1984年高考数学全国卷理科及其参考答案文档格式.docx
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5.如果θ是第二象限角,且满足那么
(A)是第一象限角(B)是第三象限角(B)
(C)可能是第一象限角,也可能是第三象限角
(D)是第二象限角
二.(本题满分24分)本题共6小题,每一个小题满分4分只要求直接写出结果)
1.已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形,求圆柱的体积
答:
2.函数在什么区间上是增函数?
x<-2.
3.求方程的解集
4.求的展开式中的常数项
-20
5.求的值
6.要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,问有多少种不同的排法(只要求写出式子,不必计算)
三.(本题满分12分)本题只要求画出图形
1.设画出函数y=H(x-1)的图象
2.画出极坐标方程的曲线
2.
O12X
解:
1.
Y
10
O1X
四.(本题满分12分)
已知三个平面两两相交,有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行
证:
设三个平面为α,β,γ,且
从而c与b或交于一点或互相平行
1.若c与b交于一点,设
∴所以,b,c交于一点(即P点)
P
bαβ
γc
bαβ
2.若c∥b,则由所以,b,c互相平行
五.(本题满分14分)
设c,d,x为实数,c≠0,x为未知数讨论方程在什么情况下有解有解时求出它的解
原方程有解的充要条件是:
由条件(4)知,所以再由c≠0,可得
又由及x>0,知,即条件
(2)包含在条件
(1)及(4)中
再由条件(3)及,知因此,原条件可简化为以下的等价条件组:
由条件
(1)(6)知这个不等式仅在以下两种情形下成立:
①c>0,1-d>0,即c>0,d<1;
②c<0,1-d<0,即c<0,d>1.
再由条件
(1)(5)及(6)可知
从而,当c>0,d<1且时,或者当c<0,d>1且时,原方程有解,它的解是
六.(本题满分16分)
1.设,实系数一元二次方程有两个虚数根z1,z2.再设z1,z2在复平面内的对应点是Z1,Z2求以Z1,Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长(7分)
2.求经过定点M(1,2),以y轴为准线,离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程(9分)
1.因为p,q为实数,,z1,z2为虚数,所以
由z1,z2为共轭复数,知Z1,Z2关于x轴对称,
所以椭圆短轴在x轴上又由椭圆经过原点,
可知原点为椭圆短轴的一端点
根据椭圆的性质,复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系,可得椭圆的
短轴长=2b=|z1+z2|=2|p|,
焦距离=2c=|z1-z2|=,
长轴长=2a=
2.因为椭圆经过点M(1,2),且以y轴为准线,所以椭圆在y轴右侧,长轴平行于x轴
设椭圆左顶点为A(x,y),因为椭圆的离心率为,
所以左顶点A到左焦点F的距离为A到y轴的距离的,
从而左焦点F的坐标为
设d为点M到y轴的距离,则d=1
根据及两点间距离公式,可得
这就是所求的轨迹方程
七.(本题满分15分)
在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为,b,c,且c=10,
,P为△ABC的内切圆上的动点求点P到顶点A,B,C的距离的平方和的最大值与最小值
由,运用正弦定理,有
因为A≠B,所以2A=π-2B,即A+B=
由此可知△ABC是直角三角形
由c=10,
如图,设△ABC的内切圆圆心为O',切点分别为D,E,F,则
B(0,6)
D
EO'P(x,y)
X
OC(0,0)A(8,0)
AD+DB+EC=但上式中AD+DB=c=10,
所以内切圆半径r=EC=2.
如图建立坐标系,
则内切圆方程为:
(x-2)2+(y-2)2=4
设圆上动点P的坐标为(x,y),则因为P点在内切圆上,所以,
S最大值=88-0=88,
S最小值=88-16=72
解二:
同解一,设内切圆的参数方程为
从而
因为,所以
S最大值=80+8=88,
S最小值=80-8=72
八.(本题满分12分)
设>2,给定数列{xn},其中x1=,求证:
1.
3.
1.证:
先证明xn>2(n=1,2,…)用数学归纳法
由条件>2及x1=知不等式当n=1时成立
假设不等式当n=k(k≥1)时成立
当n=k+1时,因为由条件及归纳假设知
再由归纳假设知不等式成立,所以不等式也成立从而不等式xn>2对于所有的正整数n成立
(归纳法的第二步也可这样证:
所以不等式xn>
2(n=1,2,…)成立)
再证明由条件及xn>
2(n=1,2,…)知
因此不等式也成立
(也可这样证:
对所有正整数n有
还可这样证:
所以)
2.证一:
用数学归纳法由条件x1=≤3知不等式当n=1时成立
当n=k+1时,由条件及知
再由及归纳假设知,上面最后一个不等式一定成立,所以不等式也成立,从而不等式对所有的正整数n成立
证二:
用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法:
由条件知再由及归纳假设可得
3.证:
先证明若这是因为
然后用反证法若当时,有则由第1小题知
因此,由上面证明的结论及x1=可得
即,这与假设矛盾所以本小题的结论成立
九.(附加题,本题满分10分,不计入总分)
10、由于人口迅速增长、环境污染和全球气候变暖,世界人均供水量自1970年以来开始减少,而且持续下降。
如水资源缺乏,全球气候变暖,生物品种咖快灭绝,地球臭氧层受到破坏,土地荒漠化等世界性的环境问题。
⌒
如图,已知圆心为O、半径为1的圆与直线L相切于点A,一动点P自切点A沿直线L向右移动时,取弧AC的长为,直线PC与直线AO交于点M又知当AP=时,点P的速度为V求这时点M的速度
16、大量的研究事实说明生命体都是由细胞组成的,生物是由细胞构成的。
我们的皮肤表面,每平方厘米含有的细胞数量超过10万个。
18、建立自然保护区是保护生物多样性的有效方法,我国的九寨沟、长白山、四川卧龙等地都建立了自然保护区,自然保护区为物种的生存、繁衍提供了良好的场所。
10、生物学家列文虎克于1632年出生在荷兰,他制成了世界上最早的可放大300倍的金属结构的显微镜。
他用自制的显微镜发现了微生物。
M
O1
DθC
1、月相的变化有什么规律?
(P49)APL
5、减少垃圾的数量是从源头上解决问题的办法,我们每个人都可以想出许多减少垃圾数量的方法。
5、草蛉是蚜虫的天敌,七星瓢虫吃蚜虫,蜻蜓吃蚊子。
作CD⊥AM,并设AP=x,AM=y,∠COD=θ由假设,
3、你知道哪些化学变化的事例呢?
举出几个例子。
AC的长为,
半径OC=1,可知θ
4、咀嚼馒头的外皮也可以感觉到甜味吗?
为什么?
考虑
∵△APM∽△DCM,
而
(有资料表明八四年试题为历年来最难的一次)
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- 1984 年高 数学 全国卷 理科 及其 参考答案