高考数学理复习第3部分 考前增分策略 专题1 7概率与统计含答案文档格式.docx
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mm)进行检测,如图24是检测结果的频率分布直方图,据此估计这批产品的中位数为( )
图24
A.20 B.25
C.22.5D.22.75
(2)已知样本数据3,4,5,x,y的平均数是5,标准差是,则xy=( )
A.42B.40
C.36D.30
(3)某公司为了解用户对其产品的满意度,随机调查了40个用户,根据用户满意度的评分制成频率分布直方图(如图25),则该地区满意度评分的平均值为________.
【07804193】
图25
[解析]
(1)产品的中位数出现在概率是0.5的地方.自左至右各小矩形面积依次为0.1,0.2,0.4,
……,设中位数是x,则由0.1+0.2+0.08·
(x-20)=0.5,得x=22.5,故选C.
(2)由=5得x+y=13,①
由=
得x2+y2-10x-10y+45=0,②
①×
10+②得,x2+y2=85 ③
①2-③得,2xy=84,即xy=42,故选A.
(3)由直方图估计评分的平均值为55×
0.05+65×
0.2+75×
0.35+85×
0.25+95×
0.15=77.5.
[答案]
(1)C
(2)A (3)77.5
4.变量间的相关关系
变量间的相关关系以散点图为基础,设(x1,y1),(x2,y2)…,(xn,yn)是两个具有线性相关关系的变量的一组数据,其回归方程为=x+,则
.
[应用4] 假设某商品的销售量x(件)与利润y(万元)有如下统计数据:
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
且已知=90,=140.8,iyi=112.3,≈8.9,≈1.4.
(1)对x,y进行线性相关性检验;
(2)如果x与y具有线性相关关系,求出回归直线方程,并估计销售量为10件时,利润约是多少?
附相关公式:
r=,==,=-·
[解]
(1)==4,==5,
相关系数r的分子为=iyi-5·
=122.3-5×
4×
5=12.3,2=x-52=90-5×
16=10,
(yi-)2=y-5()2=140.8-125=15.8,
所以r===≈0.987.
因为0.987>
0.75,所以x与y之间具有很强的线性相关关系.
(2)因为
===1.23,
=-·
=0.08,
所以所求的回归直线方程为=1.23x+0.08.
当x=10时,=1.23×
10+0.08=12.38,即估计销售量为10件时,利润约为12.38万元.
5.独立性检验
两个分类变量X和Y相关的可信度,常通过随机变量K2的观测值k=来衡量,k的值越大,说明“X与Y有关系”成立的可能性越大.
[应用5] 甲乙两个学校高三年级分别为1100人,1000人,为了统计两个学校在地区第二次模拟考试中数学科目的成绩,采用分层抽样的方法抽取了105名学生的成绩,并作出了部分频率分布表如下(规定考试成绩在[120,150]内为优秀):
甲校:
分组
[70,80)
[80,90)
[90,100)
[100,110)
[110,120)
[120,130)
[130,140)
[140,150]
频数
10
15
1
乙校:
9
8
(1)计算x,y的值,并分别估计两校数学成绩的优秀率;
(2)由以上统计数据填写下面的2×
2列联表,并判断是否有97.5%的把握认为这两个学校的数学成绩有差异.
甲校
乙校
总计
优秀
非优秀
K2=.
附:
P(K2≥k0)
0.10
0.025
0.010
k0
2.706
5.024
6.635
[解]
(1)依题意知,甲校抽取55人,乙校抽取50人,故x=6,y=7.
估计甲校的优秀率为≈18.2%;
乙校的优秀率为=40%.
(2)填表如下:
20
30
45
75
55
50
105
K2=≈6.109.
∵6.109>5.024,∴有97.5%的把握认为这两个学校的数学成绩有差异.
6.解排列组合问题的常用策略
相邻问题捆绑法;
相间隔问题插空法;
定位问题优先法;
多元问题分类法;
至多至少问题间接法;
相同元素分组可采用隔板法,数量不大时可以逐一排出结果.
[应用6]
(1)4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的4个盒中,则恰有1个空盒的放法共有________种.
