初中数学联赛试题参考答案和评分标准word版初中教育精选Word文件下载.docx
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B.22.C.23.
D.32.
【答】C.
由题设知A(-a,-
a
).设B(x,0),C(x
0),二次函数的图象的对称轴与x轴的交点为D,则
1
=4a2-4⨯
a2
BC=|x-x
|=(x+x
)2
-4xx
=2a2.
3
又AD=
BC,则|-
|=
⋅
2a2,解得a2=6或a2
=0(舍去).
所以,△ABC的边长BC=
2a2
=2
.
2.如图,在矩形
ABCD
∠BAD
的平分线交
BD
于点
E
AB=1∠CAE=15︒
,则
BE=
中,
,
-1.D.
-1.
A.
.
B.
C.
A
D
【答】D.
延长AE交BC于点F,过点E作BC的垂线,垂足为H.
由已知得∠BAF=∠FAD=∠AFB=∠HEF=45︒,BF=AB=1,
B
C
H
F
∠EBH=∠ACB=30︒.
设BE=x,则HF=HE=
x
,BH=
3x
因为BF=BH+HF,所以1=
+
,解得x=
-1.所以BE=
-1.
3.设p,q均为大于3的素数,则使p2+5pq+4q2为完全平方数的素数对(p,q)的个数为(
A.1.
B.2.
C.3.
D.4.
【答】B.
第1页(共10页)
设p2+5pq+4q2=m2(m为自然数),则(p+2q)2+pq=m2,即
(m-p-2q)(m+p+2q)=pq.
由于p,q为素数,且m+p+2q>
p,m+p+2q>
q,所以m-p-2q=1,m+p+2q=pq,从
而pq-2p-4q-1=0,即(p-4)(q-2)=9,所以(p,q)=(5,11)或(7,5).
所以,满足条件的素数对(p,q)的个数为2.
4.若实数a,b满足a-b=2,
(1-a)2
(1+b)
5
-
=4,则a
-b
=
b
A.46.
B.64.
C.82.
D.128.
(1+b)2
由条件
=4得a-b-2a2-2b2-4ab+a3
-b3=0,
即(a-b)-2[(a-b)2
+4ab]+(a-b)[(a-b)2+3ab]=0,
又a-b=2,所以2-2[4+4ab]+2[4+3ab]=0,解得ab=1.所以a2+b2=(a-b)2+2ab=6,
a3-b3=(a-b)[(a-b)2+3ab]=14,a5-b5=(a2+b2)(a3-b3)-a2b2(a-b)=82.
5.对任意的整数x,y,定义x@y=x+y-xy,则使得(x@y)@z+(y@z)@x+(z@x)@y
=0的整数组(x,y,z)的个数为
(x@y)@z=(x+y-xy)@z=(x+y-xy)+z-(x+y-xy)z=x+y+z-xy-yz-zx+xyz,
由对称性,同样可得
(y@z)@x=x+y+z-xy-yz-zx+xyz,(z@x)@y=x+y+z-xy-yz-zx+xyz.
所以,由已知可得x+y+z-xy-yz-zx+xyz=0,即(x-1)(y-1)(z-1)=-1.
所以,x,y,z为整数时,只能有以下几种情况:
⎧x-1=1,
⎧x-1=-1,
⎪
=1,
=-1,
⎨y-1=1,
或⎨y-1=-1,
或⎨y-1
或⎨y-1
-1
⎩z-1=-1,
⎩z-1=1,
⎩z-1
⎩z
所以,(x,y,z)=(2,2,0)或(2,0,2)或(0,2,2)或(0,0,0),故共有4个符合要求的整数组.
2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第2页(共10页)
6.设M=
++
的整数部分是
2018
2019
2020
2050
M
A.60.
B.61.
C.62.
D.63.
因为M<
20181⨯33,所以M1>
201833=61335.
又M=(20181+20191++20301)+(20311+20321++20501)>
20301⨯13+20501⨯20=832301345,
所以M1<
832301345=6111851345,故M1的整数部分为61.
二、填空题:
(本题满分28分,每小题7分)
1.如图,在平行四边形ABCD中,BC=2AB,CE⊥AB于E,F为AD的中点,若∠AEF=48︒,
则∠B=_______.
【答】84︒.
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