中考数学知识点过关培优训练相交弦定理圆附答案文档格式.docx
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10.如图,⊙O的直径AB=8,弧AC=弧BC,E为OB上一点,∠AEC=60°
,CE的延长线交⊙O于D,则CD的长为( )
A.6B.4C.D.
11.如图在一次游园活动中有个投篮游戏,活动开始时四个人A、B、C、D在距篮筐P都是5米处站好,篮球放在AC和BD的交点O处,已知取篮球时A要走6米,B要走3米,C要走2米,则D要走( )
A.2米B.3米C.4米D.5米
12.如图,已知AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,CD⊥AB于D,AD=9,BD=4,以C为圆心,CD为半径的圆与⊙O相交于P,Q两点,弦PQ交CD于E,则PE•EQ的值是( )
A.24B.9C.6D.27
二.填空题
13.如图,在⊙O中,弦BC,DE交于点P,延长BD,EC交于点A,BC=10,BP=2CP,若=,则DP的长为 .
14.如图,⊙O中两条弦AB、CD相交于点P,已知PA=3,PB=4,PC=2,那么PD长为 .
15.如图,⊙O的弦AB、CD相交于点E,若AE:
DE=3:
5,则AC:
BD= .
16.如图,⊙O中弦AB,CD相交于点P,已知AP=3,BP=2,CP=1,则DP= .
17.已知弦AB和弦CD相交于⊙O内一点P,AP=8,BP=3,PD=PC,则CD= .
18.在⊙O中,弦AB,CD相交于点E,AE=2cm,BE=6cm,DE=3cm,则CE= cm;
学以致用:
点P是直径为10的⊙Q中一点且PQ=2,过点P作弦HK,则线段PH与线段PK的积等于 .
19.⊙O的直径AB垂直弦CD于P,且P是半径OB的中点,CD=6cm,则直径AB的长是 cm.
20.如图,⊙O的弦AB、CD相交于点E,若CE:
BE=2:
3,则AE:
DE= .
三.解答题
21.如图,弦AB与CD相交于⊙O内一点P,PC>PD.
(1)试说明:
△PAC∽△PDB;
(2)设PA=4,PB=3,CD=8,求PC、PD的长.
22.如图,在⊙O中,弦AD,BC相交于点E,连接OE,已知AD=BC,AD⊥CB.
(1)求证:
AB=CD;
(2)如果⊙O的直径为10,DE=1,求AE的长.
23.如图,已知圆O,弦AB、CD相交于点M.
AM•MB=CM•MD;
(2)若M为CD中点,且圆O的半径为3,OM=2,求AM•MB的值.
24.已知G是△ABC的重心,过A、G的圆与BG切于G,CG的延长线交圆于D,求证:
AG2=GC•GD.
25.如图,
(1)已知:
P为半径为5的⊙O内一点,过P点最短的弦长为8,则OP=
(2)在
(1)的条件下,若⊙O内有一异于P点的Q点,过Q点的最短弦长为6,且这两条弦平行,求PQ的长.
(3)在
(1)的条件下,过P点任作弦MN、AB,试比较PM•PN与PA•PB的大小关系,且写出比较过程.你能用一句话归纳你的发现吗?
(4)在
(1)的条件下,过P点的弦CD=,求PC、PD的长.
26.已知:
如图所示,BC为圆O的直径,A、F是半圆上异于B、C的一点,D是BC上的一点,BF交AH于点E,A是弧BF的中点,AH⊥BC.
AE=BE;
(2)如果BE•EF=32,AD=6,求DE、BD的长.
27.如图1,在直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),以OA为边在第四象限内作等边△AOB,点C为x轴的正半轴上一动点(OC>1),连接BC,以BC为边在第四象限内作等边△CBD,直线DA交y轴于点E.
(1)试问△OBC与△ABD全等吗?
并证明你的结论;
(2)随着点C位置的变化,点E的位置是否会发生变化?
若没有变化,求出点E的坐标;
若有变化,请说明理由;
(3)如图2,以OC为直径作圆,与直线DE分别交于点F、G,设AC=m,AF=n,用含n的代数式表示m.
参考答案
1.解:
∵∠P=∠P,∠A=∠D,
∴△PAB∽△PDC,
∴=,
∴PB•PD=PC•PA,
故选:
D.
2.解:
EC=AC﹣AE=,
由相交弦定理得,AE•EC=DE•BE,
则DE==,
∴BD=DE+BE=,
B.
3.解:
∵AP•BP=CP•DP,
∴PD=,
∵AP=6,BP=8,CP=4,
∴PD=12,
∴CD=PC+PD=12+4=16.
A.
4.解:
如图,设⊙O的半径为r,QO=m,则QP=m,QC=r+m,
QA=r﹣m.
在⊙O中,根据相交弦定理,得QA•QC=QP•QD.
即(r﹣m)(r+m)=m•QD,所以QD=.
