专题17+把你的知识综合起来备战高考高三数学Word格式.docx
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3.函数的最值与导数的关系
(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件
如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
(2)求y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
应用举例
类型一、利用导数研究函数的单调性
【例1】【安徽省安庆市第一中学2018届高三热身考试】已知函数.
(1)求的最大值;
(2)证明:
对任意的,都有;
(3)设,比较与的大小,并说明理由.
【答案】
(1);
(2)见解析;
(3)见解析
(2)由
(1)得.
设,则,
故在上单调递增,在上单调递减,
故,
∴.
所以对任意的恒成立.
(3)由条件得,且,
∵,
∴,
故只需比较与的大小.
令,
设,
则.
因为,所以,
∴函数在上单调递增,
∴对任意恒成立,
即,
点睛:
(1)证明不等式或比较两式的大小时,可通过构造函数、根据函数的单调性得到函数的最值,达到证明或比较大小的目的.
(2)证明时,也可通过证明来进行.
【例2】【山东省日照市2018届高三校际联考】已知函数.
(I)当时,求的单调递减区间;
(II)对任意的,及任意的成立,求实数t的范围.
(2).
详解:
(1),,
∴的递减区间为.
(2),
由知∴在上递减,
∴,,
对恒成立,∴.
对于求不等式成立时的参数范围问题,一般有三个方法,一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子,另一端是一个区间上具体的函数,通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法,根据参数取值情况分类讨论,三是数形结合法,将不等式转化为两个函数,通过两个函数图像确定条件.
类型二、用导数研究函数的极值(多维探究)
【例3】【河北省衡水中学2018年高考押题
(一)】已知函数,(,为自然对数的底数)
(1)试讨论函数的极值情况;
(2)当且时,总有
(1)当时,无极值;
当时,极大值为,无极小值.
(2)见解析.
①当时,,故在内单调递减.无极值;
②当时,令,得
令,得,
故在处取得极大值,且极大值为,无极小值.
(2)当时,
设函数,
则,记,
则
当变化时,的变化情况如下表:
_
单调递减
极小值
单调递增
号,确定差函数单调性,利用单调性得不等量关系,进而证明不等式.
(2)根据条件,寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系,或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
【例4】【江苏省苏州市2018届高三调研测试(三)】已知函数,在处取极大值,在处取极小值.
(1)若,求函数的单调区间和零点个数;
(2)在方程的解中,较大的一个记为;
在方程的解中,较小的一个记为,证明:
为定值;
(3)证明:
当时,.
(1)单调增区间为;
单调减区间为;
3个零点
(2)-1(3)见解析
解析:
解
(1)当时,,;
当时,或;
当时,;
即函数的单调增区间为;
又,,,,所以有3个零点.
(2)因为,则,
可知.
因为,即,
即
.
可知,
同理,由可知
;
得到;
(3)另证:
一方面,易证;
(略)
另一方面,当时,;
又;
所以,,
且不存在正数,使得其中等号同时成立,故.
(1)“恒成立”、“存在性”问题一定要正确理解问题实质,深刻挖掘条件内含,进行等价转化.
(2)证明不等式时,可构造函数,将问题转化为函数的极值或最值问题.
(3)求解不等式恒成立问题时,可以考虑将参数分离出来,将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题.
类型三、利用导数求函数的最值
【例5】【吉林省吉大附中2018届高三第四次模拟考试】已知函数,.
(I)若恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅱ)当取(I)中的最小值时,求证:
.
(1)
(2)见解析
③若,结合与的图象可知显然不合题意.
综上可知,的取值范围是
(Ⅱ)证明当取(I)中的最小值为1时,
则,
所以在上单调递减,此时,
即.
所以在上单调递减.
所以
所以,当取(Ⅰ)中的最小值时,.
本题综合考查了函数与导函数的应用,根据题意构造合适的函数,分析所构造函数的单调性、最值进而求出其取值范围或证明不等式,高考中常考压轴题,属于难题。
【例6】【山东省潍坊市青州市2018届高三第三次高考模拟考试】已知,函数(是自然对数的底数)
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数在区间内无零点,求的最大值.
