胡不归问题Word格式.docx
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三.解答题(共5小题)
4.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣1,0),B(0,﹣),C(2,0),其对称轴与x轴交于点D
(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标;
(2)若P为y轴上的一个动点,连接PD,则PB+PD的最小值为 ;
(3)M(x,t)为抛物线对称轴上一动点
①若平面内存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形为菱形,则这样的点N共有 个;
②连接MA,MB,若∠AMB不小于60°
,求t的取值范围.
5.如图,在△ACE中,CA=CE,∠CAE=30°
,⊙O经过点C,且圆的直径AB在线段AE上.
(1)试说明CE是⊙O的切线;
(2)若△ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示⊙O的直径AB;
(3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点),连接OD,当CD+OD的最小值为6时,求⊙O的直径AB的长.
6.如图,已知抛物线y=(x+2)(x﹣4)(k为常数,且k>0)与x轴从左至右依次交于A,B两点,与y轴交于点C,经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D.
(1)若点D的横坐标为﹣5,求抛物线的函数表达式;
(2)若在第一象限内的抛物线上有点P,使得以A,B,P为顶点的三角形与△ABC相似,求k的值;
(3)在
(1)的条件下,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止,当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少?
7.
(1)如图1,已知正方形ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,求PD+的最小值和PD﹣的最大值;
(2)如图2,已知正方形ABCD的边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点,那么PD+的最小值为 ,PD﹣的最大值为 .
(3)如图3,已知菱形ABCD的边长为4,∠B=60°
,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,那么PD+的最小值为 ,PD﹣的最大值为 .
8.如图1,抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点E(m,0)(0<m<4),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM⊥AB于点M.
(1)求a的值和直线AB的函数表达式;
(2)设△PMN的周长为C1,△AEN的周长为C2,若=,求m的值;
(3)如图2,在
(2)条件下,将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′,旋转角为α(0°
<α<90°
),连接E′A、E′B,求E′A+E′B的最小值.
参考答案与试题解析
1.如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点,过B的直线交抛物线于E,且tan∠EBA=,有一只蚂蚁从A出发,先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处,再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食,则蚂蚁从A到E的最短时间是 s.
【分析】过点E作x轴的平行线,再过D点作y轴的平行线,两线相交于点H,如图,利用平行线的性质和三角函数的定义得到tan∠HED=tan∠EBA==,设DH=4m,EH=3m,则DE=5m,则可判断蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等,于是得到蚂蚁从A出发,先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处,再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点,再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间,利用两点之间线段最短得到AD+DH的最小值为AQ的长,接着求出A点和B点坐标,再利用待定系数法求出BE的解析式,然后解由直线解析式和抛物线解析式所组成的方程组确定E点坐标,从而得到AQ的长,然后计算爬行的时间.
【解答】解:
过点E作x轴的平行线,再过D点作y轴的平行线,两线相交于点H,如图,
∵EH∥AB,
∴∠HEB=∠ABE,
∴tan∠HED=tan∠EBA==,
设DH=4m,EH=3m,则DE=5m,
∴蚂蚁从D爬到E点的时间==4(s)
若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s,则蚂蚁从D爬到H点的时间==4(s),
∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等,
∴蚂蚁从A出发,先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处,再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点,再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间,
作AG⊥EH于G,则AD+DH≥AH≥AG,
∴AD+DH的最小值为AQ的长,
当y=0时,x2﹣2x﹣3=0,解得x1=﹣1,x2=3,则A(﹣1,0),B(3,0),
直线BE交y轴于C点,如图,
在Rt△OBC中,∵tan∠CBO==,
∴OC=4,则C(0,4),
设直线BE的解析式为y=kx+b,
把B(3,0),C(0,4)代入得,解得,
∴直线BE的解析式为y=﹣x+4,
解方程组得或,则E点坐标为(﹣,),
∴AQ=,
∴蚂蚁从A爬到G点的时间==(s),
即蚂蚁从A到E的最短时间为s.
故答案为.
【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点:
把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标化为解关于x的一元二次方程.解决本题的关键是确定蚂蚁在DH和DE上爬行的时间相等.
