快速傅里叶变换FFT试题.docx
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快速傅里叶变换FFT试题
快速傅里叶变换(FFT)试题
第一章 填空题 快速傅里叶变换 如果序列x(n)是一长度为64点的有限长序列(0?
的有限长序列(0?
n?
63),序列h(n)是一长度为128点 ,则y(n)为 点的序列,如果n?
127),记y(n)?
x(n)?
h(n) 采用基2FFT算法以快速卷积的方式实现线性卷积,则FFT的点数至少为 点。
解:
64+128-1=191点;256
(2)如果一台通用机算计的速度为:
平均每次复乘需100?
s,每次复加需20?
s,今用来计算N=1024点的DFT[x(n)]。
问直接运算需时间,用FFT运算需要时间。
解:
①直接运算:
需复数乘法N次,复数加法NT1?
N2?
100?
N?
20?
125808640?
s?
②基2FFT运算:
需复数乘法 Nlog2N次,复数加法Nlog2N次。
2用FFT计算1024点DTF所需计算时间T2为 NT2?
log2N?
100?
Nlog2N?
20?
716800?
s?
。
2(3)快速傅里叶变换是基于对离散傅里叶变换 和利用旋转因子e来减少计算量,其特点是_______、_________和__________。
解:
长度逐次变短;周期性;蝶形计算、原位计算、码位倒置N点的FFT的运算量为复乘 、复加 。
解:
选择题 1.在基2DIT—FFT运算中通过不断地将长序列的DFT分解成短序列的DFT,最后达到2点DFT来降低运算量。
若有一个64点的序列进行基2DIT—FFT运算,需要分解 次,方能完成运算。
D.8解:
B 2.在基2DIT—FFT运算时,需要对输入序列进行倒序,若进行计算的序列点数N=16,倒序前信号点序号为8,则倒序后该信号点的序号为 。
A.8 B.16 C.1 D.4解:
C 3.在时域抽取FFT运算中,要对输入信号x(n)的排列顺序进行“扰乱”。
在16点FFT中,原来x(9) ?
j2?
kN的 ?
NNL?
log2N;aF?
NL?
Nlog2N22的位置扰乱后信号为:
。
A.x(7) B.x(9) C.x
(1) D.x(15)解:
B 4.用按时间抽取FFT计算N点DFT所需的复数乘法次数与( )成正比。
解:
D 5.直接计算N点DFT所需的复数乘法次数与( )成正比。
解:
B 点FFT所需的复数乘法次数为( )。
解:
D 7.下列关于FFT的说法中错误的是( )。
是一种新的变换 是DFT的快速算法 基本上可以分成时间抽取法和频率抽取法两类D.基2FFT要求序列的点数为2L(其中L为整数)解:
A 8.不考虑某些旋转因子的特殊性,一般一个基2FFT算法的蝶形运算所需的复数乘法及复数加法次数分别为( )。
和2和1解:
A 9.计算N=2L点的按时间抽取基-2FFT需要( )级蝶形运算。
A.L解:
A 10.基-2FFT算法的基本运算单元为( )A.蝶形运算C.相关运算解:
A 11.计算256点的按时间抽取基-2FFT,在每一级有______个蝶形。
( ) B.卷积运算D.延时运算 /2 /2 和1和2 D.(N/2)log2N 解:
C 12.如图所示的运算流图符号是_______基2FFT算法的蝶形运算流图符号。
( )A.按频率抽取B.按时间抽取、B项都是、B项都不是解:
B 13.求序列x(n)的1024点基2—FFT,需要_____次复数乘法。
( )×10解:
C 问答题 1.简述频域抽选法和时域抽选法的异同。
答:
相同点:
进行原位运算运算量相同,均为 ×1024×10 Nlog2N次复乘、Nlog2N次2复加;不同点:
时域抽选法输入为倒位序,输出为自然顺序。
频域抽选法正好与此相反,但时域抽选法也有输入为自然顺序、输出为倒位序的情况蝶形运算不同2.回答以下问题:
画出按时域抽取N?
4点基2FFT的信号流图。
?
(2,1,3,4)的DFT。
利用流图计算4点序列x(n)试写出利用FFT计算IFFT的步骤。
解:
x(0)x
(2)x
(1)x(3)Q0(0)Q0
(1)?
