多面体和旋转体.doc

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教学内容：

第八章多面体和旋转体

一、考纲要求

1.理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆台、球及其有关概念和性质.

2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台和圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式（球缺体积公式不要求记住），并能运用这些公式进行计算.

3.了解多面体和旋转体的概念，能正确画出直棱柱、正棱住、正棱台、圆柱、圆锥、圆台的直观图.

4.对于截面问题，只要求会解决与几种特殊的截面（棱柱、棱锥、棱台的对角面，棱柱的直截面，圆柱、圆锥、圆台的轴截面和平行于底面的截面，球的截面）以及已给出图形或它的全部顶点的其他截面的有关问题.

二、知识结构

1.几种常凸多面体间的关系

2.棱柱、棱锥、棱台的基本概念和主要性质

名称

棱柱

直棱柱

正棱柱

图

形

定义

有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体

侧棱垂直于底面的棱柱

底面是正多边形的直棱柱

侧棱

平行且相等

平行且相等

平行且相等

侧面的形状

平行四边形

矩形

全等的矩形

对角面的形状

平行四边形

矩形

矩形

平行于底面的截面的形状

与底面全等的多边形

与底面全等的多边形

与底面全等的正多边形

名称

棱锥

正棱锥

棱台

正棱台

图形

定义

有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体

底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的射影是底面和截面之间的部分

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分

由正棱锥截得的棱台

侧棱

相交于一点但不一定相等

相交于一点且相等

延长线交于一点

相等且延长线交于一点

侧面的形状

三角形

全等的等腰三角形

梯形

全等的等腰梯形

对角面的形状

三角形

等腰三角形

梯形

等腰梯形

平行于底的截面形状

与底面相似的多边形

与底面相似的正多边形

与底面相似的多边形

与底面相似的正多边形

其他性质

高过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等

两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等

3.几种特殊四棱柱的特殊性质

名称

特殊性质

平行六面体

底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分

直平行六面体

侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分

长方体

底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分

正方体

棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分

4.面积和体积公式

下表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长.

名称

侧面积（S侧）

全面积（S全）

体积（V）

棱柱

棱柱

直截面周长×l

S侧+2S底

S底·h=S直截面·l

直棱柱

ch

S底·h

棱锥

棱锥

各侧面积之和

S侧+S底

S底·h

正棱锥

ch′

棱台

棱台

各侧面面积之和

S侧+S上底+S下底

h（S上底+S下底+）

正棱台

（c+c′）h′

5.正四面体的性质设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的

（1）全面积S全=a2；

（2）体积V=a3；

（3）对棱中点连线段的长d=a；

（4）相邻两面所成的二面角α=arccos

（5）外接球半径R=a；

（6）内切球半径r=a.

（7）正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值（等于正四面体的高）.

6.旋转体圆柱、圆锥、圆台、球的公式

（1）面积和体积公式

圆柱

圆锥

圆台

球

S侧

2πrl

πrl

π（r1+r2）l

S全

2πr（l+r）

πr（l+r）

π（r1+r2）l+π（r21+r22）

4πR2

V

πr2h（即πr2l）

πr2h

πh（r21+r1r2+r22）

πR3

表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径.

（2）圆锥、圆台某些数量关系

②圆锥圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角.

②圆台如图，圆台母线与下底面所成角为α，母线为l，高为h，上、下底面半径分别为r′、r，则

h=lsinα

r-r′=lcosα.

③球的截面用一个平面去截一个球，截面是圆面.

（1）过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆.

（2）球心与截面圆圆心的连线垂直于截面.

（3）球心和截面距离d,球半径R，截面半径r有关系：

r=.

（3）球冠、球带和球缺

①球缺球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆（圆周）叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做相应球冠的高.

球冠也可以看作一段圆弧绕经过它的一个端点的直径旋转一周所成的曲面.

球冠的面积公式若球的半径为R，球冠的高为h，则

S球冠=2πRh

其中h表示球冠的高，R是球冠所在的球的半径.

②球带球面在两个平行截面之间的部分叫做球带.

球带也可以看作一段圆弧绕它所在的半圆的直径旋转一周所成的曲面.

球带的面积公式若球的半径为R，球带的高为h，则

S球带=2πRh

③球缺用一个平面截球体所得的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截得的线段长叫做球缺的高.

球缺的体积公式若球的半径为R，球缺的高h，底面半径为r，则

V球缺=πh2（3R-h）=πh（3r2+h2）

三、知识点、能力点提示

（一）多面体

例1如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2=.

解：

设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V1+V2＝Sh.

