3份高考数学人教A版理科一轮复习练习选修Word文档格式.docx
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,又四边形的内角和等于360°
,故∠MEN+∠NOM=180°
.
(2)由
(1)知,O,M,E,N四点共圆,故由割线定理即得
FE·
3.如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆于F,G两点.若CF∥AB.
证明:
(1)CD=BC;
(2)△BCD∽△GBD.
证明
(1)因为D,E分别为AB,AC的中点,所以DE∥BC.又已知CF∥AB,故四边形BCFD是平行四边形,所以CF=BD=AD.而CF∥AD,连接AF,所以四边形ADCF是平行四边形,故CD=AF.
因为CF∥AB,所以=,
所以BC=AF,故CD=BC.
(2)因为FG∥BC,所以=,故GB=CF.
由
(1)可知BD=CF,所以GB=BD.
所以∠BGD=∠BDG,
因为CD=BC,
所以∠CBD=∠CDB.
因为∠BGD=∠EFC=∠DBC,
故△BCD∽△GBD.
4.(2015·
全国Ⅰ卷)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,BC交⊙O于点E.
(1)若D为AC的中点,证明:
DE是⊙O的切线;
(2)若OA=CE,求∠ACB的大小.
(1)证明 如图,连接AE,由已知得AE⊥BC,AC⊥AB.
在Rt△AEC中,由已知得DE=DC,故∠DEC=∠DCE.连接OE,
则∠OBE=∠OEB.
又∠ACB+∠ABC=90°
,
所以∠DEC+∠OEB=90°
故∠OED=90°
,DE是⊙O的切线.
(2)解 设CE=1,AE=x,由已知得AB=2,BE=.由射影定理可得AE2=CE·
BE,
所以x2=,即x4+x2-12=0.
可得x=,所以∠ACB=60°
5.(2015·
陕西卷)如图,AB切⊙O于点B,直线AO交⊙O于D,E两点,BC⊥DE,垂足为C.
(1)证明:
∠CBD=∠DBA;
(2)若AD=3DC,BC=,求⊙O的直径.
(1)证明 因为DE为⊙O直径,
则∠BED+∠EDB=90°
又BC⊥DE,所以∠CBD+∠EDB=90°
从而∠CBD=∠BED,
又AB切⊙O于点B,得∠DBA=∠BED,
所以∠CBD=∠DBA.
(2)解 由
(1)知BD平分∠CBA,
则==3,又BC=,从而AB=3,
所以AC==4,所以AD=3,
由切割线定理得AB2=AD·
AE,即AE==6,
故DE=AE-AD=3,即⊙O直径为3.
6.如图,已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,交BC的延长线于点D,延长DA交△ABC的外接圆于点F,连接FB,FC.
(1)求证:
FB=FC;
(2)求证:
FB2=FA·
FD;
(3)若AB是△ABC外接圆的直径,∠EAC=120°
,BC=6cm,求AD的长.
(1)证明 因为AD平分∠EAC,所以∠EAD=∠DAC.
因为四边形AFBC内接于圆,所以∠DAC=∠FBC.
因为∠EAD=∠FAB=∠FCB,
所以∠FBC=∠FCB,所以FB=FC.
(2)证明 因为∠FAB=∠FCB=∠FBC,
∠AFB=∠BFD,所以△FBA∽△FDB,
所以=,所以FB2=FA·
FD.
(3)解 因为AB是圆的直径,所以∠ACB=90°
又∠EAC=120°
,所以∠ABC=30°
∠DAC=∠EAC=60°
,因为BC=6,
所以AC=BCtan∠ABC=2,
所以AD==4(cm).
7.(2015·
全国Ⅱ卷)如图,O为等腰三角形ABC内一点,⊙O与△ABC的底边BC交于M、N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E、F两点.
EF∥BC;
(2)若AG等于⊙O的半径,且AE=MN=2,求四边形EBCF的面积.
(1)证明 由于△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,所以AD是∠CAB的平分线.又因为⊙O分别与AB,AC相切于点E,F,所以AE=AF,
故AD⊥EF.从而EF∥BC.
(2)解 由
(1)知,AE=AF,AD⊥EF,故AD所在直线是EF的垂直平分线,又EF为⊙O的弦,所以O在AD上.
