江苏省高考数学二轮复习课时达标训练二十 函数与导数的综合问题Word下载.docx
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2.已知函数f(x)=(1+b)x+-alnx(a>0)在x=2a处取得极值.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设函数g(x)=x2-2cx+4-ln2,当a=1时,若对任意的x1,x2∈[1,e]都有f(x1)≥g(x2),求实数c的取值范围.
(1)由f(x)=(1+b)x+-alnx,a>0,x>0,
得f′(x)=1+b--.
又f(x)在x=2a处取得极值,
所以f′(2a)=1+b--=b=0,
所以f(x)=x+-alnx,
f′(x)=1--==,
又a>0,且函数f(x)的定义域为(0,+∞),
所以由f′(x)>0,得x>2a;
由f′(x)<0,得0<x<2a,
即函数f(x)的单调递增区间为(2a,+∞),单调递减区间为(0,2a).
(2)当a=1时,f(x)=x+-lnx,x∈(0,+∞),
由
(1)知x∈[1,e]时,f(x)在[1,2]上单调递减,在(2,e]上单调递增,所以f(x)min=f
(2)=3-ln2.
对任意的x1,x2∈[1,e]都有f(x1)≥g(x2),
即f(x)min≥g(x),x∈[1,e]恒成立.
即3-ln2≥x2-2cx+4-ln2,x∈[1,e]恒成立,
即2c≥x+,x∈[1,e]恒成立,
令h(x)=x+,则h′(x)=1-≥0,x∈[1,e],
即h(x)=x+在[1,e]上单调递增,
故h(x)max=h(e)=e+,所以c≥.
故实数c的取值范围为.
3.(2018·
南京、盐城一模)设函数f(x)=lnx,g(x)=ax+-3(a∈R).
(1)当a=2时,解关于x的方程g(ex)=0(其中e为自然对数的底数);
(2)求函数φ(x)=f(x)+g(x)的单调增区间;
(3)当a=1时,记h(x)=f(x)·
g(x),是否存在整数λ,使得关于x的不等式2λ≥h(x)有解?
若存在,请求出λ的最小值;
若不存在,请说明理由.
(参考数据:
ln2≈0.6931,ln3≈1.0986)
(1)当a=2时,方程g(ex)=0,即为2ex+-3=0,去分母,得2(ex)2-3ex+1=0,解得ex=1或ex=,
故所求方程的根为x=0或x=-ln2.
(2)因为φ(x)=f(x)+g(x)=lnx+ax+-3(x>
0),
所以φ′(x)=+a-=
=(x>
①当a=0时,由φ′(x)>
0,解得x>
0;
②当a>
1时,由φ′(x)>
;
③当0<
a<
④当a=1时,由φ′(x)>
⑤当a<
0时,由φ′(x)>
0,解得0<
x<
.
综上所述,当a<
0时,φ(x)的单调增区间为;
当0≤a≤1时,φ(x)的单调增区间为;
当a>
1时,φ(x)的单调增区间为.
(3)存在满足题意的λ.
当a=1时,g(x)=x-3,
所以h(x)=(x-3)lnx,
所以h′(x)=lnx+1-在(0,+∞)上单调递增.
因为h′=ln+1-2<
0,
h′
(2)=ln2+1->
所以存在唯一x0∈,使得h′(x0)=0,
即lnx0+1-=0,
当x∈(0,x0)时,h′(x)<
当x∈(x0,+∞)时,h′(x)>
所以h(x)min=h(x0)=(x0-3)lnx0=(x0-3)·
=-=6-,
记函数r(x)=6-,由r′(x)>
0在上恒成立可得r(x)在上单调递增,
所以r<
h(x0)<
r
(2),
即h(x0)∈,
所以2λ≥-,且λ为整数,得λ≥0,
所以存在整数λ满足题意,且λ的最小值为0.
4.(2018·
南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)设函数f(x)=x-asinx(a>
0).
(1)若函数y=f(x)是R上的单调增函数,求实数a的取值范围;
(2)设a=,g(x)=f(x)+blnx+1(b∈R,b≠0),g′(x)是g(x)的导函数.
①若对任意的x>
0,g′(x)>
0,求证:
存在x0,使g(x0)<
②若g(x1)=g(x2)(x1≠x2),求证:
x1x2<
4b2.
(1)由题意,得f′(x)=1-acosx≥0对x∈R恒成立,
因为a>
0,所以≥cosx对x∈R恒成立,
因为(cosx)max=1,所以≥1,从而0<
a≤1.
所以实数a的取值范围是(0,1].
(2)证明:
①g(x)=x-sinx+blnx+1,
所以g′(x)=1-cosx+.
若b<
0,则存在->
0,使g′=-1-cos<
0,不合题意,所以b>
0.
取x0=e-,则0<
x0<
1.
此时g(x0)=x0-sinx0+blnx0+1<
1++blne-+1=-<
0.所以存在x0>
0,使g(x0)<
②依题意,不妨设0<
x1<
x2,令=t,则t>
由
(1)知函数y=x-sinx单调递增,所以x2-sinx2>
x1-sinx1.从而x2-x1>
sinx2-sinx1.