【分析】假设P在AD的速度为3,在CD的速度为1,首先表示出总的时间,再根据根的判别式求出t的取值范围,进而求出D的坐标.
假设P在AD的速度为3,在CD的速度为1,
设D坐标为(0,y),则AD=2﹣y,CD==,
∴设t=+,
等式变形为:
t+y﹣=,则t的最小值时考虑y的取值即可,
∴t2+(y﹣)t+(y﹣)2=y2+1,
∴y2+(﹣t)y﹣t2+t+1=0,
△=(﹣t)2﹣4×
(﹣t2+t+1)≥0,
∴t的最小值为,
∴y=,
∴点D的坐标为(0,),
故选D.
解法二:
假设P在AD的速度为3V,在CD的速度为1V,
总时间t=+=(+CD),要使t最小,就要+CD最小,
因为AB=AC=3,过点B作BH⊥AC交AC于点H,交OA于D,易证△ADH∽△ACO,所以==3,所以=DH,因为△ABC是等腰三角形,所以BD=CD,所以要+CD最小,就是要DH+BD最小,就要B、D、H三点共线就行了.因为△AOC∽△BOD,所以=,即=,所以OD=,
所以点D的坐标应为(0,).
【点评】本题考查了勾股定理的运用、一元二次方程根的判别式(△=b2﹣4ac)判断方程的根的情况以及坐标于图形的性质题目的综合性较强,难度较大.
3.如图,一条笔直的公路l穿过草原,公路边有一消防站A,距离公路5千米的地方有一居民点B,A、B的直线距离是10千米.一天,居民点B着火,消防员受命欲前往救火.若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时,而在草地上的最快速度是40千米/小时,则消防车在出发后最快经过 小时可到达居民点B.(友情提醒:
【分析】要求所用行车时间最短,就要计算好行驶的路线,可以设在公路上行驶x千米,根据题意,找出可以运用勾股定理的直角三角形,运用勾股定理求解.
如图所示,公路上行驶的路线是AD,草地上行驶的路线是DB,设AD的路程为x千米,
由已知条件AB=10千米,BC=5千米,BC⊥AC,知
AC==15千米.
则CD=AC﹣AD=(15﹣x)千米,
BD==km,
设走的行驶时间为y,则
y=+.
整理为关于x的一元二次方程得
3x2+(160y﹣120)x﹣6400y2+1200=0.
因为x必定存在,所以△≥0.即
(160y﹣120)2﹣4×
3×
(1200﹣6400y2)≥0.
化简得102400y2﹣38400y≥0.
解得y≥,
即消防车在出发后最快经过小时可到达居民点B.
故答案为:
.
【点评】本题考查的是在直角三角形中勾股定理的运用,画出图形构建直角三角形是关键,根据一元二次不等式的求解,可以计算出解的最小值,以便求出最短路程.
(2)若P为y轴上的一个动点,连接PD,则PB+PD的最小值为 ;
①若平面内存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形为菱形,则这样的点N共有 5 个;
【分析】
(1)利用待定系数法转化为解方程组解决问题.
(2)如图1中,连接AB,作DH⊥AB于H,交OB于P,此时PB+PD最小.最小值就是线段DH,求出DH即可.
(3)①先在对称轴上寻找满足△ABM是等腰三角形的点M,由此即可解决问题.
②作AB的中垂线与y轴交于点E,连接EA,则∠AEB=120°
,以E为圆心,EB为半径作圆,与抛物线对称轴交于点F、G.则∠AFB=∠AGB=60°
,从而线段FG上的点满足题意,求出F、G的坐标即可解决问题.
(1)由题意解得,
∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣,
∵y=x2﹣x﹣=(x﹣)2﹣,
∴顶点坐标(,﹣).
(2)如图1中,连接AB,作DH⊥AB于H,交OB于P,
此时PB+PD最小.
理由:
∵OA=1,OB=,
∴tan∠ABO==,
∴∠ABO=30°
,
∴PH=PB,
∴PB+PD=PH+PD=DH,
∴此时PB+PD最短(垂线段最短).
在Rt△ADH中,∵∠AHD=90°
,AD=,∠HAD=60°
∴sin60°
=,
∴DH=,
∴PB+PD的最小值为.
(3
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