专题17 二次函数的图象与性质讲备战中考数学二轮复习讲练测原卷版Word下载.docx
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最值
当时,
当时,=(或用代入法)
(1)决定抛物线的开口方向
①开口向上;
②开口向下.
(2)决定抛物线与y轴交点的位置
①图象与y轴交点在x轴上方;
②图象过原点;
③图象与y轴交点在x轴下方.
(3)决定抛物线对称轴的位置(对称轴:
)
①同号对称轴在y轴左侧;
②对称轴是y轴;
③异号对称轴在y轴右侧,简记为:
左同右异中为0.
(4)顶点坐标.
(5)决定抛物线与x轴的交点情况.
①△>
0抛物线与x轴有两个不同交点;
②△=0抛物线与x轴有唯一的公共点(相切);
③△<
0抛物线与x轴无公共点.
(6)二次函数是否具有最大、最小值由a判断.
①当a>
0时,抛物线有最低点,函数有最小值;
②当a<
0时,抛物线有最高点,函数有最大值.
(7)的符号的判定:
①若对称轴在直线x=1的左侧,则与同号,若对称轴在直线x=1的右侧,则与异号,若对称轴为直线x=1,则=0,简记为:
1的两侧判,左同右异中为0;
②若对称轴在直线的左侧,则与异号,若对称轴在直线的右侧,则与同号,若对称轴为直线,则=0,简记为:
-1的两侧判,左异右同中为0;
③当时,,所以的符号由时,对应的函数值的符号决定;
当时,,所以的符号由时,对应的函数值的符号决定;
简记为:
表达式,请代值,对应y值定正负;
对称轴,用处多,三种式子相约;
轴两侧判,左同右异中为0;
-1两侧判,左异右同中为0.
(三)二次函数的解析式
①一般式:
(,用于已知三点,求抛物线的解析式.
②顶点式:
,用于已知顶点坐标或最值或对称轴,求抛物线的解析式.
③交点式:
,其中、是二次函数与x轴的两个交点的横坐标.若已知对称轴和在x轴上的截距,也可用此式.
(四)二次函数的增减性
在对称轴右侧,y随着x的增大而减少.
(五)二次函数图象的平移
方法一:
顶点法
二次函数的平移实际上是顶点的平移,故可以把原抛物线化为顶点式,通过顶点的平移来寻找答案。
方法二:
直接法
如果y是x的函数,则可以用直接法。
平移规律如下:
左右平移变x,左+右-;
上下平移变常数项,上+下-;
平移结果先知道,反向平移是诀窍;
平移方式不知道,通过顶点来寻找.
(六)对称:
关于x轴对称的解析式为,关于y轴对称的解析式为,关于原点轴对称的解析式为,在顶点处翻折后的解析式为(a相反,定点坐标不变).
(七)二次函数的最值
(1)一般二次函数求最值
根据最值公式计算即可,或把对称轴代入表达式,对应的函数值就是最值。
(2)给定自变量取值范围求二次函数的最值
①如果给定的范围在对称轴的一侧,只需要计算两个端点的函数值,两个值中最大的为最大值,最小的为最小值。
②如果给定的范围包含对称轴,需要计算两个端点的函数值和顶点的纵坐标,三个值中最大的为最大值,最小的为最小值。
(3)分段函数求最值
根据
(2)中的方法求出每一段的最大(小)值,最后比较得出整个函数的最大(小)值。
(八)二次函数与不等式(组)
若,则的解集是x轴上方的图象对应的自变量x的取值范围,的解集是x轴下方的图象对应的自变量x的取值范围。
二讲题型——题型解析
(一)对二次函数的定义的考查
例1.(2015甘肃兰州A卷)下列函数解析式中,一定为二次函数的是()
A.B.
C.D.
(二)对二次函数的性质的考查
例2(2015山东泰安)在同一坐标系中,一次函数与二次函数的图象可能是()
A.B.C.D.
例3(2015贵州黔南州)二次函数的图象如图所示,下列说法中错误的是()
A.函数图象与y轴的交点坐标是(0,﹣3)
B.顶点坐标是(1,﹣3)
C.函数图象与x轴的交点坐标是(3,0)、(﹣1,0)
D.当x<0时,y随x的增大而减小
例4(2015福建漳州)已知二次函数,当x时,y随x的增大而减小.
例5(2015新疆生产建设兵团)抛物线的顶点坐标是()
A.(﹣1,2)B.(﹣1,﹣2)C.(1,﹣2)D.(1,2)
例6(2015湖南湘潭)如图,观察二次函数的图象,下列结论:
①,②,③,④.
其中正确的是()
A.①②B.①④C.②③D.③④
(三)对二次函数的解析式的考查
例7(2015山东泰安)某同学在用描点法画二次函数的图象时,列出了下面的表格:
由于粗心,他算错了其中一个y值,则这个错误的数值是()
A.﹣11B.﹣2C.1D.﹣5
例8(2015浙江舟山)把二次函数化为形如的形式:
.
(四)对二次函数的增减性的考查
例9(2015江苏镇江)写一个你喜欢的实数m的值,使得事件“对于二次函数,当时,y随x的增大而减小”成为随机事件.
例10(2015福建漳州)已知二次函数,当x时,y随x的增大而减小.
