第一章 定界问题Word格式.docx

第一章 定界问题Word格式.docx

《第一章 定界问题Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一章 定界问题Word格式.docx（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

而

于是运动方程化为：

令得

令，则有

若考虑到回复力的作用

依题设回复力与弦的位移成正比，故只要在前一问的横向力中加上回复力，则有：

同理有

2．试推导均匀细杆的纵向振动方程

其中，；

为杨氏模量，为杆的密度，为单位长度的杆沿杆长方向所受的的外力。

建立如图所示坐标系

在细杆上任取一微元，它位于轴上的

内，分析该单元在振动过程中的受力情况。

在端，受到左边相邻单元的拉力：

在端，受到右边相邻单元的拉力：

同时该单元在振动过程还受到外力的作用：

根据牛顿第二定律有：

化简整理，并令有：

即其中

3．在一维热传导方程中，假设热量因杆的物质放射衰变（按指数规律）而损失，证明上式方程变为

其中和都是大于零的常数。

内，分析在时间内该单元内的净热量。

在时间内，从端的左边单元流入该单元体的热量为：

在时间内，从+端流出该单元体的热量为：

在时间内，该单元体内的物质因放射衰变损失的热量为：

微元温度升高所需的热量为：

由热量守恒定律得

-+=

两边同除有

即：

令，，则

4．试推导一维和三维的热传导方程

（1）仍采用“微元法”，任取一小体积B，如图3所示：

在时间内，自A通过底面q流入B的热量为，自B通过底面2流出的热量为，热量的净流入量为：

但由于

因净流入的热量为

上述净流入热量使dx区间内的物质温度升高du，设物质的比热为C，密度为，则

即

（2）任取一小体积dV，位于之间，如图4，先考虑在两面与邻域交换热量，在这两面上热流强度沿正x方向的分量为

所以这一小块在的时间沿X方向所流入的热量为

所流出的热量为

，

所以在X方向它所流入的净热量为

同样通过，在时间内沿Y方向所流入净热量是；

通过在时间内沿Z方向所流入净热量是；

上述流入的净热量

使小体积的温度升高，如仍以C表小体积内物质的比热，表密度就有

5．设扩散物质的源强度为（单位体积内，单位时间所产生的扩散物质），是建立扩散方程。

设表示在时刻的粒子数。

建立如图所示的坐标系，在所

研究的区域内任取一微元—长

方体，考虑在

时间内单元体中粒子数的流动情况。

有扩散定律知：

在时间内，

单元体中方向的净粒子数为：

在时间内，单元体中方向的

净粒子数为：

；

在时间内，单元体中在方向的净粒子数为：

，而由源强产生的粒子数为。

在时间内单元体内粒子数的变化为

由质量守恒定律有：

+

++

=

两边同除以，并令，有

在以上各式中表示粒子流密度。

将扩散定律代入上式有：

上面的方程即为扩散方程。

6．长为的柔软均质绳索，一端固定在以匀速转动的竖直轴上，由于惯性离心力的作用，这弦的平衡位置应是水平线，试推导此绳相对于水平线的横振动方程。

如图示，在小振动的情况下

因而从x到x+dx这段绳的运动方程为

即

为了求出在x处的张力T（x），需考虑从x到的一段绳上的惯性离心力的作用，设在x处的张力为T（x），则

7．长为的柔软均质重绳，上端固定在以匀速转动的竖直轴上，由于重力作用，绳的平衡位置应是竖直线，试推导此线相对于竖直线的横振动方程。

如图示，在小振动的情况下，再取到一段绳的运动方程是

其中F是dx段弦所受的惯性离心力，，在x端还受有张力（此处为重力）的作用，张力T为，以此代入运动方程得：

或

8．真空中电磁场的麦克斯韦方程组得微分形式为

有着一方程组，导出电磁波方程

其中，和分别为真空中的电场强度和磁场强度。

为光速。

先导出电场强度公式

公式的两边对求导得

又将算子作用于有

于是有电场强度微分方程

同理可推得磁场强度微分方程。

9．试导出理想传输线的电报方程

其中，和分别为理想传输线上的电压、电流；

，和分别为单位长度上的电容和电感。

这是一研究同轴传输线上作为表征电磁过程的物理量——电流和电压的问题。

可用单位传输线的电阻、电感、电容和电漏来描绘其介质特性。

对于理想情况，可视为传输线上无损耗，即，如下图所示。

此时，可将同轴传输线视为其上仅分布有电感和电容的平行于轴的双线。

设和分别表示在时刻同轴双线处的电流强度和处两线间的电压。

在同轴双线上任取一段微元，此时，由于在该段电感上感生电动势为：

，而电容充放电的电流为，故由Kirchhoff定律有：

（1）

（2）

将

（1）对求导减去

（2）对求导，有

其中，

补充：

10．拿图51的B段弦作代表，推导弦振动方程。

取到的B段弦，

由于该段弦作横向振动

∴在纵向和横向满足的方程为

由于弦是在做微小振动，故有

，，

，，，

如图示，

故在小振动的情况下，运动方程为

上式左边即

所以有

