因式分解的常用方法及练习题Word文档下载推荐.docx
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(6)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c);
3.332.22
(7)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca);
三、分组分解法.
(1)分组后能直接提公因式
例1、分解因式:
aman•bm•bn
分析:
从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。
解:
原式=(aman)(bmbn)
=a(m,n)•b(m•n)每组之间还有公因式!
=(mn)(ab)
解法二:
第一、四项为一组;
第二、三项为一组。
原式=(2ax-bx)(-10ay5by)
=x(2a-b)-5y(2a-b)
=(2a-b)(x-5y)
例2、分解因式:
2ax-10ay,5by-bx解法一:
第一、二项为一组;
第三、四项为一组。
原式=(2ax-10ay)(5by-bx)
=2a(x-5y)-b(x-5y)
=(x-5y)(2a-b)
练习:
分解因式1、a2-ab,ac-bc
2、xy-x-y1
(2)分组后能直接运用公式
例3、分解因式:
x2-y2axay
若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。
例4、分解因式:
a2-2abb^c2
原式=(x2-y2)(ax'
ay)
=(xy)(x-y)a(xy)
原式=(a2-2abb2)-c2
22
=(a-b)-c
=(xy)(x_ya)
=(a-b_c)(a-bc)
分解因式3、x2_x_9y2_3y
4、
2小
-z-2yz
(2)ax2-bx2bx-axa-b
综合练习:
(1)X3・x2y-xy2-y3
(3)x26xy9y2-16a2-8a-1
(4)a2-6ab12b9b2-4a
(5)a4-2a3-a2-9
(6)4a2x-4a2y-b2xb2y
(7)x2_2xy-xzyzy2
(8)a-2ab-2b2ab1
(9)y(y-2)-(m-1)(m1)
(10)(ac)(a「c)b(b「2a)
四、十字相乘法.
(一)二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式x2(pq)xpq=(xp)(xq)进行分解。
特点:
(1)二次项系数是1;
(2)常数项是两个数的乘积;
(3)—次项系数是常数项的两因数的和。
思考:
十字相乘有什么基本规律?
例.已知Ova<
5,且a为整数,若2x23xa能用十字相乘法分解因式,求符合条件的a.解析:
凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c,都要求厶二b2-4ac>
0而且是一个完全平方数于是9-8a为完全平方数,a=1
例5、分解因式:
x25x6
将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。
由于6=2X3=(-2)X(-3)=1X6=(-1)X(-6),从中可以发现只有2X3的分解适合,即2+3=5。
1k2
x25x6=x2(23)x2313
=(x2)(x3)1X2+1X3=5
用此方法进行分解的关键:
将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
x2-7x6
1-1
X
1-6
例6、分解因式:
原式=x2+[(-1)+(-6)]x+(-1)(-6)
=(x-1)(x-6)
(-1)+(-6)=-7
练习5、分解因式
(1)x2
14x24
2
(2)a-15a36
(3)x4x「5
练习6、分解因式
(1)x2
x_2
⑵y-2y-15
(3)x-10x-24
(二)二次项系数不为条件:
(1)
(2)
(3)
分解结果:
1的二次三项式
ax
bxc
a二a〔a?
C二C1C2
b二a〔C2a2&
I
axbxc=心必cJ(a2XC2)
ai
a2
b—aiC2
—C1
a2C1
例7、分解因式:
3x2-11x10
1-2
3X"
-5
(-6)+(-5)=-11
(2)3x-7x2
3x2_11x10=(x_2)(3x-5)练习7、分解因式:
(1)5x2・7x—6
(3)10x-17x3
(4)-6y11y10
(3)二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式:
a2-8ab-128b2
将b看成常数,把原多项式看成关于a的二次三项式,利用十字相乘法进行分解
1>
<
8b
1-16b
8b+(-16b)=-8b
a2-8ab-12b2=a2[8b(-16b)]a8b(-16b)
=(a8b)(a-16b)
练习8、分解因式
(1)x2-3xy2y2
(2)m2-6mn8n2(3)a2-ab-6b2
(4)二次项系数不为1的齐次多项式
解:
例9、2x2-7xy6y2
1〕-3y
(-3y)+(-4y)=-7y
原式=(x-2y)(2x-3y)
例10、x2y2-3xy2把xy看作一个整体1-1
"
X-2(-1)+(-2)=-3解:
原式=(xy-1)(xy-2)
(2)a2x2-6ax8
练习9、分解因式:
(1)15x2,7xy-4y2
综合练习10、
(1)8x6-7x3-1
(2)12x-11xy-15y
(3)(xy)2-3(xy)-10
(4)(ab)2-4a-4b3
(5)x2y2-5x2y-6x2
(6)m-4mn4n-3m6n2
(7)x24xy4y2_2x-4y_3
(8)5(ab)23(a-b)-10(a-b)
(9)4x2-4xy-6x3yy2-10
(10)12(xy)211(x2-y2)2(x-y)2
五、换元法。
例13、分解因式
(1)2005x^(20052_1)x-2005
(2)(x1)(x2)(x3)(x6)x
(1)设2005=a,则原式=ax2-(a2-1)x-a
=(ax1)(x-a)
=(2005x1)(x-2005)
(2)型如abcde的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=(x27x6)(x25x6)x2
设x25x6=A,贝Ux2亠7x亠6=A、2x
•••原式=(A2x)Ax2=A22Axx2
=(Ax)2=(x26x6)2
练习13、分解因式
(1)(x2xyy2)2-4xy(x2y2)
(2)(x23x2)(4x28x3)90
六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式
(1)x3-3x2•4
解法1——拆项。
原式=x31-3x23
=(x1)(x2—X1)-3(x1)(x—1)
=(x1)(x2-x1-3x3)
=(x1)(x2-4x4)
解法2——添项。
原式=x-3x-4x4x4=x(x2-3x-4)(4x4)
=x(x1)(x-4)4(x1)
=(x1)(x2_4x4)
=(x1)(x-2)
练习15、分解因式
(2)(x1)4(x2-1)2(x-1)4
42
(3)x-7x21
422
4)xx2ax1-a
第二部分:
习题大全
经典
一、填空题
1.把——个多项式化成几个整式的
的形式,叫做把这个多项式分解因式
2分解因式:
3.分解因式:
3
m-4m=.
x-4y=.
4、分解因式:
-x2-4x-4=
5.将xn-yn分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y),则n的值为.
22几2几2
6、若x_y=5,xy=6,贝yxy_xy=,2x+2y=。
二、选择题
32223
7、多项式15mn5mn-20mn的公因式是()
A、5mnb、5m2n2c、5m2nd、5mn2
8下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是()
A(a+3)(a_3)=a-9
a-b=aba-b
-2m-3=mm-2-色
m
Ca-4a-5=a(a-4)-5d
10.下列多项式能分解因式的是()
22222
(A)x-y(B)x+1(C)x+y+y(D)x-4x+4
11•把(x—y)2—(y—x)分解因式为()
A.(x—y)(x—y—1)B.(y—x)(x—y—1)
C.(y—x)(y—x—1)D.(y—x)(y—x+1)
12.下列各个分解因式中正确的是()
222
A.10abc+6ac+2ac=2ac(5b+3c)
B.(a—b)2—(b—a)2=(a—b)2(a—b+1)
C.x(b+c—a)—y(a—b—c)—a+b—c=(b+c—a)(x+y—1)
D.(a—2b)(3a+b)—5(2b—a)2=(a—2b)(11b—2a)
13.若k-12xy+9x2是一个完全
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