全国统一考试考前适应性数学文科试题三及解析.docx

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全国统一考试考前适应性数学文科试题三及解析

绝密★启用前

2018届高考考前适应性试卷

文科数学（三）

注意事项：

1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则等于（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】由中不等式变形得，解得，即，，故选B．

2．下列命题中，，为复数，则正确命题的个数是（）

①若，则；②若，，，且，则；

③的充要条件是．

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】由，在复数集中可得，对于①，若，则，错误，如，，故①错误；②中的复数不能比较大小，故②错误．③中，时也成立，故③错误．故选A．

3．设为等比数列的前项和，，则（）

A．B．C．或D．或

【答案】C

【解析】根据题意，在等比数列中有，解得或，则或．故选C．

4．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】由三视图可知：

该几何体为四棱锥，由体积公式易得．

故选A．

5．已知，则（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】根据诱导公式得到，，

结合两式得到．故答案为：

C．

6．已知函数，执行如图所示的程序框图，则输出的值是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】，，从而模拟程序运行，可得程序框图的功能是求

时的最小值，解得，，则输出的值是．故选C．

7．如图，在圆中，若，，则的值等于（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】如图所示，

过点作交于点，连接，则为的中点，，

∴．又，，

，故选C．

8．实数，，满足且，则下列关系式成立的是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】∵，∴，又∵，∴，∴，

∴，∴，综上，可得．故选A．

9．已知变量，满足约束条件，则的概率是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】由变量，满足约束条件，画出可行域如图所示，

则的几何意义是可行域内的点与连线的斜率不小于，由图形可知，直线与直线的交点为，直线与的交点为，∴的概率是，则的概率是．故选D．

10．已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】由于是定义在上的奇函数，∴，且在上为增函数，

∴是上的增函数，∵，所以，∴，∴．故选A．

11．如图，在底面为矩形的四棱锥中，平面，，分别为棱，上一点，已知，，，且平面，四面体的每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】在棱上取一点，使得，，，则平面，

又平面，，平面平面，又平面平面，平面平面，，，故四面体可以补成一个长方体，且长，宽，高分别为，，，所以球的表面积为．故选C．

12．在双曲线的右支上存在点，使得点与双曲线的左、右焦点，形成的三角形的内切圆的半径为，若的重心满足，则双曲线的离心率为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】如图，

由平行于轴得，则，所以的面积，又，则，，由焦半径公式，得，因此代入双曲线方程得，可得，，即．故选C．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。

第（13）~（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第（22）~（23）题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分。

13．命题“，”的否定是__________．

【答案】，．

【解析】命题“，”的否定是“，”．

即答案为，．

14．在中，角的平分线长为，角，，则__________．

【答案】．

【解析】设角的平分线为，由正弦定理得，即，得，，，，．即答案为．

15．抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，且满足，点为原点，则的面积为__________．

【答案】．

【解析】如图，

由题可得，，由，所以，又根据可得，即，即，可以求得，，所以点的坐标为或，，即答案为2．

16．已知函数的周期为，当时，函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是__________．

【答案】．

【解析】由题得．，．

∴．∵，∴，．

由得，即的图象与直线恰有两个交点，结合图象可知，即．故填．

三、解答题：

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知数列的前项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前项和．

【答案】

（1）；

（2）．

【解析】

（1）当时，，得，

当时，有，

所以，

即，所以时，，

所以是公比为，首项为的等比数列，

所以，当时，满足该通项公式，

故通项公式为．

（2），

．

18．（12分）如图所示，在四棱锥中，底面四边形是边长为的正方形，，．

（1）求证：

平面平面；

（2）若点为中点，求三棱锥的体积．

【答案】

（1）见解析；

（2）．

【解析】

（1）在中，有，

，同理可得：

，平面，

又平面，

平面平面．

（2）由为中点，可知点到平面的距离等于点到平面的距离的一半．

由

（1）知平面，则，

故所求体积为．

19．（12分）在甲地，随着人们生活水平的不断提高，进入电影院看电影逐渐成为老百姓的一种娱乐方式．我们把习惯进入电影院看电影的人简称为“有习惯”的人，否则称为“无习惯的人”．某电影院在甲地随机调查了位年龄在岁到岁的市民，他们的年龄的频数分布和“有习惯”的人数如下表：

（1）以年龄岁为分界点，请根据个样本数据完成下面列联表，并判断是否有的把握认为“有习惯”的人与年龄有关；

小于45岁

不小于45岁

合计

“有习惯”的人数

“无习惯”的人数

合计

100

（2）已知甲地从岁到岁的市民大约有万人，以频率估计概率，若每张电影票定价为元，则在“有习惯”的人中约有的人会买票看电影（为常数）．已知票价定为元的某电影，票房达到了万元．某新影片要上映，电影院若将电影票定价为元，那么该影片票房估计能达到多少万元？

参考公式：

，其中．

参考临界值

【答案】

（1）见解析；

（2）77万元．

【解析】

（1）

小于45岁

不小于45岁

合计

“有习惯”的人数

52

18

70

“无习惯”的人数

8

22

30

合计

60

40

100

．

所以有的把握认为“有习惯”的人与年龄有关．

（2）依题意，有，

∴．

∴（万元）.

估计新影片上映票房能达到万元．

20．（12分）设椭圆的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点，的距离之和是．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知过的直线与椭圆交于，两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值．

【答案】

（1）；

（2）．

【解析】

（1）依题意，，，

因为，所以，，

所以椭圆方程为；

（2）设，，，

则由，可得，

即，，

又因为，所以四边形是平行四边形，

设平面四边形的面积为，

则，

设，则，

所以，因为，所以，所以，

所以四边形面积的最大值为．

21．（12分）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围．

【答案】

（1）见解析；

（2）．

【解析】

（1）．

①当时，由，得，则，

所以函数的单调递减区间是；

②当时，由得，

所以当时，，当时，，

所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是．

综上所述，当时，函数的单调递减区间是；

当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是．

（2）依题意，要满足对任意，均存在，使得，

只需满足．

因为，，所以，

由

（1）知，当时，函数在区间上单调递减，值域为，不符合题意；

当时，，符合题意；

当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以，

令，解得

综上，的取值范围是．

请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22．（10分）选修4-4：

坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），已知直线的方程为．

（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最小值；

（2）若曲线上的所有点均在直线的右下方，求的取值范围．

【答案】

（1）；

（2）．

【解析】

（1）依题意，设，

则点到直线的距离，

当，即，时，，

故点到直线的距离的最小值为．

（2）因为曲线上的所有点均在直线的右下方，

所以对，有恒成立，

即（其中）恒成立，

所以，

又，所以．

故的取值范围为．

23．（10分）选修4-5：

不等式选讲

已知函数，，．

（1）若，求不等式的解集；

（2）若对任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】

（1）；

（2）．

【解析】

（1）当时，．

，

①当时，恒成立，∴；

②当时，，即，即或．

综合可知：

；

③当时，，则或，综合可知：

．

由①②③可知：

．

（2）当时，，的最大值为，

要使恒成立，故只需，

则，∴；

当时，，的最大值为，

要使恒成立，故只需，

∴，从而．

综上讨论可知：

．