数学建模灰色理论Word文档格式.docx

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6.2.3灰色系统的基本原理

公理1：

差异信息原理。

“差异”是信息，凡信息必有差异。

公理2：

解的非唯一性原理。

信息不完全，不明确地解是非唯一的。

公理3：

最少信息原理。

灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。

公理4：

认知根据原理。

信息是认知的根据。

公理5：

新信息优先原理。

新信息对认知的作用大于老信息。

公理6：

灰性不灭原理。

“信息不完全”是绝对的。

6.2.4灰色系统理论的主要内容

灰色系统理论经过10多年的发展，已基本建立起了一门新兴学科的结构体系，其主要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的理论体系、以晦涩关联空间为依托的分析体系、以晦涩序列生成为基础的方法体系，以灰色模型（G，M）为核心的模型体系。

以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。

灰色关联分析

灰色统计

灰色聚类

6.3灰色系统预测模型

灰色预测方法的特点表现在：

首先是它把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值，从而可利用微分方程式处理数据；

而不直接使用原始数据而是由它产生累加生成数，对生成数列使用微分方程模型。

这样，可以抵消大部分随机误差，显示出规律性。

6.3.1灰色系统理论的建模思想

下面举一个例子，说明灰色理论的建模思想。

考虑4个数据，记为，其数据见下表：

序号

1

2

3

4

符号

数据

将上表数据作图得

上图表明原始数据没有明显的规律性，其发展态势是摆动的。

如果将原始数据作累加生成，记第K个累加生成为,并且

得到数据如下表所示

4.5

7.5

上图表明生成数列X是单调递增数列。

6.3.2灰色系统预测模型建立

1.数列预测GM（1，1）模型

灰色系统理论的微分方程成为Gm模型，G表示gray（灰色），m表示model（模型），Gm（1，1）表示1阶的、1个变量的微分方程模型。

Gm（1，1）建模过程和机理如下：

记原始时间序列为：

记原始数据序列为非负序列

其中，

其相应的生成数据序列为

为的紧邻均值生成序列

称为Gm（1,1）模型，其中，b是需要通过建模求解的参数，若为参数列，且

，

则求微分方程的最小二乘估计系数列，满足

称为灰微分方程，的白化方程，也叫影子方程。

如上所述，则有

1.白化方程的解或称时间响应函数为

2.Gm（1,1）灰微分方程的时间响应序列为

3.取，则

4.还原值

2.系统综合预测GM（1，N）模型P134

6.4灰色系统模型的检验

定义1.

设原始序列

相应的模型模拟序列为

残差序列

相对误差序列

1.对于k＜n,称为k点模拟相对误差，称为滤波相对误差，称为平均模拟相对误差；

2.称为平均相对精度，为滤波精度；

3.给定，当，且成立时，称模型为残差合格模型。

定义2

设为原始序列，为相应的模拟误差序列，为与的绝对关联度，若对于给定的，则称模型为关联合格模型。

定义3

设为原始序列，为相应的模拟误差序列，为残差序列。

为的均值，

为的方差，

为残差均值，

为残差方差，

1.称为均方差比值；

对于给定的，当时，称模型为均方差比合格模型。

2.称为小误差概率，对于给定的,当时，称模型为小误差概率合格模型。

精度检验等级参照表

　指标临界性

精度等级

相对误差

关联度

均方差比值

小误差概率

一级

0.01

0.90

0.35

0.95

二级

0.05

0.80

0.50

三级

0.10

0.70

0.65

四级

0.20

0.60

一般情况下，最常用的是相对误差检验指标。

6.5应用举例

例6-1

建立Gm（1,1）模型，并进行检验。

解：

1）对作1-AGO，得

[D为的一次累加生成算子，记为1-AGO，AcumulatedGeneratingOperator]

2）对作紧邻均值生成，令

于是，

，

3）确定模型

及时间响应式

4）求的模拟值

=（2.8740,6.1058,9.4599,12.9410,16.5538）

5）还原出的模拟值，由

得

=（2.8740，3.2318，3.3541，3.4811，3.6128）

6）误差检验

实际数据

模拟数据

残差

3.278

3.2318

0.0462

1.41%

3.337

3.3541

-0.0171

0.51%

3.390

3.4811

-0.0911

2.69%

5

3.679

3.6128

0.0662

1.80%

残差平方和

=0.0151085

平均相对误差

=1.0625%

计算X与的灰色关联度

=

=1.7855

=1.8144

=0.04535

=0.9902＞0.90

精度为一级，可以用

预测。

例6-2

某大型企业1997-2000年四年产值资料

年份

1997

1998

199

2000

产值（万元）

27260

29547

32411

35388

试建立Gm（1,1）模型的白化方程及时间响应式，并对Gm（1,1）模型进行检验，预测该企业2001-2005年产值。

设时间序列为

=（27260，29547，62411，35388）

对参数列作最小二乘估计，得

设

由于

可得Gm（1,1）模型的白化方程

其时间响应式为

由此得模拟序列

=（27260，29553，32336，35381）

检验：

残差序列为

=（0，-6，75，7）

模拟误差，精度一级

计算与的灰色关联度

=11502

=11429.5

=72.5

精度为一级

计算均方差比

所以，，均方差比值为一级

计算小误差概率

所以，

小误差概率为一级，故可用

进行预测，2001-2005年预测值为

=（38713，42359，46318，50712，55488）

例6-3

预测实例，已知某企业2001-2005年的工业总产值

2001

2002

2003

2004

2005

总产值

1.67

1.51

1.03

2.14

1.99

建立Gm（1,1）模型的白化方程，预测2006-2015工业总产值。

对作紧邻均值生成，令

方程为

求的模拟值

=（1.67,2.962,4.474,6.202,8.311）

还原出的模拟值，由

=（1.67，1.292，1.512，1.728，2.109）

=0.2585

=0.0885

=0.94＞0.90

精度为一级，关联度为一级，可以用

进行预测。