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当a=(1,1,1,1…,1),b=(-1,-1,1,1,…,1)时,cosθ= ( )
A. B. C. D.
(文)、,、、是共起点的向量,、不共线,,则、、的终点共线的充分必要条件是 ( )
A. B. C. ________.
7.把函数的图象向左平移m个单位,所得图象关于y轴对称,则m的最小值为 ( )
A. B. C. D.
8.已知关于x的方程:
在区间(3,4)内有解,则实数a的取值范围是( )
A. B.) C. D.
9.在等差数列中,若,则的值为()
A.14 B.15 C.16 D.17
10.下面四个命题:
①“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”;
②“直线⊥平面内所有直线”的充要条件是“⊥平面”;
③“直线a、b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a、b不相交”;
④“平面∥平面”的必要不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等”;
其中正确命题的序号是
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
11.(理)已知椭圆E的离心率为e,两焦点为F1、F2,抛物线C以F1为顶点,F2为焦点,P为两曲线的一个交点,若,则e的值为 ( )
A. B. C. D.
(文)与双曲线有共同的渐近线,且经过点(-3,)的双曲线方程是( )
A. B. C. D.
12.在数列中,,则等于 ( )
A.12 B.14 C.20 D.22
第II卷(非选择题,共90分)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.
13.若指数函数的部分对应值如下表:
-2
0
2
0.69
1
1.44
则不等式的解集为________
14.若圆锥曲线的焦距与k无关,则它的焦点坐标是__________.
15.若(),则=________(用数字作答)。
16.设函数的定义域为,若存在常数,使≤对一切实数均成立,则称为函数。
给出下列函数:
①;
②;
③=;
④;
⑤是R上的奇函数,且满足对一切实数、均有.
其中是函数的序号为________。
三、解答题:
本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)设向量=(cos23°
,cos67°
),b=(cos68°
,cos22°
),(t∈R).
(1)求;
(2)求u的模的最小值.
18.(本小题满分12分)
(理)某系统是由四个整流二极管(串、并)联结而成,已知每个二极管的可靠度为0.8
(即正常工作时),若要求系统的可靠度大于0.85,请你设计至少两种不同的联结方式,并说明理由.
(文)如图是一个方格迷宫,甲、乙两人分别位于迷宫的A、B两处,现以每分钟一格的速度同时出发,在每个路口只能向东、西、南、北四个方向之一行走。
若甲向东、向西行走的概率均为,向南、向北行走的概率分别为和p,乙向东、南、西、北四个方向行走的概率均为q
(1)求p和q的值;
(2)设至少经过t分钟,甲、乙两人能首次相遇,试确定t的值,并求t分钟时,甲
乙两人相遇的概率.
19.(本小题满分12分)
(理)已知函数、对任意实数、分别满足
①且;
②且,为正整数
(1)求数列、的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
(文)已知等比数列,,
(1)求通项;
(2)若,数列的前项的和为,且,求的值.
20.(本小题满分12分)如图,在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中,
∠ABC=600,PA=AC=a,PB=PD=,点E在PD上,且PE:
ED=2:
1.
(1)证明PA⊥平面ABCD;
(2)求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角的大小;
(3)在棱PC上是否存在一点F,使BF//平面AEC?
证明你的结论.
21.(本小题满分12分)平面直角坐标系中,O为坐标原点,给定两点A(1,0)、B(0,
-2),点C满足、
(1)求点C的轨迹方程;
(2)设点C的轨迹与双曲线交于两点M、N,且以MN为直径的圆过原点,求证:
.
22.(本小题满分14分)
(理)已知函数
(1)求函数的最大值;
(2)当时,求证.
(文)设函数
(1)求函数f(x)的单调区间,并求函数f(x)的极大值和极小值;
(2)当x∈[a+1,a+2]时,不等,求a的取值范围.