连接OE,OM,则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO=2OE,所以∠OAE=30°
.因此△ABC和△AEF都是等边三角形.因为AE=2,所以AO=4,OE=2.因为OM=OE=2,DM=MN=,所以OD=1.于是AD=5,AB=.所以四边形EBCF的面积为×
×
-×
(2)2×
=.
8.如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·
AE=DC·
AF,B,E,F,C四点共圆.
CA是△ABC外接圆的直径;
(2)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.
(1)证明 因为CD为△ABC外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知=,故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA.因为B,E,F,C四点共圆,所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°
.所以∠CBA=90°
,因此CA是△ABC外接圆的直径.
(2)解 连接CE,因为∠CBE=90°
,所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE,由DB=BE,有CE=DC,又BC2=DB·
BA=2DB2,所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.
而DC2=DB·
DA=3DB2,故过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.
(建议用时:
江苏卷)已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin-4=0,求圆C的半径.
解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,以极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系xOy.
圆C的极坐标方程为ρ2+2ρ-4=0,化简,得ρ2+2ρsinθ-2ρcosθ-4=0.
则圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y-4=0,
即(x-1)2+(y+1)2=6,所以圆C的半径为.
2.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点A的极坐标为,直线l的极坐标方程为ρcos=a,且点A在直线l上.
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程;
(2)圆C的参数方程为(α为参数),试判断直线l与圆C的位置关系.
解
(1)由点A在直线ρcos=a上,可得a=.所以直线l的方程可化为ρcosθ+ρsinθ=2,
从而直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.
(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,
所以圆C的圆心为(1,0),半径r=1,
因为圆心C到直线l的距离d==<
1,
所以直线l与圆C相交.
3.(2013·
新课标全国Ⅰ卷)已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<
2π).
解
(1)∵C1的参数方程为
∴
∴(x-4)2+(y-5)2=25(cos2t+sin2t)=25,
即C1的直角坐标方程为(x-4)2+(y-5)2=25,
把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入(x-4)2+(y-5)2=25,
化简得:
ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.
(2)C2的直角坐标方程为x2+y2=2y,
解方程组
得或
∴C1与C2交点的直角坐标为(1,1),(0,2).
∴C1与C2交点的极坐标为,.
4.在直角坐标系xOy中,圆C1:
x2+y2=4,圆C2:
(x-2)2+y2=4.
(1)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C1,C2的极坐标方程,并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示);
(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程.
解
(1)圆C1的极坐标方程为ρ=2,
圆C2的极坐标方程为ρ=4cosθ.
解得ρ=2,θ=±
故圆C1与圆C2交点的坐标为,.
注:
极坐标系下点的表示不唯一.
(2)法一 由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1,),(1,-).
故圆C1与C2的公共弦的参数方程为-≤t≤.
法二 将x=1代入
得ρcosθ=1,从而ρ=.
于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为
-≤θ≤.
5.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).M是C1上的动点,P点满足=2,P点的轨迹为曲线C2.
(1)求C2的方程;
(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求AB.
解
(1)设P(x,y),则由条件知M.
由于M点在C1上,所以即
从而C2的参数方程为(α为参数)
(2)曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ,曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ.射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin,射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin.所以AB=|ρ2-ρ1|=2.
6.(2015·
湖南卷)已知直线l:
(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|·
|MB|的值.
解
(1)ρ=2cosθ等价于ρ2=2ρcosθ.①
将ρ2=x2+y2,ρcosθ=x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.②
(2)将代入②式,得t2+5t+18=0.
设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义即知,|MA|·
|MB|=|t1t2|=18.
7.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ,ρcos=2.
(1)求C1与C2交点的极坐标;
(2)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数),求a,b的值.
解
(1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.
解得
所以C1与C2交点的极坐标为,,
(2)由
(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3).
故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0,
由参数方程可得y=x-+1,
所以解得a=-1,b=2.
8.已知曲线C1的参数方程是(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为.
(1)求点A,B,C,D的直角坐标;
(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.
解
(1)由已知可得A,
B,
C,
D,
即A(1,),B(-,1),C(-1,-),D(,-1).
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