中考数学专题复习新定义题型Word格式.docx
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=,则sin245°
+cos245°
②
sin60°
=,cos60°
=,则sin260°
+cos260°
.③
…
观察上述等式,猜想:
对任意锐角A,都有sin2A+cos2A=1
.④
(1)如图,在锐角三角形ABC中,利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想;
(2)已知:
∠A为锐角(cosA>0)且sinA=,求cosA.
思路分析:
①②③将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值;
④由前面①②③的结论,即可猜想出:
对任意锐角A,都有sin2A+cos2A=1;
(1)如图,过点B作BD⊥AC于D,则∠ADB=90°
.
利用锐角三角函数的定义得出sinA=,cosA=,则sin2A+cos2A=,再根据勾股定理得到BD2+AD2=AB2,从而证明sin2A+cos2A=1;
(2)利用关系式sin2A+cos2A=1,结合已知条件cosA>0且sinA=,进行求解.
解:
∵sin30°
=,
∴sin230°
=()2+()2=+=1;
∵sin45°
∴sin245°
∵sin60°
∴sin260°
=()2+()2=+=1.③
对任意锐角A,都有sin2A+cos2A=1.④
∵sinA=,cosA=,
∴sin2A+cos2A=()2+()2=,
∵∠ADB=90°
,
∴BD2+AD2=AB2,
∴sin2A+cos2A=1.
(2)∵sinA=,sin2A+cos2A=1,∠A为锐角,
∴cosA=.
点评:
本题考查了同角三角函数的关系,勾股定理,锐角三角函数的定义,比较简单.
对应训练
1.(2013•绵阳)我们知道,三角形的三条中线一定会交于一点,这一点就叫做三角形的重心.重心有很多美妙的性质,如关于线段比.面积比就有一些“漂亮”结论,利用这些性质可以解决三角形中的若干问题.请你利用重心的概念完成如下问题:
(1)若O是△ABC的重心(如图1),连结AO并延长交BC于D,证明:
(2)若AD是△ABC的一条中线(如图2),O是AD上一点,且满足,试判断O是△ABC的重心吗?
如果是,请证明;
如果不是,请说明理由;
(3)若O是△ABC的重心,过O的一条直线分别及AB、AC相交于G、H(均不及△ABC的顶点重合)(如图3),S四边形BCHG,S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积,试探究的最大值.
2.
(1)证明:
如答图1所示,连接CO并延长,交AB于点E.
∵点O是△ABC的重心,∴CE是中线,点E是AB的中点.
∴DE是中位线,
∴DE∥AC,且DE=AC.
∵DE∥AC,
∴△AOC∽△DOE,
∴=2,
∵AD=AO+OD,
∴=.
(2)答:
点O是△ABC的重心.
证明:
如答图2,作△ABC的中线CE,及AD交于点Q,则点Q为△ABC的重心.
由
(1)可知,=,
而=,
∴点Q及点O重合(是同一个点),
∴点O是△ABC的重心.
(3)解:
如答图3所示,连接DG.
设S△GOD=S,由
(1)知=,即OA=2OD,
∴S△AOG=2S,S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S.
为简便起见,不妨设AG=1,BG=x,则S△BGD=3xS.
∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=(3x+3)S,
∴S△ABC=2S△ABD=(6x+6)S.
设OH=k•OG,由S△AGO=2S,得S△AOH=2kS,
∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=(2k+2)S.
∴S四边形BCHG=S△ABC-S△AGH=(6x+6)S-(2k+2)S=(6x-2k+4)S.
∴==
①
如答图3,过点O作OF∥BC交AC于点F,过点G作GE∥BC交AC于点E,则OF∥GE.
∵OF∥BC,
∴,
∴OF=CD=BC;
∵GE∥BC,
∴GE=;
∴=,
∵OF∥GE,
∴k=,代入①式得:
==-x2+x+1=-(x-)2+,
∴当x=时,有最大值,最大值为.
考点二:
运算题型中的新定义
例2(2013•河北)定义新运算:
对于任意实数a,b,都有a⊕b=a(a-b)+1,等式右边是通常的加法、减法及乘法运算,比如:
2⊕5=2×
(2-5)+1=2×
(-3)+1=-6+1=-5。
(1)求(-2)⊕3的值;
(2)若3⊕x的值小于13,求x的取值范围,并在图所示的数轴上表示出来.
(1)按照定义新运算a⊕b=a(a-b)+1,求解即可;
(2)先按照定义新运算a⊕b=a(a-b)+1,得出3⊕x,再令其小于13,得到一元一次不等式,解不等式求出x的取值范围,即可在数轴上表示.
(1)∵a⊕b=a(a-b)+1,
∴(-2)⊕3=-2(-2-3)+1=10+1=11;
(2)∵3⊕x<13,
∴3(3-x)+1<13,
9-3x+1<13,
-3x<3,
x>-1.
在数轴上表示如下:
本题考查了有理数的混合运算及一元一次不等式的解法,属于基础题,理解新定义法则是解题的关键.
