北京西城14中高三上期中文数学真题卷Word文件下载.docx
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【解析】根据频率分布直方图得,时速超过的频率是:
,
因此,时速超过的汽车数量为:
.
4.设,是实数,则“”是“”的().
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】令,,则满足,但不满足,
所以“”是“”的不充分条件,
反之,令,,
则满足,但不满足,
所以“”是“”的不必要条件,
故“”是“”的既不充分也不必要条件.
5.若双曲线的一条渐近线方程是,则此双曲线的离心率为().
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为,
∴,,
∴双曲线的离心率是.
6.定义运算,则函数的图象是().
A.B.
C.D.
【解析】由已知新运算的定义可知是取,中的最小值,
因此函数,
即当时,,
当时,,
只有选项中的图象符合要求.
7.已知圆和两点,.若圆上存在点,使得,则的最大值为().
【解析】圆的圆心,半径为,
圆心到的距离为,
故圆上的点到点的距离的最大值为,
再由可得,以为直径的圆和圆有交点,
可得,
所以,
故的最大值为.
8.蔬菜价格随着季节的变化而有所变化.根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知,购买千克甲种蔬菜与千克乙种蔬菜所需费用之和大于元,而购买千克甲种蔬菜与千克乙种蔬菜所需费用之和小于元.设购买千克甲种蔬菜所需费用为元,购买千克乙种蔬菜所需费用为元,则().
A.B.
C.D.,大小不确定
【解析】设甲、乙两种蔬菜的价格分别为,元,
则,,,
两式分别乘以,,
整理得,
即,
所以.
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.
9.已知,,是虚数单位.若,则__________.
【答案】
【解析】若,
则,,
故.
10.中,,,,则的面积为__________.
【解析】∵在中,,,,
∴由余弦定理得:
解得,(舍去),
∴的面积.
11.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是:
__________.
【解析】当,时,满足,执行,;
当,时,满足,执行,;
当,时,不满足,输出.
12.在长为的线段上任取一点,并以线段为边作正方形,这个正方形的面积介于与之间的概率为__________.
【解析】若以线段为边的正方形的面积介于与之间,
则线段的长介于与之间,
满足条件的点对应的线段长为,
而线段的总长度为,
故正方形的面积介于与之间的概率.
13.某公司租地建仓库,每月土地占用费与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站千米处建仓库,这两项费用和分别为万元和万元.那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在距离车站__________千米处.
【解析】设仓库与车站的距离为,
由题意可设,,
把,与,分别代入上式得,,
故,,
∴这两项费用之和,
当且仅当,
即时等号成立,
故要使这两项费用之和最小,仓库应建在距离车站千米处.
14.甲乙两人做游戏,游戏的规则是:
两人轮流从(必须报)开始连续报数,每人一次最少要报一个数,最多可以连续报个数(如,一个人报数“,”,则下一个人可以有“”,“,”,,“,,,,,,”等七种报数方法),谁抢先报到“”则谁获胜.如果从甲开始,则甲要想获胜,第一次报的数应该是__________.
【答案】,,,
【解析】甲先报,,,,然后不管乙报几个数,
甲只需要每次报的数的个数与乙的个数为,
因为,
于是轮过后,甲获胜.
三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题共分)
已知函数.
()求的最小正周期.
()求证:
当时,.
【答案】见解析.
【解析】解:
(),
∴的最小正周期.
()∵,
∴.
16.(本小题满分分)
如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,,,为中点,平面,,为中点.
()证明:
平面.
()求三棱锥的体积.
【解析】
连接,,
∵底面是平行四边形,是中点,
∴是中点,
又∵是的中点,
∵平面,平面,
∴平面.
∵,,
∴,即,
又平面,平面,
又,
()解:
∵是的中点,
∴到平面的距离,
又.
∴三棱锥的体积.
17.(本小题满分分)
某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成小块地,在总共小块地中.随机选小块地种植品种甲,另外小块地种植品种乙.
()假设,求第一大块地都种植品种甲的概率.
()试验时每大块地分成小块.即,试验结束后得到品种甲和品种乙在各个小块地上的每公顷产量(单位)如下表:
品种甲
品种乙
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;
根据试验结果,你认为应该种植哪一品种?
附:
样本数据,,,的样本方差,其中为样本平均数.
()设第一大块地中的两小块地编号为,,
第二大块地中的两小块地编号为,,
令事件“第一大块地都种品种甲”,从小块地中任选小块地种植品种甲的基本事件有:
,,,,,共个,
而事件包含个基本事件:
()品种甲的每公顷产量的样本平均数和方差分别为:
,【注意有文字】
品种乙的每公顷产量的样本平均数和方差分别为:
,【注意有文字】
由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两品种的样本方差相同,
故应选择种植品种乙.
18.(本小题满分分)
等比数列中,,,分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且,,中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一行
第二行
第三行
()求数列的通项公式.
()设数列的前项之和为,求.
()设数列的前项之积为,求.
()由题意可知,,,,
∴数列的公比,
()由等比数列的前项和公式可知:
19.(本小题满分分)
设椭圆的左、右交点分别为,,点满足.
()求椭圆的离心率.
()设直线与椭圆相交于,两点,若直线与圆相交于,两点,且,求椭圆的方程.
().().
()设,,
由题意,得,
解得(舍去)或,
故椭圆的离心率.
()由()知,,可得椭圆方程为,
直线的方程为,
代入椭圆方程消去得:
解得或,
不妨设,,
又圆心到直线的距离,
∵,
解得(舍去)或.
故椭圆的方程为.
20.(本小题满分分)
设,.
()求曲线在点处的切线方程.
()求函数的单调区间.
()求的取值范围,使得对任意成立.
()由可得的定义域是,,
∴曲线在点处的切线方程为:
,即.
(),,
令,则,
∴函数的单调减区间是,单调增区间是.
()若对任意成立,
则对任意成立,
故,
由()可知,,
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