∵E、F分别为AB、AC的中点，

∴S△AEF=S,

V1=h（S+S+S）=Sh

V2=Sh-V1=Sh，

∴V1∶V2=7∶5.

例2一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.

解：

设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm

依题意得：

由②2得：

x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36③

由③-①得x2+y2+z2=16

即l2=16∵l=4（cm）.

例3正四棱锥S-ABCD中，高SO＝2，两相邻侧面所成角为γ，tg,

（1）求侧棱与底面所成的角。

（2）求侧棱长、底面边长和斜高（见图）。

解作CF⊥SB于F，连结AF，由△CFB≌△ABF及AF⊥SB，故∠AFC是相邻侧面所成二面角的平面角，连结OF，则∠AFC＝γ，∠OFC＝，在Rt△OCF与Rt△OBF中，tg＝＝（其中△SBO为SB与底面所成的角，设为α）。

故sinα=,α=60°

在Rt△SOB中，侧棱SB＝=4，OB＝SO·ctgα＝2，故边长BC＝·OB=4

在Rt△SEB中，斜高SE＝＝2

例4设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为（）

A.6B.2C.D.2

解：

由已知可得正六棱锥的底面积S=6×

设正六棱锥的高为h，则h==2.

∴V=××2=.

应选C.

例5如果三棱锥S—ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的（）

A.垂心B.重心C.外心D.内心

解：

作OE⊥AB，OF⊥BC，OM⊥CA

∵∠SEO=∠SFO=∠SMO,

∴△SEO≌△SFO≌△SMO.

∴OE=OF=OM.

∴O为△ABC的内心，应选D.

例6已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是（）

A.B.C.D.

解如图因AB＝AC＝，BC＝2又△ABC≌△DBC≌△BDA

故DB＝DC＝，DA＝2作DE⊥BC于E，由于△DBC中BD＝DC，所以E为BC中点又△ABC中，AB＝AC，所以AE⊥BC于E所以∠DEA是二面D-BC-A的平面角

在△DEA中，DA＝2，DE＝EA＝＝

用余弦定理得

cos∠DEA＝＝0

所以∠DEA＝

应选C

例7已知三棱锥A—BCD的体积是V，棱BC的长是a，面ABC和面DBC的面积分别是S1和S2.设面ABC和面DBC所成的二面角是α，那么sinα=.

解：

如图，作AO⊥面BCD于O，作OE⊥BC于E，连结AE.

由V=AO·S2，

得AO=

又S1=AE·BC，得AE=

由三垂线定理知，AE⊥BC，

∴∠AEO是二面角A—BC—D的平面角.

即∠AEO=α，

∴sinα=sin∠AEO=.

例8将边长为α的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝α，则三棱锥D-ABC的体积为（）

A.B.C.D.

解如图折起后的△DOB中，BD＝α，OD＝OB＝α

因OD2+OB2＝DB2

故∠DOB＝90°

又DO⊥AC，BO⊥AC

所以∠DOB是二面角D-AC-B的平面角。

即面DAC⊥面BAC，从而DO⊥面ABC

所以VD-ABC＝·DO·S△ABC＝·α·α2＝α3

应选D.

例9如图，在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件时，有A1C⊥B1D1（注：

填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）。

解应填“AC⊥BD”或任何能推导这个条件的其它条件，例如，ABCD是正方形或菱形等。

因A1A⊥底面ABCD，AC是A1C在底面ABCD的射影，

若AC⊥BD，则根据三垂线定理有A1C⊥BD

又B1D1∥BDA1C⊥B1D1

故应该填“AC⊥BD”

例10已知长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱AA′=5，AB=12，那么直线B′C′和平面A′BCD′的距离是.

解：

如图

∵B′C′∥BC，B′C′∥面A′C，BC面AC，

∴B′C′∥面A′C.

∴点B到平面A′BCD′的距离即直线B′C′到平面A′BCD′的距离.

作B′H⊥A′B于H，又CB⊥面A′ABB′，B′H面A′ABB′，B′H面A′B，所以B′H⊥CB，从而B′H⊥平面A′BCD′.

∵B′H·A′B=B′A′·B′B，

∴B′H=

即直线B′C′到平面A′BCD′的距离是.

（二）旋转体

例11若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm。

若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（）

A.6cmB.6cmC.2cmD.3cm

解B.

例12长方体一个顶点上三条棱的长度分别为3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是（）

A.20πB.25πC.50πD.200π

解：

设长方体的对角线长为l，球半径为R，由已知及对称性知l=2R,

l=，得R=.

∴S球=4πR2=50π

应选C.