中考圆易错题好题整理Word格式.docx
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连接OC,如图所示:
∵AB是⊙O的直径,CD⊥AB,
∴CE=CD=2,∠OEC=90°
,
设OC=OA=x,则OE=x﹣1,
根据勾股定理得:
CE2+OE2=OC2,
即22+(x﹣1)2=x2,
解得:
x=;
故答案为:
.
本题考查了垂径定理、勾股定理、解方程;
熟练掌握垂径定理,并能进行推理计算是解决问题的关键.
练习1
1.(2015珠海难度★)
如图,在⊙O中,直径CD垂直于弦AB,若∠C=25°
,则∠BOD的度数是( )
A.25°
B.30°
C.40°
D.50°
2.(2015黄冈中学自主招生难度★★★)
将沿弦BC折叠,交直径AB于点D,若AD=4,DB=5,则BC的长是( )
A.3B.8C.D.2
3.(2015通辽难度★)
如图,⊙O是△ABC的外接圆,连接OA,OB,∠OBA=48°
,则∠C的度数为 .
4.(2013株洲难度★★)
如图AB是⊙O的直径,∠BAC=42°
,点D是弦AC的中点,则∠DOC的度数是 度.
5.(2014衡阳难度★★★)
如图,AB为⊙O直径,CD为⊙O的弦,∠ACD=25°
,∠BAD的度数为 .
知识点二与圆的位置关系
例题1(2014德州难度★★★)
如图,⊙O的直径AB为10cm,弦BC为5cm,D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O,AB的交点,P为AB延长线上一点,且PC=PE.
(1)求AC、AD的长;
(2)试判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由.
(1)连接BD,先求出AC,在Rt△ABC中,运用勾股定理求AC,②由CD平分∠ACB,得出AD=BD,所以Rt△ABD是直角等腰三角形,求出AD;
(2)连接OC,由角的关系求出∠PCB=∠ACO,可得到∠OCP=90°
,所以直线PC与⊙O相切.
(1)①如图,连接BD,
∵AB是直径,
∴∠ACB=∠ADB=90°
在Rt△ABC中,
AC===5(cm),
②∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD,
∴,
∴AD=BD,
∴Rt△ABD是直角等腰三角形,
∴AD=AB=×
10=5cm;
(2)直线PC与⊙O相切,
理由:
连接OC,
∵OC=OA,
∴∠CAO=∠OCA,
∵PC=PE,
∴∠PCE=∠PEC,
∵∠PEC=∠CAE+∠ACE,
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACE=∠ECB,
∴∠PCB=∠CAO=∠ACO,
∵∠ACB=90°
∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°
即OC⊥PC,
∴直线PC与⊙O相切.
本题主要考查了切线的判定,勾股定理和圆周角,解题的关键是运圆周角和角平分线及等腰三角形正确找出相等的角.
例题2(2014长沙难度★★★★)
如图,以△ABC的一边AB为直径作⊙O,⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D,过点D作⊙O的切线交AC于点E.
(1)求证:
DE⊥AC;
(2)若AB=3DE,求tan∠ACB的值.
(1)连接OD,可以证得DE⊥OD,然后证明OD∥AC即可证明DE⊥AC;
(2)利用△DAE∽△CDE,求出DE与CE的比值即可.
(1)证明:
连接OD,
∵D是BC的中点,OA=OB,
∴OD是△ABC的中位线,
∴OD∥AC,
∵DE是⊙O的切线,
∴OD⊥DE,
∴DE⊥AC;
(2)解法1:
连接AD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°
∵DE⊥AC,
∴∠ADC=∠DEC=∠AED=90°
∴∠ADE=∠DCE
在△ADE和△CDE中,
∴△CDE∽△DAE,
设tan∠ACB=x,CE=a,则DE=ax,AC=3ax,AE=3ax﹣a,
∴,整理得:
x2﹣3x+1=0,
x=,
∴tan∠ACB=或.
(可以看出△ABC分别为锐角、钝角三角形两种情况)
解法2:
连OD,过点O作AC的垂线,垂足为F,
∴OF2+AF2=OA2,
∵AC=AF+FE+CE,且AC=AB=3DE,OB=OD=EF,
∴=或,
本题主要考查了切线的性质的综合应用,解答本题的关键在于如何利用三角形相似求出线段DE与CE的比值.
练习2
1.(2015衢州难度★★★)
如图,已知△ABC,AB=BC,以AB为直径的圆交AC于点D,过点D的⊙O的切线交BC于点E.若CD=5,CE=4,则⊙O的半径是( )
A.3B.4C.D.
2.(2015镇江难度★★★)
如图,AB是⊙O的直径,OA=1,AC是⊙O的弦,过点C的切线交AB的延长线于点D,若BD=﹣1,则∠ACD= °
3.(2013秋延庆县校级期末难度★★★)
已知直线l与⊙O,AB是⊙O的直径,AD⊥l于点D.
