线性代数论文矩阵在自己专业中的应用及举例文档格式.docx

线性代数论文矩阵在自己专业中的应用及举例文档格式.docx

《线性代数论文矩阵在自己专业中的应用及举例文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数论文矩阵在自己专业中的应用及举例文档格式.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

几何变换、坐标变换和观察变换等。

这些变换有着不同的作用，却又紧密联系在一起。

第二部分研究问题及成果

1.矩阵的概念

定义：

由个数排列成的m行n列的矩阵数表

称为一个矩阵，其中an表示位于数表中第i行第j列的数，i=1,2,3，…n，又称为矩阵的元素。

A,B元素都是实数的矩阵称为实矩阵。

元素属于复数的矩阵称为复矩阵。

下面介绍几种常用的特殊矩阵。

（1）行距阵和列矩阵

仅有一行的矩阵称为行距阵（也称为行向量），如

A=（a11a12....a1n）,

也记为

a=（a11,a12,.....a1n）.

仅有一列的矩阵称为列矩阵（也称为列向量），如

a=。

（2）零矩阵

A=

记为o或者0.

（3）方阵。

行数与列数相等的矩阵称为方阵.例如：

A=

为矩阵，称为n阶方阵或者n阶矩阵，简记为A=（an）n，过元素a11，a22，a33,a44,.....ann,的直线为主对角线，主对角线上的元素为主对角元。

按方阵的元素排列所构造的行列式称为方阵的行列式。

（4）对角矩阵。

主对角意外的元素全部为零的方阵称为对焦矩阵，常记为：

A=

（5）单位矩阵。

主对角线上的元素全部为1的对角矩阵称为单位矩阵，简记为E或者I：

（6）数量矩阵。

主对角线上全相等的对角矩阵。

例如：

（其中c为常数）

为一阶数量矩阵。

（7）三角矩阵。

主对角线上方或下方的元素全部为零的方阵称为上（下）三角矩阵。

为n阶上三角矩阵。

（8）对称矩阵与反对称矩阵，在方阵A=（aij）n，中，如果aij=aji（ij=1,2,3.。

。

），则称A为对称矩阵，如果A还为实矩阵，那么A为实对称矩阵。

如果aij=-aji，则称A为反对称矩阵。

定义：

两个同类型的矩阵，如果对应的元素相等，则称矩阵A等于矩阵B。

2.矩阵的运算

2.1矩阵的加法

A+B=B|+A（加法交换律）

（A+B）+C=A+（B+C）（加法结合律）

A+0=0+A=A

A+（-A）=0.

2.2数乘矩阵

定义1：

数乘一矩阵等于这个数乘以矩阵中的每一个元素。

定义2：

设AB为同类型的矩阵，k，l为常数，则

1A=A

k（lA）=（kl）A

k（A+B）=KA+KB

（K+L）A=KA+LA.

2.3矩阵的乘法

（1）矩阵的乘法不满足交换律。

（2）两个非零矩阵的乘积可能为零矩阵。

（3）矩阵的乘法不满足消去律。

命题：

（1）设A为矩阵，则

（2）设A为矩阵，则

其中E为单位阵

（3）设A为m*p矩阵，B为p*q矩阵，k为数，则

A（BC）=（AB）C（kA）B=A（kB）=k（AB）

（4）J矩阵满足数乘的分配律，矩阵乘积的行列式等于矩阵对应行列式的乘积。

2.4矩阵的转置

定义2.7称矩阵

的转置为

设A,B,C,,是矩阵，且让它们相应的行数和列数使相应的运算有意义，k是数，则

（1）A的转置的装置等于A

（2）B与C的和的转置等于它们转置的和

（3）

（4）

（5）若A为n阶矩阵，则

（6）A为对称矩阵的充要条件是,A为反对称矩阵的充要条件为

2.5可逆矩阵

定义设A为n阶矩阵，若存在n阶矩阵B，使得

则称矩阵A可逆,B是A的可逆矩阵，记作

定理如果n阶矩阵A可逆，则它的逆矩阵唯一。

定义设为n阶矩阵，为中的元素的代数余子式，ij=1.2.3.......n，则称矩阵

为A的伴随矩阵，记为.

由伴随矩阵的定义，不难验证

定理n阶矩阵A可逆的充要条件为，如果A可逆，则

.

若n阶矩阵A的行列式不为零，即,即称A为非奇异矩阵，否则称A为奇异矩阵，由上述公式可以求出A的伴随矩阵。

推论对n阶矩阵A，若有n阶矩阵B使得

或者,

则称矩阵A可逆，且.

克拉默法则设

，，，

如果矩阵A可逆，则线性方程组Ax=存在唯一解。

2.6可逆矩阵的性质

命题设A，B,为n阶可逆矩阵，k为非零常数，则也是可逆矩阵，且

（1）;

（2）

（5）

（6）m为正整数。

3.矩阵的初等变换与矩阵的秩

3.1矩阵的初等变换

定义对矩阵的行（列）实行下列三种操作（或变换）之一，称为对矩阵实行了一次初等行（列）变换：

（1）交换矩阵的两行（列）；

（2）矩阵的某一行（列）的元素乘以一个不等于零的数；

（3）将矩阵某一行（列）的元素加上另一行（列）对应元素相同的倍数。

定义满足一下条件的矩阵称为行阶梯型矩阵，简称为阶梯型矩阵；

（1）非零行（元素不全为零的行）的标号小于零行（元素为零的行）的标号；

（2）设矩阵有r个非零行，第i个非零行的第一个非零元素所在的列号为，则

定理任何矩阵都可以经过单纯的初等行变换化为阶梯形矩阵。

定义一个阶梯型矩阵如果满足：

（1）每一个非零行的第一个元素都为1；

（2）每一个非零行的第一个元素所在的列的其他元素都为零，

则称它为简化的阶梯型矩阵（也称为规范的阶梯型矩阵），

定义如果一个非零矩阵的左上角为单位矩阵，其他位置的元素都为零，则称这个矩阵为标准型矩阵。

3.2矩阵的秩

定义在矩阵中任取k行和k列位于这k行和k列的交叉点的个元素，按照它们在矩阵A中的相对位置组成的k阶行列式称为矩阵A的一个k阶子式。

定义若矩阵中有一个r阶子式不为零，而A中所有的r+1阶子式（如果存在的话）都为零，则称r为矩阵A的秩，记为或规定零矩阵的秩为零。

命题

（1）一个矩阵的秩是唯一的。

（2）设则的充要条件是A=0.