2.(2013•十堰)定义:
对于实数a,符号[a]表示不大于a的最大整数.例如:
[5.7]=5,[5]=5,[-π]=-4.
(1)如果[a]=-2,那么a的取值范围是-2≤a<-1
(2)如果[]=3,求满足条件的所有正整数x.
2.解:
(1)∵[a]=-2,
∴a的取值范围是-2≤a<-1;
(2)根据题意得:
3≤[]<4,
解得:
5≤x<7,
则满足条件的所有正整数为5,6.
考点三:
探索题型中的新定义
例3(2013•钦州)定义:
直线l1及l2相交于点O,对于平面内任意一点M,点M到直线l1、l2的距离分别为p、q,则称有序实数对(p,q)是点M的“距离坐标”,根据上述定义,“距离坐标”是(1,2)的点的个数是( )
A.2B.3C.4D.5
“距离坐标”是(1,2)的点表示的含义是该点到直线l1、l2的距离分别为1、2.由于到直线l1的距离是1的点在及直线l1平行且及l1的距离是1的两条平行线a1、a2上,到直线l2的距离是2的点在及直线l2平行且及l2的距离是2的两条平行线b1、b2上,它们有4个交点,即为所求.
如图,
∵到直线l1的距离是1的点在及直线l1平行且及l1的距离是1的两条平行线a1、a2上,
到直线l2的距离是2的点在及直线l2平行且及l2的距离是2的两条平行线b1、b2上,
∴“距离坐标”是(1,2)的点是M1、M2、M3、M4,一共4个.
故选C.
本题考查了点到直线的距离,两平行线之间的距离的定义,理解新定义,掌握到一条直线的距离等于定长k的点在及已知直线相距k的两条平行线上是解题的关键.
3.(2013•台州)如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个三角形为“好玩三角形”.
(1)请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”;
(2)如图在Rt△ABC中,∠C=90°
,tanA=,求证:
△ABC是“好玩三角形”;
(3))如图2,已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=2β,点P,Q从点A同时出发,以相同速度分别沿折线AB-BC和AD-DC向终点C运动,记点P经过的路程为s.
①当β=45°
时,若△APQ是“好玩三角形”,试求的值;
②当tanβ的取值在什么范围内,点P,Q在运动过程中,有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”.请直接写出tanβ的取值范围.
(4)(本小题为选做题,作对另加2分,但全卷满分不超过150分)
依据(3)的条件,提出一个关于“在点P,Q的运动过程中,tanβ的取值范围及△APQ是‘好玩三角形’的个数关系”的真命题(“好玩三角形”的个数限定不能为1)
3.解:
(1)如图1,①作一条线段AB,
②作线段AB的中点O,
③作线段OC,使OC=AB,
④连接AC、BC,
∴△ABC是所求作的三角形.
(2)如图2,取AC的中点D,连接BD
∵∠C=90°
,tanA=,
∴设BC=x,则AC=2x,
∵D是AC的中点,
∴CD=AC=x
∴BD==2x,
∴AC=BD
∴△ABC是“好玩三角形”;
(3)①如图3,当β=45°
,点P在AB上时,
∴∠ABC=2β=90°
∴△APQ是等腰直角三角形,不可能是“好玩三角形”,
当P在BC上时,连接AC交PQ于点E,延长AB交QP的延长线于点F,
∵PC=CQ,
∴∠CAB=∠ACP,∠AEF=∠CEP,
∴△AEF∽△CEP,
∴.
∵PE=CE,
Ⅰ当底边PQ及它的中线AE相等时,即AE=PQ时,
=2,
Ⅱ当腰AP及它的中线QM相等,即AP=QM时,
作QN⊥AP于N,如图4
∴MN=AN=MP.
∴QN=MN,
∴tan∠APQ==,
∴tan∠APE==,
∴=+。
②由①可知,当AE=PQ和AP=QM时,有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”,
∴<tanβ<2时,有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”.
(4)由(3)可以知道0<tanβ<,
则在P、Q的运动过程中,使得△APQ成为“好玩三角形”的个数为2.
考点四:
开放题型中的新定义
例4(2013•宁波)若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形,我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线,这个四边形叫做和谐四边形.如菱形就是和谐四边形.
(1)如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=120°
,∠C=75°
,BD平分∠ABC.求证:
BD是梯形ABCD的和谐线;
(2)如图2,在12×
16的网格图上(每个小正方形的边长为1)有一个扇形BAC,点A.B.C均在格点上,请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D,使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线,并画出相应的和谐四边形;
(3)四边形ABCD中,AB=AD=BC,∠BAD=90°
,AC是四边形ABCD的和谐线,求∠BCD的度数.
(1)要证明BD是四边形ABCD的和谐线,只需要证明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以;
(2)根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等,只要D在上任意一点构成的四边形ABDC就是和谐四边形;
连接BC,在△BAC外作一个以AC为腰的等腰三角形ACD,构成的四边形ABCD就是和谐四边形,
(3)由AC是四边形ABCD的和
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