中考数学一轮复习二次函数的图像和性质含答案Word下载.docx
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3、y=a(x-h)2对称轴定点坐标
4、y=a(x-h)2+k对称轴定点坐标
三、二次函数同象的平移
注意3:
二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移,固然要掌握整抛物线的平移,只要关键的顶点平移即可
四、二次函数y=ax2+bx+c的同象与字母系数之间的关系:
a:
开口方向向上则a0,向下则a0;
|a|越大,开口越
b:
对称轴位置,与a联系一起,用判断b=0时,对称轴是
c:
与y轴的交点:
交点在y轴正半轴上,则c0负半轴上则c0,当c=0时,抛物点过点
【名师提醒:
在抛物线y=ax2+bx+c中,当x=1时,y=当x=-1时y=,经常根据对应的函数值判考a+b+c和a-b+c的符号】
【重点考点例析】
考点一:
二次函数图象上点的坐标特点
例1(2016•常州)已知二次函数y=a(x-2)2+c(a>0),当自变量x分别取、3、0时,对应的函数值分别:
y1,y2,y3,,则y1,y2,y3的大小关系正确的是( )
A.y3<y2<y1B.y1<y2<y3C.y2<y1<y3D.y3<y1<y2
对应训练
1.(2016•衢州)已知二次函数y=x2-7x+,若自变量x分别取x1,x2,x3,且0<x1<x2<x3,则对应的函数值y1,y2,y3的大小关系正确的是( )
A.y1>y2>y3B.y1<y2<y3C.y2>y3>y1D.y2<y3<y1
考点二:
二次函数的图象和性质
例2(2016•咸宁)对于二次函数y=x2-2mx-3,有下列说法:
①它的图象与x轴有两个公共点;
②如果当x≤1时y随x的增大而减小,则m=1;
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点,则m=-1;
④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等,则当x=2012时的函数值为-3.
其中正确的说法是.(把你认为正确说法的序号都填上)
2.(2016•河北)如图,抛物线y1=a(x+2)2-3与y2=(x-3)2+1交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C.则以下结论:
①无论x取何值,y2的值总是正数;
②a=1;
③当x=0时,y2-y1=4;
④2AB=3AC;
其中正确结论是( )
A.①②B.②③C.③④D.①④
1.解:
①∵抛物线y2=(x-3)2+1开口向上,顶点坐标在x轴的上方,∴无论x取何值,y2的值总是正数,故本小题正确;
②把A(1,3)代入,抛物线y1=a(x+2)2-3得,3=a(1+2)2-3,解得a=,故本小题错误;
③由两函数图象可知,抛物线y1=a(x+2)2-3过原点,当x=0时,y2=(0-3)2+1=,故y2-y1=,故本小题错误;
④∵物线y1=a(x+2)2-3与y2=(x-3)2+1交于点A(1,3),
∴y1的对称轴为x=-2,y2的对称轴为x=3,
∴B(-5,3),C(5,3)
∴AB=6,AC=4,
∴2AB=3AC,故本小题正确.
故选D.
考点三:
抛物线的特征与a、b、c的关系
例3(2016•玉林)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,其对称轴为x=1,有如下结论:
①c<1;
②2a+b=0;
③b2<4ac;
④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,则x1+x2=2,
则正确的结论是( )
A.①②B.①③C.②④D.③④
思路分析:
由抛物线与y轴的交点在1的上方,得到c大于1,故选项①错误;
由抛物线的对称轴为x=1,利用对称轴公式得到关于a与b的关系,整理得到2a+b=0,选项②正确;
由抛物线与x轴的交点有两个,得到根的判别式大于0,整理可判断出选项③错误;
令抛物线解析式中y=0,得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系表示出两根之和,将得到的a与b的关系式代入可得出两根之和为2,选项④正确,即可得到正确的选项.
解:
由抛物线与y轴的交点位置得到:
c>1,选项①错误;
∵抛物线的对称轴为x==1,∴2a+b=0,选项②正确;
由抛物线与x轴有两个交点,得到b2-4ac>0,即b2>4ac,选项③错误;
令抛物线解析式中y=0,得到ax2+bx+c=0,
∵方程的两根为x1,x2,且=1,及=2,
∴x1+x2==2,选项④正确,
综上,正确的结论有②④.
故选C
点评:
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系,关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向,当a>0时,抛物线向上开口;
当a<0时,抛物线向下开口;
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.(简称:
左同右异)③常数项c决定抛物线与y轴交点,抛物线与y轴交于(0,c).
3.(2016•重庆)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示对称轴为x=.下列结论中,正确的是( )
A.abc>0B.a+b=0C.2b+c>0D.4a+c<2b
3.D
3.解:
A、∵开口向上,
∴a>0,
∵与y轴交与负半轴,
∴c<0,
∵对称轴在y轴左侧,
∴<0,
∴b>0,
∴abc<0,
故本选项错误;
B、∵对称轴:
x==,
∴a=b,
C、当x=1时,a+b+c=2b+c<0,
D、∵对称轴为x=,与x轴的一个交点的取值范围为x1>1,
∴与x轴的另一个交点的取值范围为x2<-2,
∴当x=-2时,4a-2b+c<0,
即4a+c<2b,
故本选项正确.