（3）若矩阵A中有一个r阶子式不为零，则若矩阵A中所有的r阶子式全为零，则

（4）在矩阵A中，任选s行t列，位于这s行t列交叉上的元素按它们在A中的相对位置所构成的矩阵称为A的一个子矩阵。

若是A的一个子矩阵，则

（6）阶梯型矩阵的秩等于它非零行的个数。

设如果则称A为行（列）满秩矩阵，简称满秩矩阵。

定理初等变换不改变矩阵的秩。

3.3初等矩阵的概念与性质

定义单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵都是初等矩阵。

定理用一个m阶初等矩阵左乘一个阶矩阵A，相当于对矩阵A进行相应的初等行变换；

用一个n阶初等矩阵右乘一个阶矩阵进行初等列变换。

推论初等矩阵都是可逆矩阵。

定理对于任意的阶矩阵A，存在m阶初等矩阵使得为阶梯型矩阵（或简化的阶梯型矩阵）；

存在n阶初等矩阵使得

其中

推论1对任何阶矩阵A，存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q，使得

推论2对任何n阶矩阵A，A可逆的充要条件为A的标准型矩阵为n阶单位矩阵。

推论3矩阵A可逆的充要条件为其中是初等矩阵。

推论4任何一个可逆矩阵A经过单纯的初等行变换都可以化为单位矩阵。

推论5设矩阵A为矩阵，P为m阶可逆矩阵，Q为n阶可逆矩阵，则

矩阵的等价

定义如果矩阵A经过有限次初等变换变为矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价（或相抵）。

4.二维变换及观察

图形变换是计算机图形学领域的重要内容之一。

为方便用户在图形交互式处理过程中对图形进行各种观察，需要对图形实施一系列变换。

计算机图形学中图形变换主要有几何变换、坐标变换和观察变换。

而这些变换正是通过矩阵的变换来实现的，因此，线性代数中的矩阵方面与计算机图形学联系还是很紧密的，不可分离的。

4.1几何变换

一般来说，图形的几何变换是指图形的几何信息通过平移、比例、旋转等变换后产生新的图形。

也就是图形在方向、尺寸和形状方面的变换，需要改变图形对象的坐标描述。

应对应几何变换可以使静止的图形按照一定的几何规则运动，从而更加有利于形体的设计。

复杂图形的几何变换可以通过变换矩阵对构成图形的基本元素（点，线和面）的作用而实现，其中点的矩阵变换是这些变换的基础。

对于线框图的变换，以点的变换为基础，将图形学的一系列点作几何变换后，根据原因的拓扑关系连接新的顶点即可产生新的图形。

对于参数方程的描述的图形，可以对参数方程作几何变换，实现图形的变换。

4.2齐次坐标

齐次坐标技术是从几何学发展起来的。

齐次坐标表示在投影几何中是一种证明定理的工具。

有时在n维空间中比较难解决的问题，转换到n+1维空间比较容易解决。

通过齐次坐标技术应用到计算机图形学中，使图形变换转化为表示图形的点集矩阵与某一变换矩阵相乘这一单一问题，因而可以借助计算机的高速计算功能，很快得到变换后的图形，从而为高速动态的计算机图形提供了可能性。

所谓齐次坐标表示就是n+1维向量表示n维向量。

二维平面上的点P（x，y）的齐次坐标表示。

这里，h是任一不为零的比例系数。

类似地三维空间中坐标点的齐次坐标表示为。

推而广之，n维空间中的坐标点的齐次坐标表示为，其中。

这里要注意，n维空间用非齐次坐标表示一个点向量具有n个坐标分量且是唯一的。

若用齐次坐标表示该向量则有n+1个坐标分量且不唯一。

例如，二维点（x，y）的齐次坐标表示为.（10,20,4），（6,10,2）和（3,5,1）均为（3,5）这一二维点的齐次坐标表示。

为了简化计算，这里采用规范化齐次坐标表示来保证唯一性。

规范化齐次坐标表示就是的齐次坐标表示。

从其次坐标转换到规范化齐次坐标的方法如下：

一个n维向量的齐次坐标表示为，将其转化为规范化齐次坐标为，即，如此就完成了它到规范化齐次坐标表示的转换。

规范化齐次坐标表示提供了用矩阵运算将二维，三维甚至更高维空间中的一点集从一个坐标系转化另一个坐标系的方法。

4.3二维变换矩阵

假设点为xoy平面上二维图形变换的一点，变换后该点变为。

在引入规范化齐次坐标表示后，点p可以用一个矩阵表示，这个矩阵可以是行向量矩阵，也可以是列向量矩阵，即

或

这里用行向量矩阵形式。

这样，二维空间中的可以表示成点的齐次坐标矩阵与三阶矩阵相乘，即

式中，为二维齐次坐标变换矩阵，简称二维变换矩阵。

从功能上可以将分为4个子矩阵。

其中，是对图形进行比例、旋转、对称、错切等变换，是对图形进行平移变换；

是对图形进行投影变