(五)对二次函数图象的平移的考查
例11(2015四川攀枝花)将抛物线向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为()
例12(2015四川眉山)将二次函数的图象沿x轴向左平移2个单位,则平移后的抛物线对应的二次函数的表达式为.
(六)对二次函数图象对称的考查:
例13(2015浙江义乌)如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位,我们把这种变换称为抛物线的简单变换.已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是,则原抛物线的解析式不可能的是()
例14(2015浙江衢州)小明在课外学习时遇到这样一个问题:
定义:
如果二次函数y=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1,b1,c1是常数)与y=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2,b2,c2是常数)满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则称这两个函数互为“旋转函数”.
求函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”.
小明是这样思考的:
由函数y=﹣x2+3x﹣2可知,a1=﹣1,b1=3,c1=﹣2,根据a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,求出a2,b2,c2,就能确定这个函数的“旋转函数”.
请参考小明的方法解决下面问题:
(1)写出函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”;
(2)若函数y=﹣x2+mx﹣2与y=x2﹣2nx+n互为“旋转函数”,求(m+n)2015的值;
(3)已知函数y=﹣(x+1)(x﹣4)的图象与x轴交于点A、B两点,与y轴交于点C,点A、B、C关于原点的对称点分布是A1,B1,C1,试证明经过点A1,B1,C1的二次函数与函数y=﹣(x+1)(x﹣4)互为“旋转函数.”
(七)对二次函数的最值的考查
例15(2015四川乐山)二次函数的最大值为()
A.3B.4C.5D.6
例16(2015天津)已知二次函数(b,c为常数).
(Ⅰ)当b=2,c=-3时,求二次函数的最小值;
(Ⅱ)当c=5时,若在函数值y=1的情况下,只有一个自变量x的值与其对应,求此时二次函数的解析式;
(Ⅲ)当c=b2时,若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为21,求此时二次函数的解析式.
例17(2015浙江绍兴)如果抛物线过定点M(1,1),则称此抛物线为定点抛物线。
(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目:
请你写出一条定点抛物线的一个解析式。
小敏写出了一个答案:
,请你写出一个不同于小敏的答案;
(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题:
已知定点抛物线,求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式,请你解答。
(八)对二次函数与不等式(组)的考查
例18(2015四川广安)如图,抛物线()过点(﹣1,0)和点(0,﹣3),且顶点在第四象限,设P=,则P的取值范围是()
A.﹣3<P<﹣1B.﹣6<P<0C.﹣3<P<0D.﹣6<P<﹣3
三讲方法——方法点睛
(一)数形结合思想
由于二次函数(数)的图像是抛物线(形),故有二次函数抛物线的内在联系,二次函数的性质由图像反映出来,反之抛物线刻画二次函数的性质,能直观、形象地反应问题,因此数形结合思想有着广泛的应用。
(二)分类讨论思想
分类是按照数学对象的相同点和差异点,将数学对象区分为不同种类的思想方法,掌握分类的方法,领会其实质,对于加深基础知识的理解,提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的。
正确的分类,必须是周全的,既不重复,也不遗漏。
(三)转化(或化归)思想
转化思想:
就是化未知为已知、化繁为简、化难为易。
如将分式方程化为整式方程,将代数问题化为几何问题。
将四边形问题化为三角形问题等。
(四)函数及方程思想
在实际中,根据已知条件、公式和定理,建立函数或方程等数学模型,再根据它们的性质或图像解决问题,就是函数和方程思想。
(五)二次函数的增减性在对称轴两边发生变化,如果所给点在对称轴同侧,则可由增减性直接判断,若所给点在对称轴两侧,则可用对称轴来进行转化,从而是所有点都在对称轴同侧.
四练实题——随堂小练
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=ax+b与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象为( )
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x=1,则下列四个结论错误的是【】
A.c>0B.2a+b=0C.b2﹣4ac>0D.a﹣b+c>0
3.如果函数y=(a﹣1)x2是二次函数,那么a的取值范围是.
4.设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过A(0,2),B(4,3),C三点,其中点C在直线x=2上,且点C到抛物线的对称轴的距离等于1,则抛物线的函数解析式为.
5.将抛物线y=(x﹣3)2+1先向上平移2个单位,再向左平移1个单位后,得到的抛物线解析式为.
6.二次函数的图象如图所示,当﹣1≤x≤0时,该函数的最大值是( )
A.3.125B.4C.2D.0
7.受国内外复杂多变的经济环境影响,去年1至7月,原材料价格一路攀升,义乌市某服装厂每件衣服原材料的成本y1(元)与月份x(1≤x≤7,且x为整数)之间的函数关系如下表:
8至12月,随着经济环境的好转,原材料价格的涨势趋缓,每件原材料成本y2(元)与月份x的函数关系式为y2=x+62(8≤x≤12,且x为整数).
(1)请观察表格中的数据,用学过的函数相关知识求y1与x的函数关系式.
(2)若去年该衣服每件的出厂价为100元,生产每件衣服的其他成本为8元,该衣服在1至7月的销售量p1(万件)与月份x满足关系式p1=0.1x+1.1(1≤x≤7,且x为整数);
8至12月的销售量p2(万件)与月份x满足关系式p2=﹣0.1x+3(8≤x≤12,且x为整数),该厂去年哪个月利润最大?
并
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