考点四:
抛物线的平移
例4(2016•桂林)如图,把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位后,其顶点在直线上的A处,则平移后的抛物线解析式是( )
A.y=(x+1)2-1B.y=(x+1)2+1C.y=(x-1)2+1D.y=(x-1)2-1
首先根据A点所在位置设出A点坐标为(m,m)再根据AO=,利用勾股定理求出m的值,然后根据抛物线平移的性质:
左加右减,上加下减可得解析式.
∵A在直线y=x上,
∴设A(m,m),
∵OA=,
∴m2+m2=()2,
解得:
m=±
1(m=-1舍去),
m=1,
∴A(1,1),
∴抛物线解析式为:
y=(x-1)2+1,
故选:
C.
此题主要考查了二次函数图象的几何变换,关键是求出A点坐标,掌握抛物线平移的性质:
左加右减,上加下减.
4.(2016•南京)已知下列函数①y=x2;
②y=-x2;
③y=(x-1)2+2.其中,图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3的图象的有(填写所有正确选项的序号).
4.解:
原式可化为:
y=(x+1)2-4,
由函数图象平移的法则可知,将函数y=x2的图象先向左平移1个单位,再向下平移4个单位即可得到函数y=(x+1)2-4,的图象,故①正确;
函数y=(x+1)2-4的图象开口向上,函数y=-x2;
的图象开口向下,故不能通过平移得到,故②错误;
将y=(x-1)2+2的图象向左平移2个单位,再向下平移6个单位即可得到函数y=(x+1)2-4的图象,故③正确.
故答案为:
①③.
【聚焦山东中考】
1.(2016•泰安)二次函数y=a(x+m)2+n的图象如图,则一次函数y=mx+n的图象经过( )
A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限
2.(2016•济南)如图,二次函数的图象经过(-2,-1),(1,1)两点,则下列关于此二次函数的说法正确的是( )
A.y的最大值小于0B.当x=0时,y的值大于1
C.当x=-1时,y的值大于1D.当x=-3时,y的值小于0
2.D
2.解:
A、由图象知,点(1,1)在图象的对称轴的左边,所以y的最大值大于1,不小于0;
B、由图象知,当x=0时,y的值就是函数图象与y轴的交点,而图象与y轴的交点在(1,1)点的左边,故y<1;
C、对称轴在(1,1)的右边,在对称轴的左边y随x的增大而增大,∵-1<1,∴x=-1时,y的值小于x=-1时,y的值1,即当x=-1时,y的值小于1;
D、当x=-3时,函数图象上的点在点(-2,-1)的左边,所以y的值小于0;
3.(2016•菏泽)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y=bx+c和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
A.B.C.D.
3.C
∵二次函数图象开口向下,
∴a<0,
∵对称轴x=<0,
∴b<0,
∵二次函数图象经过坐标原点,
∴c=0,
∴一次函数y=bx+c过第二四象限且经过原点,反比例函数位于第二四象限,
纵观各选项,只有C选项符合.
故选C.
4.(2016•泰安)设A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=-(x+1)2+a上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为( )
A.y1>y2>y3B.y1>y3>y2C.y3>y2>y1D.y3>y1>y2
4.A
∵函数的解析式是y=-(x+1)2+a,如右图,
∴对称轴是x=-1,
∴点A关于对称轴的点A′是(0,y1),
那么点A′、B、C都在对称轴的右边,而对称轴右边y随x的增大而减小,
于是y1>y2>y3.
故选A.
5.(2012•烟台)已知二次函数y=2(x-3)2+1.下列说法:
①其图象的开口向下;
②其图象的对称轴为直线x=-3;
③其图象顶点坐标为(3,-1);
④当x<3时,y随x的增大而减小.则其中说法正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.A
5.解:
①∵2>0,∴图象的开口向上,故本小题错误;
②图象的对称轴为直线x=3,故本小题错误;
③其图象顶点坐标为(3,1),故本小题错误;
④当x<3时,y随x的增大而减小,正确;
综上所述,说法正确的有④共1个.
6.(2012•日照)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出下列结论:
①b2-4ac>0;
②2a+b<0;
③4a-2b+c=0;
④a:
b:
c=-1:
2:
3.其中正确的是( )
A.①②B.②③C.③④D.①④
6.解:
由二次函数图象与x轴有两个交点,
∴b2-4ac>0,选项①正确;
又对称轴为直线x=1,即=1,
可得2a+b=0(i),选项②错误;
∵-2对应的函数值为负数,
∴当x=-2时,y=4a-2b+c<0,选项③错误;
∵-1对应的函数值为0,
∴当x=-1时,y=a-b+c
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