其中。

11．用均质材料制作细圆锥杆，试推导它的纵振动方程。

在圆锥杆上截取一小段B，C段对B的拉力是合力是

∵B段的质量是，

∴B段的运动方程是

其中,

∴上式又可写为

则得

，其中

12．弦在阻尼介质中振动，单位长度弦所受阻力（比例常数R叫做阻力系数），试推导弦的阻尼振动方程。

如

（1）题图示，B段弦所受力除了张力T1，T2外，还受有阻力F的作用，在小振动的情况下，其运动方程为

其中

13．混凝土浇灌后逐渐放出“水化热”，放热速率正比于当时尚储存着水化热密度Q，即，试推导浇灌后的混凝土内的热传导方程。

设浇灌后的混凝土中在初始时刻储存的水化热密度为，则在t时刻它所储存的水化热密度为

所以在t时刻它的放热速率为

。

其它分析与上题类似。

只是现在还有热源分布于物质之中，在单位时间内于单位体积中放出的热量即为，故上题的热传导方程改为：

14．均质导线电阻率为r，通过均匀分布的直流电，电流密度为j，试推导导线内的热传导方程。

设均质导面积为S，热量沿电流方向传播，先考虑一维情况，取x方向与电流和热量传播方向相同，在导线上任取一微元体进行研究。

设q为单位时间里通过单位截面的热量，由热传导定律则有，式中u是温度，K为热传导系数，在dt的时间里，流入体元的净热量为

由于电流密度为j，电阻率为r的导体在体元上产生的焦耳热为

体积元dV中因温升而需要的热量=净流入体元中的热量+热源在体元中产生的热量

如截面积S较大时，应该三维空间的热传导，这时泛定方程为

15．推导均匀圆柱的扭转振动方程，杆半径为R，切变模量为N

如果沿柱轴的切变是均匀的，在离轴r处的切变角为。

而实际上沿柱轴的切变是不均匀，所以切变角是，从而离轴r处的切胁强为，

从而

力矩==

设单位长度对轴的转动惯用为I，则在段，由动量矩定理

16．推导水槽中的重力波方程，水槽长l,截面为矩形、两端由刚性平面封闭，槽中水在平衡时的深度为h。

取x轴沿水槽的长度方向，水槽长为l，宽为S，将水面与静止水面的高度差记作，随x而异，且随t而变。

取x处的截面与处的截面之间的水来考虑，由于这两处的不同，所以这两部分水前后方所受的压力不等，其x方向运动方程为：

（1）

将水视为不可压缩液体，考察静止时在之间的水，其体积为，在运动中，这部分水的高度变为，厚度变为，从而体积变为，

所以

略去二阶小量，则上式变为

，

（2）

从

（1）

（2）消去，得到

（3）

这就是重力波的纵向运动方程。

（2）式两边对求二阶导数有：

（4）

以（4）代入

（1）有

（5）

这是重力波的横向运动方程。

1.3定界条件（P142-143）

1．长为两端固定的弦，作振幅及其微小的横振动，试写出其定界条件。

定界条件为：

2．半无限长的理想传输线，一端加上正弦电压，试写出其定界问题。

定解问题为：

3．长为的均匀杆，两端受拉力而作纵振动，写出边界条件。

建立如下图所示坐标系

先讨论端点：

取包括有端点的任意一个微元体，考察其受力情况，根据牛顿第二定律有：

令，有：

同理可讨论左端点，有

4．长为的均匀杆，两端有恒定的热流流入，其强度为，试写出这个热传导问题的边界条件。

建立如图所示的坐标系：

对于端点，根据热传导定律有：

亦即：

5．弹簧原长为，一端固定，另一端被拉离平衡位置而静止，放手让其振动，写出定界条件。

因为是弹簧的纵向振动，所以服从一维波动方程。

故初始条件有两个。

因为放手后才能振动，故放手之时即振动的初始时刻，此时杆振动的速度为0，即

而拉离平衡位置使整个弹性杆伸长了，即这个是来自整个杆各部分伸长后的贡献，故整个系统的初始位移为：

再看边界条件：

一端固定即没有位移,固有

另一端由于放手任其振动时未受外力，固有

6．长为的弹性杆，两端受压，长度缩短为，放手后自由振动，试写出其初始条件；

若一端受压缩短为，其初始条件又如何？

（1）两端受压：

建立如下图所示的坐标系。

取没有压缩前的位置为平衡位置，在两端受压

时，杆的不动点为，而整个杆伸长了，

每端各伸长了，作坐标转换，则：

（2）一端受压情况：

建立如下图所示坐标系，

整个杆伸长了，此时有：

，。

7．一根导热杆由两段构成，二段热传导系数，比热、密度分别是、、和、、，初始温度是u0，然后保持两端温度为零，试把这个热传导问题表为定解问题。

定解问题为

衔接条件为

8．长为的均匀弦，两端和固定，弦中张力为，在点，以横向里拉弦，达到稳定后放手任其振动，写出初始条件。

建立如图所示的坐标系

设在弦上点受到横向力作

用后发生的位移为，则弦

的初始位移可由下式给出：

其中待求。

又设左右两端的弦中的张力分别为和，则由牛顿定律有：

在微小振动情况下，，

，，所以：

，，故有：

所以初始条件为：

9．长为的弹性杆，上端牢牢固定，下端挂有重物，试推导它作纵振动时在下述情况下的边界条件：

（1）把杆在其下端所挂重物的作用下伸长状态（静力伸长）取作平衡位置。

（2）把杆未伸长状态（静力伸长）取作平衡位置。