+2+2+2·
+2·
,因为AC⊥AB,BD⊥AB,AB=AC=BD=1,所以2=1+1+1+2·
=3+2||||·
cos〈,〉=3+2cos〈,〉,
因为〈,〉=120°
,所以〈,〉=60°
,
因此2=3+2×
=4,所以||=2,故选C.
解法二:
在β内作AE綊BD.连接CE、DE,易知∠CAE=120°
,CE⊥DE,
∴CE2=AC2+AE2-2×
AC×
AEcos120°
=3.
在Rt△CED中,CD2=CE2+ED2=4,∴CD=2.
故选C.
9.(2017·
南阳期中)若正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D是A1C1的中点,则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为( )
A.B.C.D.
解析
如图,取AC的中点为坐标原点,建立空间直角坐标系.
设各棱长为2,
则有A(0,-1,0),D(0,0,2),C(0,1,0),B1(,0,2).
所以C=(0,-1,2),=(,-1,2),A=(0,1,2).
设n=(x,y,z)为平面B1CD的法向量,
则有⇒⇒n=(0,2,1).
∴cos〈,n〉==,即直线AD与平面B1DC所成角的正弦值.故选B.
10.(2018·
福建龙岩模拟)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,点E,F分别是线段AB,C1D1上的动点,点P是上底面A1B1C1D1内一动点,且满足点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离,则PE的最小值是( )
A.5B.4
C.4D.2
答案 D
解析 以D为原点,直线DA为x轴,直线DC为y轴,直线DD1为z轴,建立空间直角坐标系,设AE=a,D1F=b,0≤a≤4,0≤b≤4,P(x,y,4),0≤x≤4,0≤y≤4,则F(0,b,4),E(4,a,0),=(-x,b-y,0),∵点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离,∴当E,F分别是AB,C1D1的中点,P为正方形A1B1C1D1的中心时,PE取最小值,此时P(2,2,4),E(4,2,0),
∴|PE|min==2.故选D.
二、填空题
11.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F分别是CC1,AD的中点,则异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于________.
答案
解析 以D为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
∴F(1,0,0),D1(0,0,2),O(1,1,0),E(0,2,1).
∴=(-1,0,2),
=(-1,1,1).
∴cos〈,〉==.
12.(2018·
曲阜模拟)如图,在正方形ABCD中,EF∥AB,若沿EF将正方形折成一个二面角后,AE∶ED∶AD=1∶1∶,则AF与CE所成角的余弦值为________.
解析 ∵AE∶ED∶AD=1∶1∶,∴AE⊥ED,即AE,DE,EF两两垂直,所以建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=EF=CD=2,则E(0,0,0),A(1,0,0),F(0,2,0),C(0,2,1),
∴=(-1,2,0),=(0,2,1),
∴cos〈,〉===,
∴AF与CE所成角的余弦值为.
13.(2017·
青海质检)等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,二面角C-AB-D的余弦值为,M,N分别是AC,BC的中点,则EM,AN所成角的余弦值等于________.
解析 过C点作CO⊥平面ABDE,垂足为O,取AB中点F,连接CF,OF,则∠CFO为二面角C-AB-D的平面角,
设AB=1,则CF=,
OF=CF·
cos∠CFO=,OC=,
则O为正方形ABDE的中心,
如图所示建立直角坐标系Oxyz,
则E,M,A,
N,=,
=,
cos〈,〉==.
14.(2018·
临沂期末)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为正三角形,底面ABCD为正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,M为底面ABCD内的一个动点,且满足MP=MC,则点M在正方形ABCD内的轨迹为________.(填序号)
答案 ①
解析 以D为原点,DA,DC所在直线分别为x轴,y轴建立空间直角坐标系如图.
设M(x,y,0),设正方形边长为a,
则P,C(0,a,0),
则MC=,
MP=.
由MP=MC,得x=2y,所以点M在正方形ABCD内的轨迹为直线y=x的一部分.
B级
三、解答题
15.(2018·
广东五校诊断)如图,菱形ABCD中,∠ABC=60°
,AC与BD相交于点O,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AB=AE=2.
(1)求证:
BD⊥平面ACFE;
(2)当直线FO与平面BED所成的角为45°
时,求异面直线OF与BE所成的角的余弦值大小.
解
(1)证明:
∵四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC.
∵AE⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
∴BD⊥AE.
∵AC∩AE=A,∴BD⊥平面ACFE.
(2)以O为原点,,的方向为x,y轴正方向,过O且平行于CF的直线为z轴(向上为正方向),建立空间直角坐标系,则
B(0,,0),D(0,-,0),E(1,0,2),F(-1,0,a)(a>
0),=(-1,0,a).
设平面EBD的法向量为n=(x,y,z),
则有即
令z=1,则n=(-2,0,1),
由题意得sin45°
=|cos〈,n〉|=
==,解得a=3或-.
由a>
0,得a=3,
=(-1,0,3),=(1,-,2),
cos〈,〉==,
故异面直线OF与BE所成的角的余弦值为.
16.(2014·
全国卷Ⅱ)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(1)证明:
PB∥平面AEC;
(2)设二面角D-AE-C为60°
,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积.
连接BD交AC于点O,连接EO.
因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.
又E为PD的中点,所以EO∥PB.
又EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC.
(2)因为PA⊥平面ABCD,ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.
如图,以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长度,建立空间直角坐标系Axyz,则D(0,,0),E,=.
设B(m,0,0)(m>
0),则C(m,,0),=(m,,0).
设n1=(x,y,z)为平面ACE的法向量,
则即
可取n1=.
又n2=(1,0,0)为平面DAE的法向量,
由题设得|cos〈n1,n2〉|=,即=,
解得m=.
因为E为PD的中点,所以三棱锥E-ACD的高为.
三棱锥E-ACD的体积V=×
×
=.
17.(2017·
河北衡水中学调研)如图1所示,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=1,AD=2,E是线段AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置,如图2所示.
CD⊥平面A1OC;
(2)若平面A1BE⊥平面BCDE,求
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