1Q(0)Q1
(1)?
11X(0)?
j?
1jX
(1)X
(2)X(3) r01k0W20W2011W20W2l01k0W40W4011W40W423W40W42W40W43 4点按时间抽取FFT流图 加权系数 ?
Q0(0)?
x(0)?
x
(2)?
2?
3?
5 ?
?
Q0
(1)?
x(0)?
x
(2)?
2?
1?
?
1?
Q1(0)?
x
(1)?
x(3)?
1?
4?
5?
?
Q1
(1)?
x
(1)?
x(3)?
1?
4?
?
3X(0)?
Q0(0)?
Q1(0)?
5?
5?
10 X
(1)?
Q0
(1)?
W41Q1
(1)?
?
1?
j?
3 X
(2)?
Q0(0)?
W42Q1(0)?
5?
5?
0 X(3)?
Q0
(1)?
W43Q1
(1)?
?
1?
3j 即:
X(k)?
(10,?
1?
3j,0,?
1?
3j),k?
0,1,2,3 具体步骤如下:
1)对 X(k)取共轭,得X*(k); ?
2)对X(k)做N点FFT; 3)对2)中结果取共轭并除以N。
3.已知两个N点实序列 x(n)和y(n)得DFT分别为X(k)和Y(k),现在需要求出序列x(n)和 y(n),试用一次N点IFFT运算来实现。
解:
依据题意 x(n)?
X(k),y(n)?
Y(k) Z(k)?
X(k)?
jY(k) 取序列 对Z(k)作N点IFFT可得序列又根据DFT性质 z(n)。
IDFT[X(k)?
jY(k)]?
IDFT[X(k)?
jIDFT[Y(k)]?
x(n)?
jy(n) 原题可知, x(n),y(n)都是实序列。
再根据z(n)?
x(n)?
jy(n),可得 x(n)?
Re[z(n)]y(n)?
Im[z(n)] 计算题 1.对于长度为8点的实序列x(n),试问如何利用长度为4点的FFT计算x(n)的8点DFT?
写出其表达式,并画出简略流程图。
解:
X(k)?
?
x(n)W8nkn?
07 ?
?
x(2r)Wr?
0332rk8?
?
x(2r?
1)W8(2r?
1)kr?
0k83 ?
?
g(r)Wr?
0rk4?
W?
h(r)Wr?
033rk4 ① ?
G(k)?
W8kH(k),k?
0,1,2,3X(k?
1)?
?
g(r)Wr?
03r(k?
4)4?
W3k?
48?
h(r)Wr?
0rk4r(k?
4)4 ?
?
g(r)Wr?
03rk4?
Wk8?
h(r)Wr?
0 ② ?
G(k)?
W8kH(k),k?
0,1,2按照式①和式②可画出如下图所示的流程图。
x(0)x
(2)G(0)x(4)x(6)x
(1)x(3)x(5)4点DFTG
(1)X(0)X
(1)G
(2)G(3)H(0)W80X
(2)X(3)?
1?
14点H
(2)W82DFT3H(3)W8H
(1)W81x(7)2. ?
1?
1X(4)X(5)X(6)X(7) X[k]是N点序列x(n)的DFT,N为偶数。
两个 N2点序列定义为 x1[n]?
1(x[2n]?
x[2n?
1])21N(x[2n]?
x[2n?
1]),0?
n?
?
122NX1[k]和X2[k]分别表示序列x1[n]和x2[n]的点DFT,试X1[k]和X2[k]确定x[n]N 2x2[n]?
N?
12k?
0N?
1l?
0ml2N2点DFT。
解:
DFT ?
x[2k]?
?
?
x[2k]W?
?
x[l]L?
0N?
1mkN2?
?
x[l]W 1?
W1NmlWN?
(X[m]?
X[m?
])222N?
1l?
0m2 ?
?
x[l]l?
0N?
1(1?
W2)ml?
mWNWN?
1N?
m(X[m]?
X[m?
]WN22X1[m]?
X2[m]?
11NN?
m?
m(1?
WN)X[m]?
(1?
WN)X[m?
],0?
m?
?
1442211NN?
m?
m(1?