湖北省2021年高考数学模拟试题参考答案
一、 选择题
题号
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
D
B
1、(理)C
∵,∴
(文)C
2、C
3、A 作出其可行域知选A
4、A
5、A 恒成立
又因为不恒小于0,故b的范围为或
6、(理)D
(文)D 设、、的终点为A,B,C,即A,B,C三点共线。
7、B ,∴m可以为
8、C ,∴
9、C
10、D a平行于b所在的平面时,a,b可能异面,故①错;
直线a、b不相交时a,b可能平行,故③错,由此排除A,B,C,选D
11、(理)A 设,则
(文)A 设双曲线为,∴,故选A
12、B
二、 填空题
13、(1,2)
,
∴
14、
∵,又曲线的焦距与k无关,故焦点坐标为
15、2021
令知,又
=
16、①②④⑤
令知③不是F函数,其它的可以证明是F函数
三、 解答题
17、解:
(1)=cos23°
cos68°
+cos67°
cos22°
=cos68°
cos23°
+sin68°
sin23°
=cos45°
=……………………………6分
(2)
当t=-时,=. ……………………………………………12分
18、(理)解:
方式一:
系统可靠度………………………………………………6分
方式二:
系统可靠度…………………12分
另外:
(文)
(1)……(4分)
(2)t=2甲、乙两人可以相遇(如图,在C、D、E三处相遇) …………5分
设在C、D、E三处相遇的概率分别为PC、PD、PE,则:
PC= ………………7分
PD= …………………9分
PE=……………………11分
PC+PD+PE=即所求的概率为 ………12分
19、(理)解答:
(1)由,,知成等比数列,
∴ …………………………………………………3分
由②中令,,得,知成等差数列,
,即 …………………6分
(2) ……………………9分
………………12分
(文)解答:
(1),
…………………………5分
(2)
是以为首项,2为公差的等差数列,
,或(舍去) ……12分
20、证明:
(Ⅰ)因为底面ABCD是菱形,∠ABC=60°
所以AB=AD=AC=a,在△PAB中,
由PA2+AB2=2a2=PB2 知PA⊥AB.
同理,PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD…………3分
(Ⅱ)解作EG//PA交AD于G,
由PA⊥平面ABCD.
知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H,连结EH,则EH⊥AC,∠EHG即为二面角的平面角.
又PE:
ED=2:
1,所以
从而 ……………7分
(Ⅲ)解法一 以A为坐标原点,直线AD、AP分别为y轴、z轴,过A点垂直平面PAD的直线为x轴,建立空间直角坐标系如图.由题设条件,相关各点的坐标分别为
所以
设点F是棱PC上的点,则
令 得
解得 即时,
亦即,F是PC的中点时,、、共面.
又 BF平面AEC,所以当F是棱PC的中点时,BF//平面AEC……………12分
解法二当F是棱PC的中点时,BF//平面AEC,证明如下,
证法一 取PE的中点M,连结FM,则FM//CE. ①
由 知E是MD的中点.
连结BM、BD,设BDAC=O,则O为BD的中点.
所以 BM//OE. ②
由①、②知,平面BFM//平面AEC.
又 BF平面BFM,所以BF//平面AEC.
证法二因为
所以 、、共面.
又BF平面ABC,从而BF//平面AEC.
21、解答:
(1)解:
设
即点C的轨迹方程为x+y=1 ……4分
22、
(1)∵f′(x)=-x2+4ax-3a2=-(x-3a)(x-a),由f′(x)>
0得:
a3a,
则函数f(x)的单调递增区间为(a,3a),单调递减区间为(-∞,a)和(3a,+∞)
列表如下:
x
(-∞,a)
a
(a,3a)
3a
(3a,+∞)
f′(x)
—
+
f(x)
-a3+b
b
∴函数f(x)的极大值为b,极小值为-a3+b …………………………7分
(2)上单调递
减,因此
∵不等式f′(x)≤a恒成立,
∴即a的取值范围是…………14分
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