(2)从1、3、5、7中任取2个数字,从0、2、4、6、8中任取2个数字,组成没有重复数字的四位数,其中能被5整除的四位数共有________个.(用数字作答)
[解析]
(1)把4个球分成3组,每组至少1个,即分的小球个数分别为2,1,1的3组,有种.最后将三组球放入4个盒中的3个,有分配方法数A种,因此,放法共有×
A=144(种).
(2)将问题分成三类:
①含数字5,不含数字0,则选元素的过程有C·
C种方法,将5排在末位,则组数的过程有A种方法,依据分步计数原理得这一类共有CCA=108个;
②含数字0,不含数字5,则选元素的过程有CC种方法,将0排在末位,则组数过程有A种方法,这一类共有CCA=72个;
③含数字0,也含数字5,则选元素的过程有CC,若0在末位,则组数过程有A种方法,若0不在末位,则组数过程有CA种方法,这一类共有CC(A+CA)=120个.根据分类计数原理,其中能被5整除的四位数共有108+72+120=300个
[答案]
(1)144
(2)300
7.二项式系数的性质
(1)对称性:
C=C(k=0,1,2,…,n).
(2)系数和:
C+C+…+C=2n,C+C+C+…=C+C+C+…=2n-1.
(3)最值:
n为偶数时,n+1为奇数,中间一项的二项式系数最大且为第项,二项式系数为C;
n为奇数时,(n+1)为偶数,中间两项的二项式系数最大为第项及第+1项,其二项式系数为.
[应用7]
(1)设二项式(n∈N*)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an,bn,则=( )
A.2n-1+3B.2(2n-1+1)
C.2n+1D.1
(2)展开式中的常数项为________.
[解析]
(1)二项式(n∈N*)展开式的二项式系数和为2n,各项系数和为=,则an=2n,bn=,==2n+1,故选C.
(2)=,由二项式定理知(x-1)8通项为Tr+1=Cx8-r(-1)r,令r=4得T5=Cx4(-1)4=70x4,故展开式中的常数项为70.
[答案]
(1)C
(2)70
8.概率的计算公式
(1)互斥事件有一个发生的概率P(A+B)=P(A)+P(B),若事件A与B对立P(B)=1-P(A).
(2)古典概型的概率计算公式:
P(A)==;
[应用8] 某班班会,准备从包括甲、乙两人的七名同学中选派4名学生发言,要求甲、乙两人中至少有1人参加,则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为________.
[解析] 由题意可分两种情况只有甲乙中一人参加,有CCA=480.
甲乙两人参加有CA=240则满足条件总的发言总数为480+240=720.
甲乙两人参加,且发言时不相邻的包括情况有CAA=120.
则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为=.
[答案]
(3)几何概型的概率计算公式:
P(A)=.
[应用9] 在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为( )
【07804194】
A.B.1-
C.D.1-
[解析] 记“点P到点O的距离大于1”为A,
P(A)==1-.
[答案] B
(4)条件概率的概率计算公式:
P(B|A)==.
[应用10] 盒中装有10只乒乓球,其中6只新球,4只旧球,不放回地依次摸出2个球使用,在第一次摸出新球的条件下,第二次也取到新球的概率为( )
A.B.
C.D.
[解析] 第一次摸出新球记为事件A,则P(A)=,
第二次取到新球记为事件B,
则P(AB)==,
∴P(B|A)===.
(5)相互独立事件同时发生的概率计算公式是:
P(A·
B)=P(A)·
P(B);
(6)独立事件重复试验的概率计算公式是:
Pn(k)=CPk(1-P)n-k;
(7)若X~N(μ,σ2),则满足正态分布的三个基本概率的值是:
①P(μ-σ<
X≤μ+σ)=0.6826;
②P(μ-2σ<
X≤μ+2σ)=0.9544;
③P(μ-3σ<
X≤μ+3σ)=0.9974.
[应用11] 某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:
小时)均服从正态分布N(1000,502),且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________.
图26
[解析] 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1000,502),得三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为P=,超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率P1=1-(1-P)2=.
那么该部
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