连接DO,由勾股定理,得QD2=DO2+QO2,
即,
解得
所以,
5.解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=90°
,
∴AE===,
∵BC=3,BE=1,∴CE=2,
由相交弦定理得:
AE•EF=BE•CE,
∴EF==,
∴AF=AE+EF=;
6.解:
∵AP=3,BP=4,CP=2,
∴PD=6,
∴CD=PC+PD=2+6=8.
C.
7.解:
连接OD,过圆心O作OH⊥CD于点H.
∴DH=CH=CD(垂径定理);
∵CD=2,
∴DH=.
又∵AE=6,BE=2,
∴AB=8,
∴OA=OD=4(⊙O的半径);
∴OE=2;
∴在Rt△ODH中,OH===(勾股定理);
在Rt△OEH中,sin∠OEH==,
∴∠OEH=45°
即∠AED=45°
.
8.解:
延长CP交圆于一点D,连接OC,
∵PC⊥OP,
∴PC=PD,
∴PC2=PA•PB,
∵AP=4,PB=1,
∴PC2=4×
1,
∴PC=2,
∴OP===.
9.解:
∵CD⊥AB,∴CE=DE,
∴CE2=AE•BE,
∵AB=10cm,且AE:
3,
∴AE=4cm,EB=6cm,
∴CE=2cm,
∴AC===2cm.
10.【解答】解:
连接OC、OD,过点O作OF⊥CD于点F.
∵AB是⊙O的直径,C为弧AB的中点,
∴∠AOC=∠BOC=90°
(等弧所对的圆心角相等);
又∵O是圆心,OF⊥CD,
∴CF=DF=CD,(垂径定理);
在Rt△OEC中,
∵∠AEC=60°
∴∠OCE=30°
(直角三角形的两个锐角互余);
∴在Rt△OCF中,CF=OC•cos30°
;
又AB=8,
∴OC=4;
∴CF=4×
=2
∴CD=2CF=4.
11.解:
根据题意得:
A、B、C、D在以P为圆心,半径是5米的圆上.
∴OA•OC=OB•OD,即6×
2=3×
OD.
解得OD=4.
12.解:
延长DC交⊙C于M,延长CD交⊙O于N.
∵CD2=AD•DB,AD=9,BD=4,
∴CD=6.
在⊙O、⊙C中,由相交弦定理可知,PE•EQ=DE•EM=CE•EN,
设CE=x,则DE=6﹣x,EN=6﹣x+6
则(6﹣x)(x+6)=x(6﹣x+6),
解得x=3.
所以,CE=3,DE=6﹣3=3,EM=6+3=9.
所以PE•EQ=3×
9=27.
二.填空题(共8小题)
13.解:
如图,作CH∥DE交AB于H.设DP=2a.
∵PD∥CH,
∴===,
∴CH=3a,
∵BD:
AD=2:
∴AH:
∴CH∥DE,
∴==,
∴DE=a,
∴PE=a﹣2a=a,
∵BC=10,BP:
PC=2:
∴PB=,PC=,
∵PB•PC=PD•PE,
∴5a2=,
∴a=(负根已经舍弃),
∴PD=2a=.
故答案为.
14.解:
∵两条弦AB、CD相交于点P,
∵PD•PC=PA•PB,
∴PD==6.
故答案为6.
15.解:
∵弦AB、CD相交于点E,
∴∴∠C=∠B,
∠A=∠D,
∴△ACE∽△DBE,
故答案为:
3:
5.
16.解:
由相交弦定理得,AP•BP=CP•DP,
则DP==6,
6.
17.解:
∵弦AB和弦CD相交于⊙O内一点P,
∴PA•PB=PC•PD,
而AP=8,BP=3,PD=PC,
∴PC2=8×
3=24,
∴CD=2PC=4.
故答案为4.
18.解:
∵AE•BE=CE•DE,
∴2×
6=3×
CE,
∴CE=4;
如图,过P点的直径为MN,
∵PQ=2,
∴PM=QM﹣PQ=5﹣2=3,PN=QN+PQ=5+2=7,
∵PH•PK=PM•PN,
∴PH•PK=3×
7=21.
故答案为4;
21.
19.解:
∵AB为⊙O的直径,AB⊥CD,CD=6cm,
∴CP=PD=3cm,
∵P是半径OB的中点,
∴设PB=x,则AP=3x,
由相交弦定理得,CP•PD=AP•PB,
即3×
3=3x•x,解得x=cm,
∴AP=3cm,PB=cm,
∴直径AB的长是3+=4cm.
20.解:
∵⊙O的弦AB、CD相交于点E,
∴AE•BE=CE•DE,
∴AE:
DE=CE:
2:
3.
三.解答题(共7小题)
21.
(1)证明:
由圆周角定理得,∠A=∠D,∠C=∠B,
∴△PAC∽△PDB;
(2)解:
由相交弦定理得到,PA•PB=PC•PD,即3×
4=PC×
(8﹣PC),
解得,PC=2或6,
则PD=6或2,
∴PC=2或6,PD=6或2.
22.
(1)证明:
如图,∵AD=BC,
∴﹣=﹣,即=,
∴AB=CD;
(2)如图,过O作OF⊥AD于点F,作OG⊥BC于点G,连接OA、OC.
则AF=F
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