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5
故系统传递函数为
例3-3设控制系统如图3-2所示。
试分析参数b的取值对系统阶跃响应动态性能的影响。
解由图得闭坏传递函数为
系统是一阶的。
动态性能指标为
td=Q.69(T+bK)tr=2.2(T+bK)ts=3(T+bK)
因此,b的取值人将会使阶跃响应的延迟时间、上升时间和调节时间都加长。
例3-12设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3・34所示。
试确定系统的传递函数。
图3-34二阶控制系统的单位阶跃nitict?
解首先明显看出,在单位阶跃作用下响应的稳态值为3,故此系统的增益不是1,而是3。
系统模型为
然后由响应的M“%、「及相应公式,即可换算出5。
4—3
T"
==33%
fp~/—r-01
换算求解得:
歹=0.33、©
=33.2
例3-13设系统如图3-35所示。
如果要求系统的超调量等于15%,峰值时间等于0.85,试确定增益K】和速度反馈系数&
。
同时,确定在此K】和K数值下系统的延迟时间、上升时间和调节时间。
解由图示得闭坏特征方程为
$・+(1+K[KI)s+Ar1=0
即
l加上1+Kg:
2®
由已知条件
==0.15
tp-:
-0.8
©
身
解得
岳=0.517,©
=4.5885-1
于是
(-21.05K,-2^,C°
"
-0.178
£
1+0.6£
+0.2£
2八…
乙_“_o.297s
◎
例3・14设控制系统如图3-36所示。
试设计反馈通道传递函数H(s),使系统阻尼比提高到希望的J值,但保持增益K及自然频率血不变。
解由图得闭环传递函数
0(S)=
图g例3・14控制系统结构图s2++研+K忒H(s)
在题意要求下,应取H(s)=Kts
此时,闭环特征方程为:
s'
+(2g+KK®
)©
s+co;
=0
令:
2g+KKgf解出,Kf=2(§
—§
)/K®
故反馈通道传递函数为:
g
例3-15系统特征方程为
56+30s5+20b+10s'
+5代+20=0试判断系统的稳定性。
解特征式各项系数均人于零,是保证系统稳定的必要条件。
上述方程中S—次项的系
数为零,故系统肯定不稳定。
例3・16已知系统特征方程式为
s4+8,+18"
+16s+5=0
试用劳斯判据判断系统的稳定情况。
解劳斯表为
18
16
例3・17己知系统特征方程为
55+54+2s‘+2s2+3$+5=0
试判断系统稳定性。
解本例是应用劳斯判据判断系统稳定性的一种特殊情况。
如果在劳斯行列表中某一行的第一列项等于零,但其余各项不等于零或没有,这时可用一个很小的正数£
来代替为零的一项,从而可使劳斯行列表继续算下去。
劳斯行列式为
55123
54125
wa0—2
2w+2=
5
j_4£
_4_5,
2w+2
由劳斯行列表可见,第三行第一列系数为零,可用一个很小的正数£
来代替;
第四行第一列系数为(2£
+2/£
当£
趋于零时为正数;
第五行第一列系数为(一4£
—4—5卩)/(2£
+2),当£
趋于零时为-2。
由于第一列变号两次,故有两个根在右半S平面,所以系统是不稳定的。
例3・18已知系统特征方程为
十+2,+8b+12,+20,+16s+16=0
试求:
(1)在S右半平面的根的个数;
(2)虚根。
解如果劳斯行列表中某一行所有系数都等于零,则表明在根平面内存在对原点对称的实根,共轨虚根或(和)共轨复数根。
此时,可利用上一行的系数构成辅助多项式,并对辅助多项式求导,将导数的系数构成新行,以代替全部为零的一行,继续计算劳斯行列表。
对原点对称的根可由辅助方程(令辅助多项式等于零)求得。
劳斯行列表为
S6
1
8
20
S5
2
12
s4
53
由于,行中各项系数全为零,
于是可利用S4行中的系数构成辅助多项式,即
F(s)=2b+122+16
求辅助多项式对$的导数,得
原劳斯行列表中卩行各项,变为
用上述方程式的系数,即8和24代替。
此时,劳斯行列表
2.67
24
新劳斯行列表中第一列没有变号,对原点对称的根可解辅助方程求得。
令
所以没有根在右半平面。
得到
+122+16=0
s=±
7V2和s=±
j2
G(s)=“
s(as+l)(bs^+cs+l)
(1)
试求:
位置误差系数,速度误差系数和加速度误差系数;
(2)当参考输入为rxl(r),Xl(r)和卅Xl(f)时系统的稳态误差。
解根据误差系数公式,有位置误差系数为
K=I1111G(s)=liin;
=oo