因为g(x1)=g(x2),所以x1-sinx1+blnx1+1=x2-sinx2+blnx2+1,
所以-b(lnx2-lnx1)=x2-x1-(sinx2-sinx1)>
(x2-x1).
所以-2b>
>
下面证明>
,即证明>
,只要证明lnt-<
0即可.(*)
设h(t)=lnt-(t>
1),所以h′(t)=<
0在(1,+∞)上恒成立.
所以h(t)在(1,+∞)上单调递减,故h(t)<
h
(1)=0,从而(*)得证.
,即x1x2<
B组——大题增分练
1.函数f(x)=lnx+x2+ax(a∈R),g(x)=ex+x2.
(1)讨论f(x)的极值点的个数;
(2)若对于任意x∈(0,+∞),总有f(x)≤g(x)成立,求实数a的取值范围.
(1)由题意得f′(x)=+x+a=(x>
0),令f′(x)=0,即x2+ax+1=0,Δ=a2-4.
①当Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2时,x2+ax+1≥0对x>
0恒成立,即f′(x)=≥0对x>
0恒成立,此时f(x)没有极值点.
②当Δ=a2-4>
0,即a<
-2或a>
2时,
若a<
-2,设方程x2+ax+1=0的两个不同实根为x1,x2,不妨设x1<
x2,则x1+x2=-a>
0,x1x2=1>
0,故x2>
x1>
∴当0<
x1或x>
x2时,f′(x)>
当x1<
x2时f′(x)<
故x1,x2是函数f(x)的两个极值点.
若a>
2,设方程x2+ax+1=0的两个不同实根为x3,x4,
则x3+x4=-a<
0,x3x4=1>
0,故x3<
0,x4<
∴当x>
0时,f′(x)>
0,故函数f(x)没有极值点.
综上,当a<
-2时,函数f(x)有两个极值点;
当a≥-2时,函数f(x)没有极值点.
(2)f(x)≤g(x)⇔ex-lnx+x2≥ax,
因为x>
0,所以a≤对于∀x>
0恒成立,
设φ(x)=(x>
则φ′(x)=
=,
∵x>
0,∴当x∈(0,1)时,φ′(x)<
0,φ(x)单调递减,
当x∈(1,+∞)时,φ′(x)>
0,φ(x)单调递增,
∴φ(x)≥φ
(1)=e+1,∴a≤e+1,即实数a的取值范围是(-∞,e+1].
2.(2018·
苏州期末)已知函数f(x)=其中常数a∈R.
(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若方程f(-x)+f(x)=ex-3在区间(0,+∞)上有实数解,求实数a的取值范围;
(3)若存在实数m,n∈[0,2],且|m-n|≥1,使得f(m)=f(n),求证:
1≤≤e.
(1)当a=2时,f(x)=
①当x<
0时,f′(x)=-3x2+2x<
0恒成立,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减;
②当x≥0时,f′(x)=ex-2,可得f(x)在[0,ln2]上单调递减,在[ln2,+∞)上单调递增.
因为f(0)=1>
0,所以f(x)的单调递减区间是(-∞,0)和[0,ln2],单调递增区间是[ln2,+∞).
(2)当x>
0时,f(x)=ex-ax,
此时-x<
0,f(-x)=-(-x)3+(-x)2=x3+x2.
所以f(x)+f(-x)=ex-ax+x3+x2=ex-3在区间(0,+∞)上有实数解,可化为a=x2+x+在区间(0,+∞)上有实数解.
记g(x)=x2+x+,x∈(0,+∞),
则g′(x)=2x+1-=.
可得g(x)在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,且g
(1)=5,当x→+∞时,g(x)→+∞.
所以g(x)的值域是[5,+∞),即实数a的取值范围是[5,+∞).
(3)证明:
当x∈[0,2]时,f(x)=ex-ax,
有f′(x)=ex-a.
若a≤1或a≥e2,则f(x)在[0,2]上是单调函数,不合题意.
所以1<
e2,此时可得f(x)在[0,lna]上单调递减,在[lna,2]上单调递增.
不妨设0≤m<
lna<
n≤2,则f(0)≥f(m)>
f(lna),且f(lna)<
f(n)≤f
(2).
由m,n∈[0,2],n-m≥1,可得0≤m≤1≤n≤2.
因为f(m)=f(n),
所以得
即e-1≤a≤e2-e,所以1≤≤e.
苏北四市期末)已知函数f(x)=x2+ax+1,g(x)=lnx-a(a∈R).
(1)当a=1时,求函数h(x)=f(x)-g(x)的极值;
(2)若存在与函数f(x),g(x)的图象都相切的直线,求实数a的取值范围.
(1)当a=1时,h(x)=f(x)-g(x)=x2+x-lnx+2,
函数h(x)的定义域为(0,+∞).
所以h′(x)=2x+1-=.
令h′(x)=0得x=(x=-1舍去),
当x变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表:
x
h′(x)
-
+
h(x)
极小值
所以当x=时,函
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