WN)X[m]?
(1?
WN)X[m?
],0?
m?
?
14422解上述方程可得 mmX[m]?
(1?
WN)X1[m]?
(1?
WN)X2[m],0?
m?
N?
12
X[m?
NNmm]?
(1?
WN)X1[m]?
(1?
WN)X2[m],0?
m?
?
122现在需要X(k)X(k)的各个数值(k?
0,1,...,2N?
1), 3.已知长度为2N的实序列x(n)的DFT 计算x(n),为了提高效率,请设计用一次N点IFFT来完成。
解:
如果将x(n)按奇偶分为两组,即令 u(n)?
x(2n)?
?
v(n)?
x(2n?
1)?
那么就有 n?
0,1,2,?
N?
1 X(k)?
U(k)?
W2kNV(k)?
?
X(k?
N)?
U(k)?
W2kNV(k)?
k?
0,1,2,?
N?
1 其中U(k)、V(k)分别是实序列u(n)、v(n)的N点DFT,U(k)、V(k)可以上式解出 1?
X(k)?
X(k?
N)?
?
?
2?
1?
kV(k)?
W2N?
X(k)?
X(k?
N)?
?
2?
U(k)?
于 就得到了U(k)和V(k)。
令 k?
0,1,2,?
N?
1 X(k)(k?
0,1,...,2N?
1)是已知的,因此可以将X(k)前后分半按上式那样组合起来,于是 y(n)?
u(n)?
jv(n) 根据U(k)、V(k),做一次N点IFFT运算,就可以同时得到u(n)和v(n)(n?
0,1,...,N?
1) 它们分别是x(n)的偶数点和奇数点序列,于是序列x(n)(n?
0,1,...,2N?
1)也就求出了。
4-7采用FFT算法,可用快速卷积完成线性卷积。
现预计算线性卷积x(n)?
h(n),试写采用快速卷积的计算步骤。
答:
如果x(n),h(n)的长度分别为N1,N2,那么用长度N?
N1?
N2?
?
1的圆周卷积可计算线性卷 积。
用FFT运算来求x(n)?
h(n)值的步骤如下:
对序列x(n),h(n)补零至长为N,使N整数),即 ?
N1?
N2?
?
1,并且N?
2M(M为 n?
0,1,...N1?
1?
x(n)x(n)?
?
n?
N1,N1?
1,...N?
1?
0n?
0,1,...,N2?
1?
h(n)h(n)?
?
0n?
N,N?
1,...,N?
122?
用FFT计算x(n),h(n)的离散傅立叶变换 x(n)?
FFT?
?
?
X(k) h(n)?
FFT?
?
?
H(k) 计算Y(k)?
X(k)H(k) 用IFFT计算Y(k)的离散傅立叶变换得:
x(n)?
h(n)?
IFFT[Y(k)] 4-8试推导时域抽取基-2FFT算法,并画出8点的FFT计算流图。
解:
nkX?
k?
?
?
x?
n?
WNn?
0N?
1 N2?
1?
?
x?
2r?
Wr?
0N2?
12rkN?
?
x?
2r?
1?
W?
r?
0N2?
1kN2r?
1?
kN N2?
1?
?
x?
2r?
?
W?
r?
0rkN22rkN?
W?
x?
2r?
1?
?
W?
r?
0rkN22rkN N2?
1?
?
x?
2r?
Wr?
0N2?
1?
WkN?
x?
2r?
1?
Wr?
0 k?
G?
k?
?
WNH?
k?
其中 N2?
1?
rk?
G?
k?
?
?
x?
2r?
WN2?
r?
0?
N2?
1?
H?
k?
?
x?
2r?
1?
WNrk2?
?
r?
0?
G?
k?
和H?
k?
分别是x?
2r?
和x?
2r?
1?
的 所以:
N2点的DFT,周期为 N2。
?
N?
?
N?
G?
?
k?
?
G?
k?
,H?
?
k?
?
H?
k?
?
2?
?
2?
?
WNN2?
k?
又因为:
?
e?
j2?
?
N?
?
?
k?
N?
2?
k?
?
WNNk?
N?
N?
N?
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?
?
kX?
k?
?
?
G?
k?
?
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