•to*to+l)(bs~+cs+1)
速度误差系数为
Kv=I1111sG(s)=liins=K
$T0、tos(qs+-+cs+1)
加速度误差系数为
Ka=I1111$'
G(s)=liins2二=0
yogo$(处+])(b$・+cs+1)
对应于不同的参考输入信号,系统的稳态误差有所不同。
参考输入为rxl(Q,即阶跃函数输入时系统的稳态误差为
j===u
1+K“1+s
参考输入为rtxl(r),即斜坡函数输入时系统的稳态误差为
e=—=—
MKvK
参考输入为rrxl(O,即抛物线函数输入时系统的稳态误差为
2r
==co
例3・20单位反馈控制系统的开环传递函数为
G(s)=
$(l+7]s)(l+0s)
输入信号为r(r)A为常量,69=0.5弧度/秒。
试求系统的稳态误差。
解实际系统的输入信号,往往是阶跃函数、斜坡函数和抛物线函数等典型信号的组合。
此时,输入信号的一般形式可表示为
系统的稳态误差,町应用叠加原理求出,即系统的稳态误差是各部分输入所引起的误差的总和。
所以,系统的稳态误差可按下式计算:
对于本例,系统的稳态误差为
本题给定的开环传递函数中只含一个积分环节,即系统为1型系统,所以
Kp=s
K严卿G⑸弋Fg+G)(]+◎厂10
系统的稳态误差为
例3・21控制系统的结构图如图3-37所示。
假设输入信号为r(t)=at(Ci为任意常数)。
证明:
通过适当地调节K的值,该系统对•斜坡输入的响应的稳态误差能达到零。
图3-37例3-21控制系统的结构图
解系统的闭坏传递函数为
C(5)_K(K(s+l)
R(s)s(Ts+1)+K
小K(K”s+l)门
C(S)=Ts^s+K'
R(S)
因此
当输入信号为时,系统的稳态误差为
rd[C+(l—KK,)]aQ_KKJ
=Inn=
goTs2+s+KK
要使系统对斜坡输入的响应的稳态误差为零,即如=0,必须满足
\-KKt=0
所以
K:
=\/K
例3・22设单位负反馈系统开环传递函数为G(S)=Kr-^~。
如果要求系统的位置稳
75+1
态误差弘=0,单位阶跃响应的超调量M“%=4・3%,试问心、7;
各参数之间应保持什么关系?
解开环传递函数
尺人#KJT_研
$(7\+l)$($+丄)5(5+2^,)
显然
Il
解得:
KpKT=1/4^
M/,%=严疔x100%<
4.3%
故应有W20.707。
于是,各参数之间应有如下关系
Kf,KJ<
0.5
本例为I型系统,位置稳态误差6尸0的要求自然满足。
例3-23设复合控制系统如图3-38所示。
其中
(=2K:
=1,T2=0.25s,K艮=1
试求«
f)=(l+f+F/2)l(f)时,系统的稳态误差。
解闭坏传递函数
图3-38复合
等效单位反馈开环传递函数
6(»
匹-=2(2"
1)
1—0(S)52
表明系统为II型系统,且
K“=K=2
当r(r)=(l+r+f2/2)l(o时,稳态误差为
ess=l/Ka=0.5
例3・24己知单位反馈系统的开环传递函数G(s)=K/s(Ts+l).试选择参数K及
丁的值以满足下列指标:
(1)当心)=/时,系统的稳态误差
(2)当时,系统的动态性能指标M“%W30%,ts^Q3s(A=5%)
解e„=l<
0.02
开环增益应取KM50o现取K=60o因
故有
了=1/2做「a);
=K/T
于是co”=2Kg取M〃%=0・2%,计算得
5=54.72
此时
ts=3.5/纠=0.14<
0.3(5)
满足指标要求。
最后得所选参数为:
K=607=0.02⑸
例3・25—复合控制系统如图3・39所示。
K]、Tn人均为已知正值。
当输入量心)=广/2时,要求系统的稳态误差为零,试确定参数a和bo
解系统闭坏传递函数为
C(s)=Gfiifj+幻=G/G+G)
R(s)1+G]丿1+G&
r
误差为
代入R(s)=l/s‘及G“G「G八得
C(s)_K2[as2+(b+K{T2)s+KJ
丽一T&
+(7;
+7;
)$'
+(1+K'
KJJs+K、K,
闭坏特征方程为
7]T253+(7;
+T2)s2+(1+(心0)$+K\K?
易知,在题设条件下,不等式
(7;
+0)(1+(KJ;
)>
(K/0
成立。
由劳斯稳定判据,闭环系统稳定,且与待求参数a、b无关。
此时,讨论稳态误差是有意义的。
而
_7]T253+(7]+T2-K2a)s2+(1-K2b)s1
§
-+(T[+T2)s2+(l+KlK2T2)s+KlK2?
Tl+T2-K2a=Q
则有
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