国家开放大学电大考试物理解析Word格式.docx
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解:
简单立方晶格:
,,
倒格子基矢:
倒格子矢量:
晶面族的面间距:
2.1、证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为()。
证明:
设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键,取任一负离子作参考离子(这样马德隆常数中的正负号可以这样取,即遇正离子取正号,遇负离子取负号),用r表示相邻离子间的距离,于是有
前边的因子2是因为存在着两个相等距离的离子,一个在参考离子左面,一个在其右面,故对一边求和后要乘2,马德隆常数为
当X=1时,
2.3、若一晶体的相互作用能可以表示为
试求:
(1)平衡间距;
(2)结合能(单个原子的);
(3)体弹性模量;
(4)若取,计算及的值。
(1)求平衡间距r0
由,有:
结合能:
设想把分散的原子(离子或分子)结合成为晶体,将有一定的能量释放出来,这个能量称为结合能(用w表示)
(2)求结合能w(单个原子的)
题中标明单个原子是为了使问题简化,说明组成晶体的基本单元是单个原子,而非原子团、离子基团,或其它复杂的基元。
显然结合能就是平衡时,晶体的势能,即Umin
即:
(可代入r0值,也可不代入)
(3)体弹性模量
由体弹性模量公式:
(4)m=2,n=10,,w=4eV,求α、β
①
②
将,代入①②
详解:
(1)平衡间距r0的计算
晶体内能
平衡条件,,
(2)单个原子的结合能
晶体的体积,A为常数,N为原胞数目
由平衡条件,得
体弹性模量
(4)若取
3.2、讨论N个原胞的一维双原子链(相邻原子间距为a),其2N个格波解,当=时与一维单原子链的结果一一对应。
质量为的原子位于2n-1,2n+1,2n+3……;
质量为的原子位于2n,2n+2,2n+4……。
牛顿运动方程
N个原胞,有2N个独立的方程
设方程的解,代回方程中得到
A、B有非零解,,则
两种不同的格波的色散关系
一个q对应有两支格波:
一支声学波和一支光学波.总的格波数目为2N.
当时,
两种色散关系如图所示:
长波极限情况下,,
与一维单原子晶格格波的色散关系一致.
3.3、考虑一双子链的晶格振动,链上最近邻原子间的力常数交错地为和,令两种原子质量相等,且最近邻原子间距为。
试求在处的,并粗略画出色散关系曲线。
此问题模拟如这样的双原子分子晶体。
(注:
课本中的c即为此题中的βk对应q)
答:
(1)
浅色标记的原子位于2n-1,2n+1,2n+3……;
深色标记原子位于2n,2n+2,2n+4……。
第2n个原子和第2n+1个原子的运动方程:
体系N个原胞,有2N个独立的方程
方程的解:
,令,将解代入上述方程得:
A、B有非零的解,系数行列式满足:
因为、,令得到
两种色散关系:
当时,,
(2)色散关系图:
44.2、写出一维近自由电子近似,第n个能带(n=1,2,3)中,简约波数的0级波函数。
<解>
第一能带:
第二能带:
第三能带:
4.3、电子在周期场中的势能.
0,
其中d=4b,是常数.试画出此势能曲线,求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度.
<解>(I)题设势能曲线如下图所示.
(2)势能的平均值:
由图可见,是个以为周期的周期函数,所以
题设,故积分上限应为,但由于在区间内,故只需在区间内积分.这时,,于是
。
(3),势能在[-2b,2b]区间是个偶函数,可以展开成傅立叶级数
利用积分公式得
第二个禁带宽度代入上式
再次利用积分公式有
51、设有一维晶体的电子能带可写成,其中为晶格常数,是电子的质量。
(注:
课本无第一问)
试求
(1)能带宽度;
(2)电子在波矢k状态的速度;
(3)带顶和带底的电子有效质量。
解:
(1)
=-coska+(2cos2ka-1)]
=(coska-2)2-1
当ka=(2n+1)时,n=0,1,2…
当ka=2n时,
能带宽度=
(2)
(3)
当时,带底,
当时,带顶,
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本人就读于xx广播电视大学xx年春季行政管理专业。
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篇二
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