秋人教B版必修4第九章解三角形章末复习课Word格式.docx
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一类是已知两角和任一边,求其他两边和一角;
另一类是已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而求出其他的边和角.
(5)解题时,要注意“三角形内角和为180°
”,“在一个三角形中,大边对大角”等平面几何性质的运用.
2.余弦定理及推论
(1)余弦定理
三角形任何一边的平方,等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍,即
a2=b2+c2-2bccosA;
b2=a2+c2-2accosB;
c2=a2+b2-2abcosC.
(2)余弦定理的推论
cosA=;
cosB=;
cosC=.
(3)利用余弦定理主要解决两类三角形问题:
一类是已知三边求任意一角;
另一类是已知两边和任一角,求其余的边与角.
(4)要注意结合图形解决问题,挖掘题目中的隐含条件,如圆内接四边形中的性质,通过三边之间的关系,发现三角形的特点.
3.正、余弦定理的实际应用
(1)应用正弦定理、余弦定理解三角形的问题,通常都是根据题意,从实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得到所要求的量,从而得到实际问题的解.
(2)解题时应认真读题,未给出图形的,要画出示意图,结合图形去选择正弦定理、余弦定理,使解题过程简捷.另外,对于实际问题的解,要注意题目中给出的精确度,合理地取近似值.
要点一 利用正、余弦定理解三角形
解三角形的常见类型及解法
在三角形的六个元素中,若知道三个,其中至少一个元素为边,即可求解三角形,按条件可分为以下几种:
(1)已知两角和一边,如已知A,B和c,由A+B+C=π求C,由正弦定理求a,b.
(2)已知两边和这两边的夹角,如已知a,b和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C=π,求另一角.
(3)已知两边和其中一边的对角,如已知a,b和A,可先用正弦定理求B,由A+B+C=π求C,再由正弦定理或余弦定理求c,也可利用余弦定理构造关于边c的一元二次方程求解.要注意解可能有多种情况.
(4)已知三边a,b,c,可应用余弦定理求A,B,C.
【例1】 如图所示,在△ABC中,AB=AC=2,BC=2,点D在BC边上,∠ADC=45°
,求AD的长度.
解 在△ABC中,∵AB=AC=2,BC=2,∴由余弦定理,得cosC==,又0°
<C<180°
,∴sinC=.
在△ADC中,由正弦定理得,=,
∴AD=·
sinC=×
=.
【训练1】 如图所示,在△ABC中,B=,AB=8,点D在BC边上,CD=2,cos∠ADC=.
(1)求sin∠BAD;
(2)求BD,AC的长.
解
(1)在△ADC中,因为cos∠ADC=,所以sin∠ADC=.
所以sin∠BAD=sin(∠ADC-B)
=sin∠ADC·
cosB-cos∠ADC·
sinB
=×
-×
(2)在△ABD中,sin∠ADB=sin(π-∠ADC)
=sin∠ADC=,
由正弦定理,得
BD===3.
在△ABC中,BC=BD+CD=5,由余弦定理,得
AC2=AB2+BC2-2AB·
BC·
cosB
=82+52-2×
8×
5×
=49,
所以AC=7.
要点二 与三角形有关的综合问题
该类问题以三角形为载体,在已知条件中涉及了三角形的一些边角关系,由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式,因此通过定理的运用能够实现边角互化,在边角互化时,经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等.
【例2】 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.
(1)求B;
(2)若b=2,求△ABC的面积的最大值.
解
(1)由正弦定理知a=2RsinA,b=2RsinB,
c=2RsinC,
得2RsinA=2RsinBcosC+2RsinCsinB,
即sinA=sinBcosC+sinCsinB.
又A=π-(B+C),∴sin[π-(B+C)]=sin(B+C)
=sinBcosC+sinCsinB,
即sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+sinCsinB,
∴cosBsinC=sinCsinB.
∵sinC≠0,
∴cosB=sinB且B为三角形内角,∴B=.
(2)S△ABC=acsinB=ac,
由正弦定理,得a==×
sinA=2sinA,
同理,得c=2sinC,
∴S△ABC=×
2sinA×
2sinC
=2sinAsinC=2sinAsin
=2sinA
=2(sinAcosA+sin2A)
=sin2A+1-cos2A=sin+1,
∵A∈,∴2A-∈,
∴当2A-=,
即A=时,S△ABC有最大值+1.
【训练2】 在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且a=2csinA.
(1)确定角C的大小;
(2)若c=,且△ABC的面积为,求a+b的值.
解
(1)∵a=2csinA,∴=.
由正弦定理知=,
∴=,∴sinC=.
∵△ABC是锐角三角形,∴C=.
(2)∵c=,C=,∴由面积公式得:
absin=,即ab=6,
由余弦定理得a2+b2-2abcos=7,
∴a2+b2-ab=7,
即(a+b)2-3ab=7,∴(a+b)2=25,∴a+b=5.
要点三 正、余弦定理在实际中的应用
正、余弦定理在实际中的应用,其一般思路为:
(1)准确理解题意及问题的实际背景,明确已知和所求,并理清量与量之间的关系;
(2)根据题意画出图形,将实际问题抽象成解三角形的数学模型;
(3)把要求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识建立数学模型,然后正确求解.
【例3】 某渔船在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45°
,距离为10海里的C处,并测得渔船正沿方位角为105°
的方向,以10海里/时的速度向小岛B靠拢,我海军舰艇立即以10海里/时的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.
解 如图所示,设所需时间为t小时,舰艇与渔船在B处相遇,
则AB=10t海里,CB=10t海里,
在△ABC中,∠ACB=45°
+(180°
-105°
)=120°
,根据余弦定理,有AB2=AC2+BC2-2AC·
BCcos∠ACB,
可得(10t)2=102+(10t)2-2×
10×
10tcos120°
,
整理得2t2-t-1=0,解得t=1或t=-(舍去).
即舰艇需1小时靠近渔船,此时AB=10(海里),BC=10(海里),
在△ABC中,由正弦定理得=,
所以sin∠CAB===,
又在△ABC中,∠ACB=120°
所以∠CAB=30°
,所以舰艇航行的方位角为75°
.
【训练3】 如图所示,一辆汽车从O点出发,沿海岸一条直线公路以100千米/时的速度向东匀速行驶,汽车开动时,在O点南偏东方向距O点500千米且与海岸距离为300千米的海上M处有一快艇,与汽车同时出发,要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机,问快艇至少以多大的速度行驶,才能把物品递送到司机手中,并求快艇以最小速度行驶时的方向与OM所成的角.
解 设快艇从M处以v千米/时的速度出发,沿MN方向航行,t小时后与汽车在N处相遇.
在△MON中,OM=500千米,ON=100t千米,
MN=vt千米,设∠MON=α,
由题意,知sinα=,则cosα=.
由余弦定理,知
MN2=OM2+ON2-2OM·
ONcosα,
即v2t2=5002+1002t2-2×
500×
100t×
整理,得v2=+3600.
当=,即t=时,v=3600.
∴vmin=60,即快艇至少必须以60千米/时的速度行驶,此时MN=60×
=15×
25(千米),MQ=300千米.
设∠MNO=β,则sinβ==.
∴α+β=90°
,即MN与OM垂直.
∴快艇至少必须以60千米/时的速度行驶,以最小速度行驶时的方向与OM所成的角为直角.
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