(1)如图①,当直线l与⊙O相切于点C时,求证:
AC平分∠DAB;
(2)如图②,当直线l与⊙O相交于点E,F时,求证:
∠DAE=∠BAF.
4.(2015辽阳难度★★★)
如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交BC,AC于点D,E,DG⊥AC于点G,交AB的延长线于点F.
直线FG是⊙O的切线;
(2)若AC=10,cosA=,求CG的长.
5.(2014涪城区校级自主招生难度★★★★)
已知:
如图,在△ABC中,AB=BC,D是AC中点,BE平分∠ABD交AC于点E,点O是AB上一点,⊙O过B、E两点,交BD于点G,交AB于点F.
AC与⊙O相切;
(2)当BD=6,sinC=时,求⊙O的半径.
知识点三弧长、扇形面积
例题1(2014牡丹江难度★★★)
如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,∠CDB=30°
,CD=2,则S阴影=( )
A.πB.2πC.D.π
求出CE=DE,OE=BE=1,得出S△BED=S△OEC,所以S阴影=S扇形BOC.
如图,CD⊥AB,交AB于点E,
∴CE=DE=CD=,
又∵∠CDB=30°
∴∠COE=60°
∴OE=1,OC=2,
∴BE=1,
∴S△BED=S△OEC,
∴S阴影=S扇形BOC==.
D.
本题考查了垂径定理、扇形面积的计算,图形的转化是解答本题的关键.
例题2(2014锦州难度★★★)
如图,在一张正方形纸片上剪下一个半径为r的圆形和一个半径为R的扇形,使之恰好围成图中所示的圆锥,则R与r之间的关系是 .
利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长,根据弧长公式计算.
扇形的弧长是:
=,
圆的半径为r,则底面圆的周长是2πr,
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到:
=2πr,
∴=2r,
即:
R=4r,
r与R之间的关系是R=4r.
R=4r.
本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算.解题思路:
解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系:
(1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径;
(2)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长.正确对这两个关系的记忆是解题的关键.
练习3
1.(2014杭州难度★★)
已知某几何体的三视图(单位:
cm),则这个圆锥的侧面积等于( )
A.12πcm2B.15πcm2C.24πcm2D.30πcm2
2.(2015包头难度★★★)
如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=4,将△ABC绕点A逆时针旋转30°
后得到△ADE,点B经过的路径为,则图中阴影部分的面积为( )
A.πB.πC.πD.π
3.(2015盐城难度★)
如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,以点A为圆心,AB长为半径画圆弧交边DC于点E,则的长度为 .
4.(2015湖北难度★★★)
如图,P为⊙O外一点,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,PA=,∠P=60°
,则图中阴影部分的面积为 .
5.(2014佛山难度★★★★)
如图,AC⊥BC,AC=BC=4,以BC为直径作半圆,圆心为O.以点C为圆心,BC为半径作弧AB,过点O作AC的平行线交两弧于点D、E,则阴影部分的面积是 .
知识点四多边形和圆
例题1(2015宁夏难度★★)
如图,将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中,中心与坐标原点重合,若A点的坐标为(﹣1,0),则点C的坐标为 .
先连接OE,由于正六边形是轴对称图形,并设EF交Y轴于G,那么∠GOE=30°
;
在Rt△GOE中,则GE=,OG=.即可求得E的坐标,和E关于Y轴对称的F点的坐标,其他坐标类似可求出.
连接OE,由正六边形是轴对称图形知:
在Rt△OEG中,∠GOE=30°
,OE=1.
∴GE=,OG=.
∴,,,,,.
(,﹣)
本题利用了正六边形的对称性,直角三角形30°
的角所对的边等于斜边的一半,勾股定理等知识.
例题2(2015金华难度★★★★★)
如图,正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O,EF与BC、CD分别相交于点G、H,则的值是( )
A.B.C.D.2
首先设⊙O的半径是r,则OF=r,根据AO是∠EAF的平分线,求出∠COF=60°
,在Rt△OIF中,求出FI的值是多少;
然后判断出OI、CI的关系,再根据GH∥BD,求出GH的值是多少,再用EF的值比上GH的值,求出的值是多少即可.
如图,连接AC、BD、OF,,
设⊙O的半径是r,
则OF=r,
∵AO是∠EAF的平分线,
∴∠OAF=60°
÷
2=30°
∵OA=OF,
∴∠OFA=∠OAF=30°
∴COF=30°
+30°
=60°
∴FI=r•sin60°
∴EF=,
∵AO=2OI,
∴OI=,CI=r﹣=,
∴=,
即则的值是.故选:
C.
此题主要考查了正多边形与圆的关系,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确正多边形的有关概念:
①中心:
正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心.②正多边形的半径:
外接圆的半径叫做正多边形的半径.③中心角:
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.④边心距:
中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
练习4
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