(1)见解析;
(2)
(2)函数,
∴
①当时,在上恒成立,函数在区间上单调递减,
∴时,函数在区间上无零点;
②当时,令得,
令,得,令,得,
因此,函数的单调递增区间是,单调递减区间是.
(i)当,即时,
函数的单调递减区间是,∴
要使函数在区间内无零点,则,得;
求导法则与导数的几何意义;
第二层次是导数的简单应用,包括求函数的单调区间、极值、最值等;
第三层次是综合考查,包括解决应用问题,将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合,设计综合题.
方法、规律归纳:
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出,本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:
(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系.
(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;
已知单调性,求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.
实战演练:
1.【2018年天津市河西区高三三模】已知函数.
(1)若曲线与直线相切,求实数的值;
(2)若不等式在定义域内恒成立,求实数的取值范围.
(1)1;
(2)由题意,在定义域内恒成立,
得在定义域内恒成立,
再令,则,
即在上单调递减,又,
所以当时,,从而,在上单调递增;
当时,,从而,在上单调递减;
所以在处取得最大值,
所以实数的取值范围是.
1.在处理曲线的切线时,要注意区分“在某点的切线”和“过某点的切线”,前者的点一定为切点,但后者的点不一定在曲线上,且也不一定为切点;
2.在处理含参数的不等式恒成立问题时,往往分离参数,将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题,再利用“恒成立”进行处理.
2.【湖北省华中师范大学第一附属中学2018届高三5月押题考试】已知函数,其中.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数存在两个极值点,,且,证明:
.
(1)答案见解析;
(2)证明见解析.
时,,单调递增;
时,,单调递减;
若,则,∴时,,单调递减;
时,,单调递增;
综上所述:
时,的单调递减区间为,单调递增区间为;
时,的单调递减区间为,,单调递增区间为;
时,的单调递减区间为.
∴在上单调递减,
∴,即,
(1)本题主要考查利用导数求函数的单调性和函数的取值范围,意在考查学生对这些
基础知识的掌握能力和分析推理能力.
(2)解答本题的关键有两点,其一是求出,其二是构造函数,,求它的范围.
3.【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】已知函数(,).
(1)如果曲线在点处的切线方程为,求、的值;
(2)若,,关于的不等式的整数解有且只有一个,求的取值范围.
(1).
(2).
内单调递增.
因为,所以在上存在唯一的整数使得,即.
②当时,为满足题意,函数在内不存在整数使,即在上不存在整数使.
因为,所以.
当时,函数,所以在内为单调递减函数,所以,即;
当时,,不符合题意.
综上所述,的取值范围为.
本题考查了导数几何意义,以及导数在函数中的综合应用,其中利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题,通常首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;
也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题,着重考查了转化和化归思想,以及数形结合思想的应用.
4.【江苏省南京师范大学附属中学2018届高三5月模拟考试】已知函数.
(1)若,求函数的极值;
(2)若函数有两个零点,求的范围;
(3)对于曲线上的两个不同的点,记直线的斜率为,若的导函数为,证明:
(2);
,则
设,则,构造函数令,利用导数研究函数的单调性,只需证明即可得结论.
(1),
当时,,在上单调递增,无极值;
当时,,在上单调递增;
,在上单调递减;
函数有极大值,无极小值.
所以在上有零点,又在上单调递减,
所以在上有唯一零点,从而有两个零点
②当时,,
,
易证,可得,
所以在在上有零点,又在上单调递减,
综上,的取值范围是.
本题是以导数的运用为背景的函数综合题,主要考查了函数思想,化归思想,抽象概括能力,综合分析问题和解决问题的能力,属于较难题,近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度,不仅题型在变化,而且问题的难度、深度与广度也在不断加大,本部分的要求一定有三个层次:
第一层次主要考查求导公式,求导法则与导数的几何意义;
第三层次是综合考查,包括解决应用问题,将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合,设计综合题.
5.【山东省日照市2018届高三校际联考】已知函数(为自然对数的底数).
(1)若,,讨论的单调性;
(2)若,函数在内存在零点,求实数的范围.
(1)当时,在上单调递减;
当时,在上单调递减,在单调递增;
(2)的取值范围是.
(2)若,令.
①当时,则,因此在上恒有,即在上单调递减;
②当时,,因而在上有,在上有;
因此在上单调递减,在单调递增.
综上,
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